Kartesische Produkt/Boxtopo. < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Do 09.05.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Für beliebige nichtleere Indexmenge U ist das karteische Produkt von Mengen [mm] X_i [/mm] (i [mm] \in [/mm] I) definiert durch
[mm] \prod_{i \in I} X_i [/mm] := [mm] \{ x : I -> \bigcup_{i \in I} X_i | \forall i \in I : x(i) \in X_I\}
[/mm]
Ein naheliegender Ansatz für eine Topologie auf den kartesischen Produkt wäre zunächst, als Basis das Mengensystem [mm] B_{box} [/mm] := [mm] \{ \prod_{i \in I} U_i | \forall i \in I: U_i ist offen in X_i \} [/mm] zu nehmen, den diese erfüllt die Eigenschaften in Theorem (*)
Diese stellt sich aber für viele wichtige Konstruktionen als zu fein heraus. Zum Beispiel ist die Abbildung f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR^{\IN} [/mm] mit f(t):=(t,t,t,..) nicht stetig wenn auf [mm] \IR^n [/mm] = [mm] \prod_{n\in \IN} \IR [/mm] die BoxTopologie betrachtet wird.(-> Umgebung von 0)
(*) a) X= [mm] \bigcup_{K\in B} [/mm] K und
b) [mm] K_1 [/mm] , [mm] K_2 \in [/mm] B und p [mm] \in K_1 \cap K_2 [/mm] => [mm] \exists K_3 \in [/mm] B : p [mm] \in K_3 \subseteq K_1 \cap K_2 [/mm] |
Hallo,
Ich verstehe nicht warum die "box-Topologie" die Eigenschaften des Theorem erfüllt. bzw. wie ich das zeigen kann bei dem Ungetüm des kartesischen Produktes?
Warum ist die Funktion f nicht stetig?
Sind die einzelnen ABbildungen [mm] \pi_n \circ [/mm] f stetig [mm] :\IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] bezüglich der Boxtopologie?
Stetigkeit: Urbilder von Umgebungen von f(x) sind Umgebungen von x.
Eine Umgebung von f(0)=0 wäre ]-1/n , 1/n[, [mm] f^{-1} [/mm] (]-1/n , 1/n[) müsste eine Umgebung von 0 sein. ABer wie bilde ich hier das Urbild?
U:= [mm] \prod_{n\in \IN} [/mm] ]-1/n, 1/n [ ist eine Umgebung von f(0)=(0,0,0,..).
[mm] f^{-1} [/mm] (U)=?
Wieder die Frage hier, wie das urbild zu bilden ist!?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:42 Do 09.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile,
> Für beliebige nichtleere Indexmenge U ist das karteische
> Produkt von Mengen [mm]X_i[/mm] (i [mm]\in[/mm] I) definiert durch
> [mm]\prod_{i \in I} X_i[/mm] := [mm]\{ x : I -> \bigcup_{i \in I} X_i | \forall i \in I : x(i) \in X_I\}[/mm]
>
> Ein naheliegender Ansatz für eine Topologie auf den
> kartesischen Produkt wäre zunächst, als Basis das
> Mengensystem [mm]B_{box}[/mm] := [mm]\{ \prod_{i \in I} U_i | \forall i \in I: U_i ist offen in X_i \}[/mm]
> zu nehmen, den diese erfüllt die Eigenschaften in Theorem
> (*)
> Diese stellt sich aber für viele wichtige Konstruktionen
> als zu fein heraus. Zum Beispiel ist die Abbildung f: [mm]\IR[/mm]
> -> [mm]\IR^{\IN}[/mm] mit f(t):=(t,t,t,..) nicht stetig wenn auf
> [mm]\IR^n[/mm] = [mm]\prod_{n\in \IN} \IR[/mm] die BoxTopologie betrachtet
> wird.(-> Umgebung von 0)
>
> (*) a) X= [mm]\bigcup_{K\in B}[/mm] K und
> b) [mm]K_1[/mm] , [mm]K_2 \in[/mm] B und p [mm]\in K_1 \cap K_2[/mm] => [mm]\exists K_3 \in[/mm]
> B : p [mm]\in K_3 \subseteq K_1 \cap K_2[/mm]
> Ich verstehe nicht warum die "box-Topologie" die
> Eigenschaften des Theorem erfüllt. bzw. wie ich das zeigen
> kann bei dem Ungetüm des kartesischen Produktes?
(a): Zeige, dass [mm] $\prod_{i\in I}X_i\in B_{box}$.
[/mm]
(b): Hinreichend ist, dass für alle [mm] $K_1,K_2\in B_{box}$ [/mm] auch [mm] $K_1\cap K_2\in B_{box}$ [/mm] ist. (Dann leistet [mm] $K_3:=K_1\cap K_2$ [/mm] das Gewünschte.) Zeige dies!
