Kegelvolumen maximieren < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 So 25.10.2009 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | Aus einem kreisformigen Stuck Papier wird ein Sektor mit Zentriwinkel [mm] \alpha [/mm] ausgeschnitten.
Durch Verkleben der radialen Schnittkanten entsteht ein Kegel (ohne Boden).
Fur welches [mm] \alpha [/mm] ist das Kegelvolumen maximal? |
hi zusammen,
bräuchte hilfe bei der aufgabe bzw. nen anderen ansatz.
hier mal meine vorgehensweise:
zu allererst hab ich den kompletten kreisinhalt - den kreisausschnitt gerechnet und komme auf
I: A = [mm] \pi r^2 [/mm] ( 1- [mm] \bruch{\alpha}{360 } [/mm] )
nun wird der obige flächeninhalt ja zum mantel des kegels also wird mein r zu s (seitenkante)
II: A = [mm] \pi s^2 [/mm] ( 1- [mm] \bruch{\alpha}{360 } [/mm] )
nun setz ich II mit der formel für die mantelfläche gleich um den radius zu ermitteln
[mm] \pi s^2 [/mm] ( 1- [mm] \bruch{\alpha}{360 } [/mm] ) = [mm] \pi [/mm] r s
vereinfachen ergibt dann r = s( 1- [mm] \bruch{\alpha}{360 } [/mm] )
nun berechne ich die höhe mithilfe des satzes von pythagoras
[mm] h^2 [/mm] = [mm] s^2 [/mm] - [mm] r^2 [/mm] = [mm] s^2 [/mm] - [mm] s^2 [/mm] * ( 1- [mm] \bruch{\alpha}{360 } )^2
[/mm]
vereinfachen davon ergibt dann
h = s* [mm] \wurzel [/mm] (1-( 1- [mm] \bruch{\alpha}{360 } )^2)
[/mm]
nun hab ich alles um endlich das volumen zu bestimmen
V = [mm] \bruch{1}{3} \pi r^2 [/mm] * h
einsetzen der obigen sachen liefert mir dann
V = [mm] \bruch{1}{3} \pi [/mm] (s( 1- [mm] \bruch{\alpha}{360 } ))^2 [/mm] * s* [mm] \wurzel [/mm] (1-( 1- [mm] \bruch{\alpha}{360 } )^2)
[/mm]
so dass hab ich dann nach alpha ableiten lassen mithilfe vom wolfram ableitungsrechner und dann kam nichts brauchbares raus.
nun möchte ich gerne von euch wissen wo mein fehler liegt
vielen dank im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:03 Mo 26.10.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
mit S im Index meine ich im folgenden das Segment, mit k den Kegel
Versuche erstmal das [mm] \alpha [/mm] aussenvorzulassen. Berechne erstmal das Verhältnis von [mm] r_{kegel}:h_{Kegel}, [/mm] für das das Kegelvolumen Maximal wird. Dann berechne mit den Verhältnis den zugehörigen Winkel [mm] \alpha [/mm] des Kreissegments.
Also:
[mm] V=\bruch{\pi*r_{k}^{2}*h_{k}}{3}
[/mm]
Mit [mm] s_{k}^{2}=r_{k}^{2}+h_{k}^{2}
[/mm]
[mm] \gdw r_{k}^{2}=s_{k}^{2}-h_{k}^{2}
[/mm]
Ergibt sich.
[mm] V=\bruch{\pi*(s_{k}^{2}-h_{k}^{2})*h_{k}}{3}
[/mm]
Da [mm] s_{k}=r_{s}, [/mm] ergibt sich
[mm] V=\bruch{\pi*(r_{s}^{2}-h_{k}^{2})*h_{k}}{3}
[/mm]
Davon kannst du jetzt das [mm] h_{k} [/mm] bestimmen, für das das Volumen maximal ist, und wenn du das hast, bestimme [mm] r_{k}=\wurzel{r_{s}^{2}-h_{k}^{2}}, [/mm] und damit kannst du dann [mm] u_{s}=2\pi*r_{k} [/mm] bestimmen, und darüber dann den Winkel [mm] \alpha [/mm] , denn es gilt ja [mm] \bruch{u_{s}}{u_{komplettkreis}}=\bruch{\alpha}{360}
[/mm]
Marius
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