Kegelschnitte < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:45 Mo 18.07.2011 | | Autor: | Biensche |
| Aufgabe | Gegeben sei
0 = q(x,y) = [mm] 2x^2 [/mm] + 2 [mm] \wurzel{2} [/mm] xy + [mm] 3y^2+ [/mm] bx + c
1. Bestimmen Sie die Lösungsmengen { (x,y) | q(x,y) = 0} für b= 0 und c [mm] \in [/mm] {-1, 0, 1}.
Wo liegen eventuelle Brennpunkte in den (x,y) Koordinaten?
2. Sei c=0 und b= -1.
Bringen Sie die Gleichung q(x,y) = 0 in eine Normalform und entscheiden Sie, welche Lösungsmenge vorliegt und wo eventuelle Brennpunkte liegen. |
Hallo!
Ich komm momentan überhaupt nicht mit dem Thema Kegelschnitte zurecht.
zu 1.)
Meine erste Frage: Wie bestimme ich denn die Lösungsmenge einer solchen allgemeinen Gleichung 2. Grades in x und y?
Ich weiß, dass ich eine Gleichung der Form:
0 = q(x,y) = [mm] a_{11}x^2 [/mm] + [mm] 2a_{12}xy [/mm] + [mm] a_{22}y^2 [/mm] + [mm] b_{1}x [/mm] + [mm] b_{2}y [/mm] +c
in eine Matrixnotation bringen kann
q(x,y)= (x,y) A [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] + [mm] b^T \vektor{x \\ y} [/mm] + c = 0
mit [mm] A:=\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}} [/mm] und [mm] b:=\vektor{b_{1} \\ b_{2}}.
[/mm]
Für die Gleichung in der Aufgabe würde das bedeuten:
q(x,y)= (x,y) [mm] \pmat{ 2& \wurzel2 \\ \wurzel2 & 3 } \vektor{x \\ y} [/mm] + [mm] \pmat{b & 0 } \vektor{x \\ y} [/mm] + c = 0
Wie muss ich dann weiter machen, um die Lösungsmengen zu bestimmen?
Meine zweite Frage: Wie komm ich auf die Brennpunkte in den (x,y) Koordinaten?
zu 2.)
Wie bestimme ich denn die Normalform von dieser Gleichung q(x,y)=0 ?
Vielen Dank im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:35 Di 19.07.2011 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Gegeben sei
> 0 = q(x,y) = [mm]2x^2[/mm] + 2 [mm]\wurzel{2}[/mm] xy + [mm]3y^2+[/mm] bx + c
>
> 1. Bestimmen Sie die Lösungsmengen { (x,y) | q(x,y) = 0}
> für b= 0 und c [mm]\in[/mm] {-1, 0, 1}.
> Wo liegen eventuelle Brennpunkte in den (x,y)
> Koordinaten?
>
> 2. Sei c=0 und b= -1.
> Bringen Sie die Gleichung q(x,y) = 0 in eine Normalform
> und entscheiden Sie, welche Lösungsmenge vorliegt und wo
> eventuelle Brennpunkte liegen.
> Hallo!
>
> Ich komm momentan überhaupt nicht mit dem Thema
> Kegelschnitte zurecht.
>
> zu 1.)
> Meine erste Frage: Wie bestimme ich denn die Lösungsmenge
> einer solchen allgemeinen Gleichung 2. Grades in x und y?
So, wie die Aufgabe formuliert ist, könntest du dir das einfach machen: Die Lösungsmenge steht sozusagen schon da, es sind die Paare (x, y) mit q(x,y) = 0. L = [mm] \{(x,y) \in \IR^2 | q(x.y) = 0 \}
[/mm]
Das ist aber nicht gemeint, du sollst angeben, was für ein Kegelschnitt das ist. Das kann man an den Koeffizienten erkennen, also müßtest du dein Skript oder Buch oder eine geeignete Formelsammlung studieren (Schülkes Tafeln seligen Angedenkens).
Um der Sache umfassend auf die Schliche zu kommen, muß das Koordinatensystem oder das Nullstellengebilde gedreht werden. Auch das sollte in der Vorlesung gemacht worden sein, oder man kann es geeigneten Texten (s. o.) entnehmen. Um das hier komplett herzuleiten, habe ich im Moment nicht die Zeit, deswegen lasse ich die Frage mal halboffen.
Eine Drehung wird durch eine Koordinatentransformation bestimmten Typs (Drehmatrix) beschrieben.
Es kann auch nicht schaden, die Dinger mal zu zeichnen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Di 19.07.2011 | | Autor: | Biensche |
Vielen Dank für deine Hilfe.
Ich hab mir auch schon Schülkes Tafeln angeschaut und was zum "Lösen" der Gleichung 0=q(x,y) gefunden und wie man Kegelschnitte bestimmt.
Allerdings ist mir noch nicht klar, wie ich die eventuellen Brennpunkte bestimme. Ich hab auch schon im Skript geschaut, aber ich werd einfach nicht schlau daraus.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Di 19.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die exakte Lage der Brennpunkt weiss ich auch nicht wie ohne b) zu bestimmen, aber man kann sagen sie liegen im 2 ten und 4 ten Quadranten, und gefragt war ja wo liegen sie und nicht bestimme
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Fr 22.07.2011 | | Autor: | Biensche |
Vielen Dank für die Hilfe :)
|
|
|
|