> Warum ist die Funktion f nicht stetig?
> Sind die einzelnen ABbildungen [mm]\pi_n \circ[/mm] f stetig [mm]:\IR[/mm]
> -> [mm]\IR[/mm] bezüglich der Boxtopologie?
[mm] $\pi_n\circ [/mm] f$ ist die Abbildung [mm] $\operatorname{id}_\IR\colon\IR\to\IR$. [/mm] Diese ist stetig. Aber das hat nichts mit der Boxtopologie zu tun.
> Stetigkeit: Urbilder von Umgebungen von f(x) sind
> Umgebungen von x.
> Eine Umgebung von f(0)=0
[mm] $f(0)=(0)_{n\in\IN}$ [/mm] (die Folge reeller Zahlen, die konstant 0 ist).
> wäre ]-1/n , 1/n[,
Nein.
> [mm]f^{-1}[/mm] (]-1/n
> , 1/n[) müsste eine Umgebung von 0 sein. ABer wie bilde
> ich hier das Urbild?
[mm] $f^{-1}(]-\frac1n,\frac1n[)$ [/mm] macht keinen Sinn, da [mm] $]-\frac1n,\frac1n[$ [/mm] gar keine Teilmenge des Wertebereichs von $f$ ist.
> U:= [mm]\prod_{n\in \IN}[/mm] ]-1/n, 1/n [ ist eine Umgebung von
> f(0)=(0,0,0,..).
Genau.
> [mm]f^{-1}[/mm] (U)=?
> Wieder die Frage hier, wie das urbild zu bilden ist!?
[mm] $f^{-1}(U)=\{t\in\IR\;|\;f(t)\in U\}=\{t\in\IR\;|\;(t,t,t,\ldots)\in\prod_{n\in \IN}]-1/n, 1/n [\}=\{t\in\IR\;|\;t\in]-1/n, 1/n [\text{ für alle }n\in\IN\}=\{0\}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Do 09.05.2013 | | Autor: | sissile |
> (a): Zeige, dass $ [mm] \prod_{i\in I}X_i\in B_{box} [/mm] $.
> (b): Hinreichend ist, dass für alle $ [mm] K_1,K_2\in B_{box} [/mm] $ auch $ [mm] K_1\cap K_2\in B_{box} [/mm] $ ist. (Dann leistet $ [mm] K_3:=K_1\cap K_2 [/mm] $ das Gewünschte.) Zeige dies!
Ich komme, damit nicht so zurrecht - wie ich es sollte.
Warum genügt zuZeigen: [mm] \prod_{i\in I}X_i\in B_{box} [/mm] ?
Und was soll der Durchschnitt von 2 Kartesischen Produkten sein?
Es scheitert bei mir noch am verständnis bzw. am Umgang mit kartesischen Produkten..
Den anderen Abschnitt hab ich verstanden, danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:50 Fr 10.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > (a): Zeige, dass [mm]\prod_{i\in I}X_i\in B_{box} [/mm].
> > (b):
> Hinreichend ist, dass für alle [mm]K_1,K_2\in B_{box}[/mm] auch
> [mm]K_1\cap K_2\in B_{box}[/mm] ist. (Dann leistet [mm]K_3:=K_1\cap K_2[/mm]
> das Gewünschte.) Zeige dies!
> Warum genügt zuZeigen: [mm]\prod_{i\in I}X_i\in B_{box}[/mm] ?
Die Behauptung ist [mm] $X=\bigcup_{K\in B_{box}}K$ [/mm] für [mm] $X:=\prod_{i\in I}X_i$.
[/mm]
[mm] "$\supseteq$" [/mm] gilt sowieso, [mm] "\subseteq" [/mm] folgt aus [mm] $X\in B_{box}$.
[/mm]
Wenn ich etwas davon genauer ausführen soll, frag bitte nach!
> Und was soll der Durchschnitt von 2 Kartesischen Produkten
> sein?
Der Durchschnitt von [mm] $\prod_{i\in I}U_i$ [/mm] und [mm] $\prod_{i\in I}V_i$ [/mm] ist [mm] $\prod_{i\in I}(U_i\cap V_i)$.
[/mm]
Zeige dies. gilt sowieso,
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:14 Fr 10.05.2013 | | Autor: | sissile |
Ich versteh es noch immer nicht zu 100% deshalb dachte ich um das vlt besser zu verstehen schaue ich mir dasselbe nochmal für die Produkttopologie an.
