Keplersche-/ Kraftgesetz < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:10 Mo 09.08.2010 | | Autor: | waruna |
Ich versuche aus den Keplerschen Kraftgesetzen Kraftgesetz
[mm]\vec{F}=-\bruch{1}{r^{2}}\vec{e}_{r}[/mm]
zu herleiten.
Aus dem 2. Gesetz lässt sich folgen, dass F eine Zentralkraft ist. Aber mit 1. und 3. kann ich irgendwie keine [mm]-\bruch{1}{r^{2}}[/mm] Abhängigkeit erhalten...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Mo 09.08.2010 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Ich versuche aus den Keplerschen Kraftgesetzen Kraftgesetz
Welche sind denn die keplerschen Kraftgesetze?
> [mm]\vec{F}=-\bruch{1}{r^{2}}\vec{e}_{r}[/mm]
Fehlt hier nicht was? Dieser Formel nach müsste die Kraft ja die Einheit [mm] $[\vec{F}]=\frac{1}{m^2}$ [/mm] haben.
Gruß,
notinX
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Mo 09.08.2010 | | Autor: | waruna |
Ich meinte 3 Keplerische Gesetze, und aus diesen will ich Gravitationskraft herleiten.
> > [mm]\vec{F}=-\bruch{1}{r^{2}}\vec{e}_{r}[/mm]
>
> Fehlt hier nicht was? Dieser Formel nach müsste die Kraft
> ja die Einheit [mm][\vec{F}]=\frac{1}{m^2}[/mm] haben.
Na ja, naturlich hier soll stehen:
[mm]\vec{F}[/mm] ist proportional zu [mm]-\bruch{1}{r^{2}}\vec{e}_{r}[/mm]
(das will ich zeigen).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 Mo 09.08.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich versuche aus den Keplerschen Kraftgesetzen Kraftgesetz
> [mm]\vec{F}=-\bruch{1}{r^{2}}\vec{e}_{r}[/mm]
> zu herleiten.
> Aus dem 2. Gesetz lässt sich folgen, dass F eine
> Zentralkraft ist. Aber mit 1. und 3. kann ich irgendwie
> keine [mm]-\bruch{1}{r^{2}}[/mm] Abhängigkeit erhalten...
Das ist gar nicht so schwer. Geh der Einfachheit halber von Kreisbahnen aus, das rechnet sich leichter. Das 3. Keplersche Gesetz stellt eine Beziehung zwischen Umlaufzeit und Bahnradius her:
[mm] \bruch{r^3}{T^2} = C [/mm],
wobei C ein Konstante ist. Nun drücke die Zentrifugalkraft durch r und T aus!
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Mo 09.08.2010 | | Autor: | waruna |
NA ja, bei Kreisbahnen geht das ganz einfach, aber was im Allgemeinen?
Dann kann ich nicht so einfach der Zentrifugalkraft angeben, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Mo 09.08.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> NA ja, bei Kreisbahnen geht das ganz einfach, aber was im
> Allgemeinen?
> Dann kann ich nicht so einfach der Zentrifugalkraft
> angeben, oder?
Dann müsstest du dir eine geeignete Kurvendarstellung [mm] $\vec{r}(t)$ [/mm] der Ellipsenbahn nehmen, die Geschwindigkeit und die Zentrifugalkraft bestimmen. Das geht, ist aber mehr Rechnerei.
ABER: Das ist überhaupt nicht notwendig, denn du hast ja aus dem 2. Keplerschen Gesetz gefolgert, dass es sich um eine (konservative) Zentralkraft handelt. Deren Richtung und Größe hängen nur vom Ort ab, nicht aber von der Geschwindigkeit. Die Richtung weisst du (entlang der Verbindungslinie von Sonne und Planet), musst also nur noch ihre Größe in Abhängigkeit vom Abstand [mm] $|\vec{r}|$ [/mm] bestimmen. Wenn du das für jeden Punkt des Raumes mit Hilfe einer Kreisbahn tust, brauchst du den allgemeinen Fall einer Ellipse nicht mehr zu betrachten.
Viele Grüße
Rainer
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Das ist gar nicht einfach, Kepler selber ist es nicht gelungen, Newton hat es über sehr komplizierte Überlegungen herausgefunden. Ich habe es im 2. Semester Physik vom Prof vorgerechnet bekommen (vektoriell) und ein paar Tage gebraucht, um alles nachzuvollziehen. Feynman hat ein kleines Buch herausgegeben, in dem die Gedankengänge Newtons rekonstruiert wurden. Sehr schwer zu verstehen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 Mo 09.08.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Ich habe gerade im Buch von Volz (Einführung in die Theoretische Mechanik) einen recht eleganten Nachweis gefunden:
Die nach dem 2. Keplerschen Gesetz konstante Flächengeschwindigkeit ist in ebenen Polarkoordinaten
[mm] \bruch{1}{2} r^2 \dot\varphi [/mm] ,
es ist also
(*) [mm] \dot\varphi = \bruch{C}{r^2} [/mm] ,
wenn $C$ die doppelte Flächengeschwindigkeit bezeichnet.
(Daraus folgt bereits, dass die Beschleunigung die Richtung von [mm] $\vec{r}$ [/mm] hat.)
