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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:38 Mo 27.01.2014 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Transformieren Sie die Kegelschnittgleichung
[mm] x_1^2 [/mm] + [mm] 6x_1x_2 [/mm] + [mm] 9x_2^2 [/mm] - [mm] 8\wurzel{10}x_1 [/mm] - [mm] 4\wurzel{10}x_2 [/mm] + 70 = 0
auf Normalform (inklusive Verschiebung) und skizzieren Sie den Kegelschnitt im [mm] x_1-x_2-System. [/mm] |
Hi zusammen,
A = [mm] \begin{pmatrix}
1 & 3 \\
3 & 9
\end{pmatrix} [/mm] b = [mm] \begin{pmatrix} -8\wurzel{10} \\ -4\wurzel{10} \end{pmatrix} [/mm] c = 70
Zunächst berechne ich den Eigenwerte:
[mm] \begin{vmatrix}
1-\lambda & 3 \\
3 & 9-\lambda
\end{vmatrix} [/mm] = [mm] \lambda^2 [/mm] - [mm] 10\lambda [/mm] + 3
[mm] \lambda_1 [/mm] = 5 + [mm] \wurzel{22} \lambda_2 [/mm] = 5 - [mm] \lambda{22}
[/mm]
Jetzt die Eigenvektoren: (hier hab ich schon die ersten Probleme)
(A - [mm] \lambda_1E)x=0
[/mm]
[mm] (-4+\wurzel{22})x_1 [/mm] + [mm] 3x_2 [/mm] = 0
[mm] 3x_1 [/mm] + [mm] (4+\wurzel{22})x_2 [/mm] = 0
hier bekomme ich immer [mm] x_1=x_2=0
[/mm]
Denke mal ich mache hier was falsch:
Im Skript ist nicht erklärt wie man auf die Werte der Eigenvektoren kommt.
Also [mm] v_1 [/mm] = [mm] \bruch{\alpha}{\wurzel{?}} \begin{pmatrix} ? \\ ? \end{pmatrix}
[/mm]
für [mm] \lambda_2 [/mm] habe ich natürlich das gleiche Problem.
Für die eigentliche Transformation brauche ich ja die beiden Eigenvektoren.
Hoffe mir kann hier jemand helfen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 Mo 27.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Eigenwerte sind falsch, schon das Polynom ist falsch,
rechbe nach.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Mo 27.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Was heißt das Polynom ist schon falsch ?
Die Kegelschnittgleichung ? Oder was ist gemeint?
Diese ist ja gegeben.
Anhand dieser kann ich doch A,b&c ablesen.
A = [mm] \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 9
\end{pmatrix} [/mm] 1 wegen [mm] "1x_1^2", [/mm] die beiden 2 & 3 wegen [mm] "2x_2*3x_1=6x_1x_2 [/mm] (hattet ich vorhin anders gemacht), 9 wegen "9x_^2"
b = [mm] \begin{pmatrix} -8\wurzel{8} \\ -4\wurzel{10} \end{pmatrix} [/mm] , hier habe ich wieder die Werte zu [mm] x_1 [/mm] & [mm] x_2 [/mm] genommen
c = 70 wegen "+70"
Ist das soweit korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 Mo 27.01.2014 | | Autor: | abakus |
> Was heißt das Polynom ist schon falsch ?
Rechne noch einmal:
[mm] \begin{vmatrix} 1-\lambda & 3 \\ 3 & 9-\lambda \end{vmatrix} [/mm]
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Mo 27.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Ok,
jetzt habe ichs verstanden.
[mm] (1-\lambda)*(9-\lambda) [/mm] - 9 = 9 - [mm] \lambda [/mm] - [mm] 9\lambda [/mm] + [mm] \lambda^2 [/mm] - 9 = [mm] \lambda^2 [/mm] - [mm] 10\lambda [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 Mo 27.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ok,
>
> jetzt habe ichs verstanden.
> [mm](1-\lambda)*(9-\lambda)[/mm] - 9 = 9 - [mm]\lambda[/mm] - [mm]9\lambda[/mm] +
> [mm]\lambda^2[/mm] - 9 = [mm]\lambda^2[/mm] - [mm]10\lambda[/mm]
Ja, so stimmts.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Mo 27.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Ok,
dann bekomme ich [mm] \lambda_1 [/mm] = 10 & [mm] \lambda_2 [/mm] = 0
Das sind dann meine Eigenwerte.
Jetzt zu den Eigenvektoren:
für [mm] \lambda_1:
[/mm]
[mm] (A-\lambda_1E)x=0
[/mm]
[mm] -9x_1 [/mm] + [mm] 3x_2 [/mm] = 0
[mm] 3x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] = 0
Jetz bekomme ich da immer [mm] x_1=x_2=0
[/mm]
Stimmt das ?
Dann folget [mm] v_1 [/mm] = [mm] \bruch{\alpha}{?} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Das ? wäre ja dann [mm] \wurzel{0^2 + 0^2} [/mm] = 0. Was ja nicht stimmen kann, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Mo 27.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ok,
>
> dann bekomme ich [mm]\lambda_1[/mm] = 10 & [mm]\lambda_2[/mm] = 0
> Das sind dann meine Eigenwerte.
>
> Jetzt zu den Eigenvektoren:
> für [mm]\lambda_1:[/mm]
> [mm](A-\lambda_1E)x=0[/mm]
> [mm]-9x_1[/mm] + [mm]3x_2[/mm] = 0
> [mm]3x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] = 0
Hier lautet es [mm] 3x_1-x_2=0
[/mm]
FRED
> Jetz bekomme ich da immer [mm]x_1=x_2=0[/mm]
> Stimmt das ?