[mm] I\not= \emptyset, \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] I sei [mm] X_i [/mm] topologischer Raum
B:= $ [mm] \{$\prod_{i\inI} U_i |\exists J \subseteq I, J $endlich$: U_i $offen in$ X_i $fuer$ i \in J, U_i = X_i $fuer$ i \not\in J $ \}$
[/mm]
a) $ [mm] X=\bigcup_{K\in B_{box}}K [/mm] $ für $ [mm] X:=\prod_{i\in I}X_i [/mm] $.
Könnte man hier nicht sagen: X = [mm] \prod_{i\in J \setminus I} U_i
[/mm]
oder verstehe ich das falsch, dass man die Indexmenge hier nicht zu wählen hat? Sondern genauso wie du vorher mit der Boxtopologie zu begründen hat?
b) [mm] K_1 [/mm] =$ [mm] \prod_{i\in I}U_i [/mm] $ und [mm] K_2 [/mm] =$ [mm] \prod_{i\in I}V_i [/mm] $
p [mm] \in K_1 \cap K_2
[/mm]
Wenn man zeigt [mm] K_1 \cap K_2 \in [/mm] B (dann [mm] \exists K_3 [/mm] := [mm] K_1 \cap K_2 [/mm] sodass p [mm] \in K_3 \subseteq K_1 \cap K_2 [/mm] )
[mm] K_1 \cap K_2 =\prod_{i\in I}U_i \cap \prod_{i\in I}V_i \overbrace{=}^{??} [/mm] $ [mm] \prod_{i\in I}(U_i\cap V_i) [/mm] $
Aber aus [mm] \left(A_1 \cap A_2\right) \times \left(B_1 \cap B_2\right) [/mm] = [mm] \left(A_1 \times B_1\right) \cap \left(A_2 \times B_2\right) [/mm] folgt die Tatsache doch noch nicht, ich habe hier ja eine vlt überabzählbare Indexmenge.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:29 Fr 10.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Ich versteh es noch immer nicht zu 100% deshalb dachte ich
> um das vlt besser zu verstehen schaue ich mir dasselbe
> nochmal für die Produkttopologie an.
> [mm]I\not= \emptyset, \forall[/mm] i [mm]\in[/mm] I sei [mm]X_i[/mm] topologischer
> Raum
> B:= [mm]\{[/mm][mm] \prod_{i\inI} U_i |\exists[/mm] J [mm]\subseteq[/mm] I, J
> [mm]endlich[/mm]: [mm]U_i[/mm] [mm]offen in[/mm] [mm]X_i[/mm] [mm]fuer[/mm] i [mm]\in[/mm] J, [mm]U_i[/mm] = [mm]X_i[/mm] [mm]fuer[/mm] i
> [mm]\not\in[/mm] J [mm]\}[/mm]
> a) [mm]X=\bigcup_{K\in B_{box}}K[/mm] für [mm]X:=\prod_{i\in I}X_i [/mm].
Du möchtest also nun [mm] $X=\bigcup_{K\in B}K$ [/mm] zeigen?
> Könnte man hier nicht sagen: X = [mm]\prod_{i\in J \setminus I} U_i[/mm]
Nein. Das ist falsch, egal wie du $J$ wählst.
Aber
[mm] $X=\prod_{i\in I}X_i=\prod_{i\in I} U_i$
[/mm]
mit [mm] $U_i:=X_i$ [/mm] für alle [mm] $i\in I=I\setminus [/mm] J$ mit [mm] $J:=\emptyset$.
[/mm]
> b) [mm]K_1[/mm] =[mm] \prod_{i\in I}U_i[/mm] und [mm]K_2[/mm] =[mm] \prod_{i\in I}V_i[/mm]
> p [mm]\in K_1 \cap K_2[/mm]
> Wenn man zeigt [mm]K_1 \cap K_2 \in[/mm] B (dann
> [mm]\exists K_3[/mm] := [mm]K_1 \cap K_2[/mm] sodass p [mm]\in K_3 \subseteq K_1 \cap K_2[/mm]
> )
>
> [mm]K_1 \cap K_2 =\prod_{i\in I}U_i \cap \prod_{i\in I}V_i \overbrace{=}^{??}[/mm]
> [mm]\prod_{i\in I}(U_i\cap V_i)[/mm]
>
> Aber aus [mm]\left(A_1 \cap A_2\right) \times \left(B_1 \cap B_2\right)[/mm]
> = [mm]\left(A_1 \times B_1\right) \cap \left(A_2 \times B_2\right)[/mm]
> folgt die Tatsache doch noch nicht, ich habe hier ja eine
> vlt überabzählbare Indexmenge.
Richtig.
Sei [mm] $x=(x_i)_{i\in I}\in [/mm] X$.
Was bedeutet [mm] $x\in\prod_{i\in I}U_i \cap \prod_{i\in I}V_i$?
[/mm]
Was bedeutet [mm] $x\in\prod_{i\in I}(U_i\cap V_i)$?