Ausgehend von der Bahngleichung der Ellipse in ebenen Polarkoordinaten (Zentralgestirn im Ursprung):
[mm] r = \bruch{p}{1-\varepsilon \cos \varphi} [/mm]
ergibt sich durch Ableitung und Einsetzen von (*)
[mm] \dot{r} = \bruch{-p\varepsilon \sin\varphi}{(1-\varepsilon \cos \varphi)^2} \dot{\varphi} = \bruch{-p\varepsilon C\sin\varphi}{r^2 (1-\varepsilon \cos \varphi)^2} [/mm] .
Einsetzen der Bahngleichung für r ergibt
[mm] \dot{r} = -\bruch{\varepsilon C}{p}\sin\varphi [/mm] .
Die Zeitableitung ist (wieder mit (*))
[mm] \ddot r = -\bruch{\varepsilon C}{p}\cos\varphi * \dot\varphi = -\bruch{\varepsilon C}{p}\cos\varphi* \bruch{C}{r^2} [/mm] .
Die Beschleunigung in Richtung von r ist in Polarkoordinaten
[mm] a_r = \ddot{r} -r \dot{\varphi}^2 = -\bruch{C^2}{r^2} \left( \bruch{\varepsilon}{p}\cos\varphi - \bruch{1}{r}\right) [/mm] .
Aufgrund der Bahngleichung ist die runde Klammer gerade $1/p$, sodass
(**) [mm] a_r = -\bruch{C^2}{p}*\bruch{1}{r^2} [/mm] .
übrigbleibt.
Wichtig für das Weitere ist der Vorfaktor [mm] $\bruch{C^2}{p}$ [/mm] . Der ist zwar eine Konstante, die aber für jede unterschiedliche Planetenbahnen unterschiedliche Werte haben kann.
Aus dem 3. Keplerschen Gesetz folgt, dass diese Konstante für alle Bahnen den gleichen Wert hat.
Die Flächengeschwindigkeit ist gerade die Fläche der Ellipse [mm] $\pi [/mm] ab$, dividiert durch die Umlaufzeit $T$:
[mm] \bruch{C}{2} = \bruch{\pi a b}{T} \gdw T = \bruch{2\pi ab }{C} [/mm] .
Das dritte Keplersche Gesetz sagt, dass
[mm] \bruch {a^3}{T^2} = \bruch{C^2}{4\pi^2 p} [/mm] (mit [mm] $p=b^2/a$)
[/mm]
eine Konstante ist, und zwar für alle Bahnen die gleiche. Also ist der Faktor [mm] $\bruch{C^2}{p}$ [/mm] in (**) eine solche universelle Konstante und daher die Radialbeschleunigung proportional zu [mm] $1/r^2$. [/mm] QED.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:04 Mo 09.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Hier ein rein geometrischer Beweis ; allerdings für das Potential, aber damit hat man ja auch F.
für Parabel und Hyperbelbahnen geht er entsprechend.
allerdings engl. da ich keine Lust hab ihn zu übersetzen.
Now we present a geometric proof. The convincing
simplicity of such arguments was also the motiva-
tion for Feynman’s Lost Lecture. The starting point
is the determination of the correct orbital speed by
the property that the product of the speed
|v| with the distance p of the tangent line from the center
is the constant angular momentum, Kepler’s second
law. Of course we can illustrate such a fact only if
we also represent the size of velocities by the length
of segments and we have to keep in mind that seg-
ments which illustrate a length and segments which
illustrate a velocity are interpretated with different
units.
Recall the following theorem about circles: if two se-
cants of a circle intersect then the product of the sub-
segments of one secant ist the same as the product of
the subsegments of the other secant.
This will be applied to the circle the radius of which
is the length 2a of the ma jor axis. (The midpoint is
the other focus, not the sun.) The two secants in-
tersect in the focus representing the sun: one secant
is an extension of the ma jor axis the other is per-
pendicular to the tangent line. The subsegments of
the first secant have the lengths 2a −2e and 2a + 2e,2e and 2a + 2e,
where 2e isthedistance between thefoci. The sub-
segments of the second secant have one length 2p and
one labeled |v|.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Kepler Ellipse with construction of
proper speed and potential.
The circle theorem says: (2a −2e)·(2a+2e)=2p·|v|.
Since the left side is constant we can interprete the
segment labeled |v| as representing the correct orbital
speed.
Now that we know at each point of the orbit the cor-
rect speed we can deduce Newton’s 1/r-law for the
gravitational potential, if we use kineticenergy plus
potential energy equals constant total energy. In the
illustration we have two similar right triangles, the
small one has hypothenuse = r and one other side
= p, the big one has as hypothenuse a circle diam-
eter of length 4a and the corresponding other side
has length 2p + |v|.
Now we use the above const :=
(2a − 2e) · (2a + 2e) = 2p · |v| to eliminate p from the
proportion:
p : r = (2p + |v|) : 4a
This gives
2a/r = 1 + |v|/2p = 1 + [mm] v^2 [/mm] /const.
Up to physical constants (units) [mm] v^2 [/mm] is the kinetic en-
ergy, so that (again up to units)
−1/r is the potential
energy – since such a potential makes kinetic plus po-
tential energy constant.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:14 Mo 09.08.2010 | | Autor: | waruna |
Vielen Dank :)
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