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| Aufgabe | Für jedes [mm] t\in\IR^{+} [/mm] ist eine Funktion [mm] f_{t} [/mm] gegeben durch [mm] f_{t}(x)=\bruch{x^{2}-9}{t} [/mm] sowie deren Kehrwertfunktion [mm] g_{t}(x)=\bruch{t}{x^{2}-9}. [/mm] Die Graphen von f(x) bzw g(x) seien [mm] K_{t} [/mm] und [mm] C_{t}.
[/mm]
a) Geben Sie die Nullstellen, Extremstelle und den Extremwert von [mm] f_{t} [/mm] an. Welche Bedeutung haben diese Punkte für [mm] g_{t}
[/mm]
b) für welchen wert von t berühren sich [mm] K_{t} [/mm] und [mm] C_{t}
[/mm]
c)Ermitteln Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte von [mm] K_{t} [/mm] und [mm] C_{t} [/mm] in Abhängigkeit von t |
Hi,
zu a)
Klar, ich kann jetzt für [mm] f_{t} [/mm] und [mm] g_{t} [/mm] eine komplette Funktionsuntersuchung durchführen und gucken, was Nullstellen und Extremstelle für auswirkungen haben, aber gibt es irgendetwas, was man über Kehrwertfunktionen wissen muss ?
zu b) Muss ich hier [mm] g_{t} [/mm] und [mm] f_{t} [/mm] gleichsetzen ? Mich macht das "berühren" etwas stutzig. Heißt es, dass es genau einen Schnitpunkt geben soll?
zu c) Hier wohl auf jeden Fall gleichsetzen und gucken wie viele Ergebnisse man bekommt. Sollte wohl am Ende eine quadratische Gleichung herauskommen, so dass man über die Diskriminante argumentieren kann ?!
Lg,
exeqter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 So 23.09.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
a)
Bei der Kehrwertfunktion ist es z.B. so, dass die Nullstellen von f dann gleichzeitig die senkrechte Asymptoten von g wären!
Und ein Maximum von f an einer Stelle wär ein Minimum von g an der Stelle und umgedreht.
b)
f und g gleichsetzen ist nur die halbe Miete! Zu einem Berührpunkt gehört auch, dass die Anstiege der Funktionen an der selben Stelle gleich sind!
c)
Jo, der Gedanke ist schon richtig, aber es wird eine biquadratische Gleichung rauskommen!
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Hi,
danke für die Antwort.
zu b) Okay, wie muss ich dann vorgehen? Wenn der Anstieg derselbe sein muss, heißt es ja, dass die ersten Ableitungen dort auch identisch sein müssen?!
c) Ja, natürlich eine biquadratische Gleichung, heißt maximal 4 Lösungen in Abhängigkeit von t ?!
Lieber Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:37 So 23.09.2007 | | Autor: | Teufel |
Kein Problem :)
b)
Genau so ist es!
[mm] f(x_B)=g(x_B)
[/mm]
[mm] f'(x_B)=g'(x_B)
[/mm]
Damit hast du ja dann 2 Variablen und 2 Gleichungen.
c)
Genau!
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Hi,
ich habe c) jetzt mal ausgerechnet und bin zu folgenden Ergebnissen gekommen:
Lösungen der Gleichung:
[mm] x_{1}=\wurzel{9+t}
[/mm]
[mm] x_{2}=-\wurzel{9+t}
[/mm]
[mm] x_{3}=\wurzel{9-t}
[/mm]
[mm] x_{4}=-\wurzel{9-t}
[/mm]
Daraus folgt, dass es entweder 2 oder 4 Schnittpunkte gibt. Denn für t=0 oder [mm] t\ge9 [/mm] sind es genau 2. Und für 0<t<9 gibt es 4. Richtig ?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 So 23.09.2007 | | Autor: | Teufel |
Die Ergebnisse stimmen, aber die Schlussfolgerung nicht ganz!
Es ist alles ok, nur dass bei t=9 3 Schnittpunkte vorliegen.
(t=9 wäre auch die Lösung zu b))
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:07 So 23.09.2007 | | Autor: | MontBlanc |
Hi,
vielen Dank für deine Hilfe :). Für b) ist es aber auch -9, wenn ich mich nicht irre.
Schönes Restwochenende,
lg, exeqter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:13 So 23.09.2007 | | Autor: | Teufel |
Jo, aber t [mm] \in \IR_+ [/mm] sollte ja nach Aufgabenstellung gelten :) aber sonst hast du natürlich recht.
Dir natürlich auch'n schönes Wochende ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:17 So 23.09.2007 | | Autor: | MontBlanc |
*Hand vor den Kopf schlag und in einer Ecke verkriech*
Dankeschön 
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