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:47 Fr 10.05.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo
Achso, jetzt ist wird mir das langsam bewusst. Ich war so fixiert auf die Schreibweise des Lehrers mit Abbildungen. Da wir es als Tupel nur bei endlicher Indexmenge geschrieben haben! ist das denn als Tupel auch in Ordnung bei keiner endlichen Indexmenge? Denn definiert haben wir es als Abbildungen von der Indexmenge und die Vereinigigung der [mm] X_i
[/mm]
> Sei [mm]x=(x_i)_{i\in I}\in X[/mm].
>
> Was bedeutet [mm]x\in\prod_{i\in I}U_i \cap \prod_{i\in I}V_i[/mm]?
x = [mm] (x_i)_{i \in I} [/mm] mit [mm] x_i \in U_i [/mm] und [mm] x_i \in V_i \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] I
> Was bedeutet [mm]x\in\prod_{i\in I}(U_i\cap V_i)[/mm]?
x = [mm] (x_i)_{i \in I} [/mm] mit [mm] x_i \in U_i \cap V_i \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] I
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:01 Fr 10.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Achso, jetzt ist wird mir das langsam bewusst. Ich war so
> fixiert auf die Schreibweise des Lehrers mit Abbildungen.
> Da wir es als Tupel nur bei endlicher Indexmenge
> geschrieben haben! ist das denn als Tupel auch in Ordnung
> bei keiner endlichen Indexmenge? Denn definiert haben wir
> es als Abbildungen von der Indexmenge und die Vereinigigung
> der [mm]X_i[/mm]
Ob es deinem Lehrer gefällt, weiß ich natürlich nicht.
Aber es ist auch bei unendlichen Indexmengen $I$ absolut üblich, Elemente [mm] $x\in\prod_{i\in I}X_i$ [/mm] in der Form [mm] $(x(i))_{i\in I}$ [/mm] zu schreiben. Mit [mm] $x_i:=x(i)\in X_i$ [/mm] für alle [mm] $i\in [/mm] I$ gilt somit [mm] $x=(x_i)_{i\in I}$.
[/mm]
> > Sei [mm]x=(x_i)_{i\in I}\in X[/mm].
> >
> > Was bedeutet [mm]x\in\prod_{i\in I}U_i \cap \prod_{i\in I}V_i[/mm]?
>
> x = [mm](x_i)_{i \in I}[/mm] mit [mm]x_i \in U_i[/mm] und [mm]x_i \in V_i \forall[/mm]
> i [mm]\in[/mm] I
> > Was bedeutet [mm]x\in\prod_{i\in I}(U_i\cap V_i)[/mm]?
> x = [mm](x_i)_{i \in I}[/mm] mit [mm]x_i \in U_i \cap V_i \forall[/mm] i [mm]\in[/mm]
> I
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Also gilt für alle [mm] $x\in [/mm] X$:
[mm] $x\in\prod_{i\in I}U_i \cap \prod_{i\in I}V_i\iff x\in\prod_{i\in I}(U_i\cap V_i)$.
[/mm]
Somit tatsächlich [mm] $\prod_{i\in I}U_i \cap \prod_{i\in I}V_i=\prod_{i\in I}(U_i\cap V_i)$.
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:13 Fr 10.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Achso, jetzt ist wird mir das langsam bewusst. Ich war so
> fixiert auf die Schreibweise des Lehrers mit Abbildungen.
> Da wir es als Tupel nur bei endlicher Indexmenge
> geschrieben haben! ist das denn als Tupel auch in Ordnung
> bei keiner endlichen Indexmenge? Denn definiert haben wir
> es als Abbildungen von der Indexmenge und die Vereinigigung
> der [mm]X_i[/mm]
Kleine Ergänzung: Wenn man mit Produkten arbeitet, betrachtet man ignoriert man die Zielmenge (Vereinigung der [mm] $X_i$) [/mm] der Abbildungen üblicherweise bzw. man identifiziert Abbildungen, die bis auf die Zielmenge übereinstimmen, miteinander.
Nur so wird [mm] $\prod_{i\in I}U_i$ [/mm] für Teilmengen [mm] $U_i\subseteq X_i$ [/mm] überhaupt zu einer Teilmenge von [mm] $\prod_{i\in I}X_i$:
[/mm]
Die Abbildungen [mm] $x\in\prod_{i\in I}U_i$ [/mm] sind ja definitionsgemäß Abbildungen [mm] $x\colon I\to\bigcup_{i\in I}U_i$. [/mm] Um sie als Elemente [mm] $x\in\prod_{i\in I}X_i$ [/mm] zu betrachten, sind sie mit den entsprechenden Abbildungen [mm] $x\colon I\to\bigcup_{i\in I}X_i$ [/mm] zu identifizieren.
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