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Forum "Algebra" - Kegelschnitt Elipse
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Kegelschnitt Elipse: Erklären
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:15 So 23.09.2012
Autor: heinze

Aufgabe
[mm] H_b=\left\{\vektor{x \\ y}\in \IR^2|2x^2+2y^2+(4b-2)xy-2\right\} [/mm]

Bestimme alle [mm] b\in \IR, [/mm] für die [mm] H_b [/mm] eine Ellipse ist.


Hier komme ich nicht weiter, ich vermute ein Fehler hat sich einegschlichen.

[mm] (xy)*A*\vektor{x \\ y}+b^T\vektor{x \\ y}+c=0 [/mm]

[mm] (xy)*\pmat{ 2 & 2b-1 \\ 2b-1 & 2 }*\vektor{x \\ y}+(4b-2 [/mm] 4b-2){x [mm] \\ [/mm] y}-2=0

Bestimmen von EW und EV

Eigenwerte sind [mm] x_1=3-2b [/mm] und [mm] x_2=1+2b [/mm]

Eigenvektor zu [mm] x_1:\pmat{ -1 \\ 1 } [/mm]

Eigenvektor zu [mm] x_2:\pmat{ 1 \\ 1 } [/mm]

[mm] S=\pmat{ -1 & 1 \\ 1 & 1 } [/mm]

[mm] S^T*A*S=\pmat{ -4b+6 & 0 \\ 2 & 4b+4 } [/mm] Ich hoffe ich habe mich hier nicht verrechnet.

Dann wird Transformiert:

[mm] (x'y')S^TAS\vektor{x' \\ y'}+b^T*S\vektor{x' \\ y'}-2=0 [/mm]

(x'y') [mm] \pmat{ -4b+6 & 0 \\ 2 & 4b+4 }\vektor{x' \\ y'}+(0 8b-4)*\vektor{x' \\ y'}-2=0 [/mm]

0= [mm] (-4b+6)x^2+(4b+4)y^2+(8b-4)y-2 [/mm]

Jetzt muss verschoben werden (Quadratische Ergänzung) aber das muss ich passen. Könnt ihr mir ab hier weiterhelfen?

Ich bin mir ebenfallsnicht sicher, ab welchem Punkt ich das b bestimmen kann, sodass eine Ellipse entsteht.


LG
heinze

        
Bezug
Kegelschnitt Elipse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:10 So 23.09.2012
Autor: leduart

Hallo
du brauchst die quadearische ergänzung doch nicht, um zu entscheiden ob es einne Ellipse ist, der lineare Term ändert daran nichts!
[mm] ax^2+by^2+cy=ax^2+b*(y^2+c/b*y+(c/2b)^2-(c/2b)^2)=ax^2+b*(y+c/2b)^2-c^2/4b [/mm]
so macht man quadratische Ergänzung. was bei die a,b,c ist siehst du hoffentlich
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Kegelschnitt Elipse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:58 Mo 24.09.2012
Autor: heinze

Gut, das habe ich an sich verstanden.

habe ich die Gleichung korrekt umgeformt? ich habe die vermutung, dass mir bei meiner Wahl von x und y ein fehler unterlaufen ist. ich habe (4b-2 [mm] 4b-2)\vektor{x \\ y} [/mm] gesetzt wobe es sich hier um xy handelt.

An welchem Punkt kann ich für die b festlegen, wann es eine Ellipse ist?


LG
heinze

Bezug
                        
Bezug
Kegelschnitt Elipse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:54 Mo 24.09.2012
Autor: leduart

Hallo heinze

> habe ich die Gleichung korrekt umgeformt? ich habe die
> vermutung, dass mir bei meiner Wahl von x und y ein fehler
> unterlaufen ist. ich habe (4b-2 [mm]4b-2)\vektor{x \\ y}[/mm]
> gesetzt wobe es sich hier um xy handelt.

Den Satz versteh ich nicht.

> An welchem Punkt kann ich für die b festlegen, wann es
> eine Ellipse ist?

[mm] a(x--v<_ß)^2+b*(y-y:0)^2=c [/mm] ist eine Ellipse, wenn a und b  (und c) positiv sind .
Gruss leduart


> LG
>  heinze


Bezug
                                
Bezug
Kegelschnitt Elipse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:35 Mo 24.09.2012
Autor: heinze

Richtig, aber die a,b,c ermittle ich ja durch quadratische Ergänzung bzw verschieben.

Kannst du mir das an diesem Beispiel aufzeigen? Vielleicht denke ich grad zu verqueer.

LG
heinze

Bezug
                                        
Bezug
Kegelschnitt Elipse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:18 Mo 24.09.2012
Autor: leduart

Hallo
A=-4b+6
B=4b+a
[mm] C=D+c^2/4B [/mm]
A,B,C>0 oder A,B,C>0
große buchstaben statt der kleinen gegenüber dem letzten 2 posts um nicht mit dem b aus der Aufgabe zu kollidieren.
also ausgang: [mm] Ax^2+By^2+Cy=D [/mm]
Gruss leduart


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