> Dann folget [mm]v_1[/mm] = [mm]\bruch{\alpha}{?}[/mm] * [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Das ? wäre ja dann [mm]\wurzel{0^2 + 0^2}[/mm] = 0. Was ja nicht
> stimmen kann, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Mo 27.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
stimmt. Jedoch bringt mich das auch nicht wirklich weiter.
[mm] -9x_1 [/mm] + [mm] 3x_2 [/mm] = 0 (1)
[mm] 3x_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] = 0 (2) -> [mm] x_2 [/mm] = [mm] 3x_1 [/mm] (3)
(3) in (1):
[mm] -9x_1 [/mm] + [mm] 3(3x_1) [/mm] = 0
0 = 0
Ich sehe wohl das [mm] x_1=1 [/mm] & [mm] x_2=3 [/mm] funktioniert. Nur durch lösen des des Gleichungssystem bekommen ich das nicht irgendwie nicht. Weiß nicht so recht was ich da falsch mache.
[mm] v_1 [/mm] = [mm] \bruch{\alpha}{\wurzel{7}} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}
[/mm]
für [mm] \lambda_2:
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] + [mm] 3x_2 [/mm] = 0
[mm] 3x_1 [/mm] + [mm] 9x_2 [/mm] = 0
[mm] x_1=-3 x_2=1 [/mm] (auch diese Werte habe ich wieder nur abgelesen und nicht brechnet)
[mm] v_2 [/mm] = [mm] \bruch{\alpha}{\wurzel{7}} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Ist das soweit richtig ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Mo 27.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> stimmt. Jedoch bringt mich das auch nicht wirklich
> weiter.
> [mm]-9x_1[/mm] + [mm]3x_2[/mm] = 0 (1)
> [mm]3x_1[/mm] - [mm]x_2[/mm] = 0 (2) -> [mm]x_2[/mm] = [mm]3x_1[/mm] (3)
> (3) in (1):
> [mm]-9x_1[/mm] + [mm]3(3x_1)[/mm] = 0
> 0 = 0
>
> Ich sehe wohl das [mm]x_1=1[/mm] & [mm]x_2=3[/mm] funktioniert. Nur durch
> lösen des des Gleichungssystem bekommen ich das nicht
> irgendwie nicht. Weiß nicht so recht was ich da falsch
> mache.
Aus (3) folgt doch, dass jeder Eigenvektor die Form [mm] t*\vektor{1 \\ 3} [/mm] hat, mit t [mm] \ne [/mm] 0.
> [mm]v_1[/mm] = [mm]\bruch{\alpha}{\wurzel{7}}[/mm] * [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
Woher kommt [mm] \wurzel{7} [/mm] ? Was soll [mm] \alpha [/mm] sein ? Soll [mm] v_1 [/mm] normiert sein ?
FRED
>
> für [mm]\lambda_2:[/mm]
> [mm]x_1[/mm] + [mm]3x_2[/mm] = 0
> [mm]3x_1[/mm] + [mm]9x_2[/mm] = 0
> [mm]x_1=-3 x_2=1[/mm] (auch diese Werte habe ich wieder nur
> abgelesen und nicht brechnet)
> [mm]v_2[/mm] = [mm]\bruch{\alpha}{\wurzel{7}}[/mm] * [mm]\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Ist das soweit richtig ?
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Mo 27.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
ich habe ein Beispiel im Skirpt und versuche es genau gleich zu machen.
Dort ist es immer so geschrieben. Jedoch steht dahinter immer Eigenvektor immer nur der berechnete ist. Was soll dann dieser Bruch mit [mm] \alpha [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Mo 27.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> ich habe ein Beispiel im Skirpt und versuche es genau
> gleich zu machen.
Gestern hat mir meine Frau gezeigt, wie man Chilli con carne macht.
Heute abend soll ich einen Käsekuchen machen.
Ich versuche es also, genau gleich zu machen. Für den Kuchen brauche ich also:
1000 g Hackfleisch, gemischtes
1000 g Kidneybohnen
5 Chilischoten, getrocknete, klein geschnittene
500 ml Fleischbrühe (Rind)
6 Knoblauchzehen
1 Tube Tomatenmark
1 Prise Chilipulver
500 g Tomaten, klein geschnitten
300 g Zwiebeln
5 EL Öl
1 Prise Salz
1 Prise Pfeffer
Meine Frau bringt mich um ...
FRED
>
> Dort ist es immer so geschrieben. Jedoch steht dahinter
> immer Eigenvektor immer nur der berechnete ist. Was soll
> dann dieser Bruch mit [mm]\alpha[/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Mo 27.01.2014 | | Autor: | abakus |
> Ok,
>
> dann bekomme ich [mm]\lambda_1[/mm] = 10 & [mm]\lambda_2[/mm] = 0
> Das sind dann meine Eigenwerte.
>
> Jetzt zu den Eigenvektoren:
> für [mm]\lambda_1:[/mm]
> [mm](A-\lambda_1E)x=0[/mm]
> [mm]-9x_1[/mm] + [mm]3x_2[/mm] = 0
Daraus [mm] folgt $3x_2=9x_1 [/mm] $ bzw. [mm] $x_2=3x_1$.
[/mm]
Also ist JEDES Paar eine Lösung, in dem [mm] $x_2$ [/mm] dreimal so groß ist wie [mm] $x_1$.
[/mm]
Gruß Abakus
> [mm]3x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] = 0
> Jetz bekomme ich da immer [mm]x_1=x_2=0[/mm]
> Stimmt das ?
> Dann folget [mm]v_1[/mm] = [mm]\bruch{\alpha}{?}[/mm] * [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Das ? wäre ja dann [mm]\wurzel{0^2 + 0^2}[/mm] = 0. Was ja nicht
> stimmen kann, oder?
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