Kegelgewinde < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:43 Mo 26.09.2005 | | Autor: | miho |
Hi!
Ich habe ein Kegelgewinde gegeben:
[mm] \vektor{(r_1+(r_2-r_1)*\frac{t}{\alpha})*\sin(t) \\(r_1+(r_2-r_1)*\frac{t}{\alpha})*\cos(t)\\h*\frac{t}{\alpha}}
[/mm]
Dabei ist h die Höhe der Spirale und alpha der Winkel.
Also bei alpha = 360 und h = 10 hat die Spirale genau eine Umdrehung gemacht, wenn sie bei h angekommen ist.
R1 ist der Ausgangsradius und R2 der Endradius.
Meine Frage: Wie berechne ich die Länge zwischen t1 und t2 ?
Wenn der Radius konstant ist, rechne ich das Bogenmass doch so aus:
Die Funktion:
[mm] \vektor{r*\sin(t) \\ r*\cos(t)\\c*t}
[/mm]
L = [mm] \sqrt{r^2+c^2}*(t_2-t_1), [/mm] oder?
Aber wie funktioniert das bei einem Kegel-Gewinde?
Herzlichen Dank für eure Hilfe!
Gruß,
miho
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:44 Mo 26.09.2005 | | Autor: | Galois |
Hallo miho,
Die Formel für die Bestimmung der Bögenlänge für den Fall konstanten Radiusses ist soweit völlig korrekt.
Im Falle des Kegelgewindes (oder ganz allgemein) muß Du zur Bestimmung des Länge des Bogens den Betrag des Geschwindigkeits- (oder Tangential-)vektors $v(t)$ integrieren.
Dieser Vektor $v(t)$ berechnet sich hierbei komponentenweise als die Ableitung Deines Ortsvektors
[mm] $\vektor{(r_1+(r_2-r_1)*\frac{t}{\alpha})*\sin(t) \\(r_1+(r_2-r_1)*\frac{t}{\alpha})*\cos(t)\\h*\frac{t}{\alpha}}$ [/mm] nach t, also
[mm] $v(t)=\vektor{(r_2-r_1)*\frac{1}{\alpha}*\sin(t) + (r_1+(r_2-r_1)*\frac{t}{\alpha})*\cos(t)\\(r_2-r_1)*\frac{1}{\alpha}*\cos(t)- (r_1+(r_2-r_1)*\frac{t}{\alpha})*\sin(t)\\h*\frac{1}{\alpha}}$
[/mm]
Als Betragsquadrat erhält man dann nach etwas Umordnen und Zusammenfassen:
[mm] $\|v(t)\|^2\,=\,(r_2-r_1)^2\frac1{\alpha^2}+ (r_1+(r_2-r_1)*\frac t\alpha)^2 +2(r_2-r_1)*\frac 1\alpha *\sin(t)*(r_1+(r_2-r_1)*\frac t\alpha)\cos(t) [/mm] - [mm] 2(r_2-r_1)*\frac 1\alpha *\cos(t)(r_1+(r_2-r_1)*\frac t\alpha)\sin(t) [/mm] + [mm] h^2*\frac 1\alpha^2$
[/mm]
[mm] $=\,\,(r_2-r_1)^2\frac1{\alpha^2}+ (r_1+(r_2-r_1)*\frac t\alpha)^2+ h^2*\frac 1\alpha^2\,=\,a+b(c+t)^2$
[/mm]
für geeignete [mm] $a,b,c\in\IR$
[/mm]
Jetzt müssen wir noch die Wurzel ziehen, um schließlich den Betrag von $v(t)$ integrieren zu können:
Bogenlänge= [mm] $\int_0^{\alpha} \|v(t)\|\,dt=\int_0^{\alpha} \wurzel{a+b(c+t)^2}\,dt$.
[/mm]
Es bleibt eine Stammfunktion zu bestimmen. Dazu guckt man am besten ins entsprechende Nachschlagewerk. Oder man probiert ein paar Kandidaten aus. Ich vermute es, wird etwas mit $arcosh$ oder $arsinh$ (die Umkehfunktionen vom sinus bzw. cosinus hyperbolicus) oder so rauskommen. Da darft Du Dich jetzt noch etwas dran versuchen. :)
Im Spezialfall [mm] $r=r_1=r_2$ [/mm] reduziert sich obige Formel für [mm] $\|v(t)\|$ [/mm] übrigens zu
[mm] $\|v(t)\|^2\,=\,0 [/mm] + [mm] r^2 [/mm] + [mm] h^2*\frac 1\alpha^2 [/mm] $, also
[mm] Bogenlänge=$\int_0^{\alpha} \|v(t)\|\,dt\,=\int_0^{\alpha}\wurzel{r^2+h^2*\frac 1\alpha^2}\,dt\,=\,\alpha*\wurzel{r^2+c^2}$ [/mm] mit [mm] $c:=h\alpha$, [/mm] was ja der von Dir angegebenen Formel entspricht.
Grüße,
Galois
![[]](/images/popup.gif) Bonner Mathe-Forum
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:51 Mi 28.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Leider konnte dir niemand bei deinem Problem in dem von dir vorgesehenen Zeitraum vollständig weiterhelfen und auf die Teilantwort von Galois gab es bisher keine Reaktion deinerseits.
Viele Grüße
Julius
|
|
|
|
