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| Aufgabe | Beweise!
Eine lineare Abbildung [mm] \phi: [/mm] V->W ist genau dann injektiv wenn sie trivialen Kern hat d.h. genau dann wenn [mm] ker(\phi) =\{0\} [/mm] |
Hallo.
Mir ist klar, dass man zwei Seiten beweisen muss.
ZZ: Sei [mm] ker(\phi) [/mm] = [mm] \{0\} [/mm] => [mm] \phi [/mm] injektiv
Sei [mm] v_1,v_2 \in [/mm] V mit [mm] \phi(v_1) [/mm] = [mm] \phi(v_2), [/mm] ZZ: [mm] v_1=v_2
[/mm]
[mm] \phi(v_2-v_1)= \phi(v_2) -\phi(v_1) [/mm] = 0
=> [mm] v_2 -v_1 \in ker(\phi) =\{0\} [/mm] => [mm] v_2-v_1=0 [/mm] => [mm] v_1=v_2
[/mm]
ZZ: [mm] \phi [/mm] injektiv => [mm] ker(\phi) =\{0\}
[/mm]
[mm] Kern(\phi) [/mm] definiert als [mm] ker(\phi) [/mm] = [mm] {\phi}^{-1} [/mm] (0)
Kann mir wer bei der "anderen Seite" behilflich sein?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Mo 09.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweise!
> Eine lineare Abbildung [mm]\phi:[/mm] V->W ist genau dann injektiv
> wenn sie trivialen Kern hat d.h. genau dann wenn [mm]ker(\phi) =\{0\}[/mm]
>
> Hallo.
> Mir ist klar, dass man zwei Seiten beweisen muss.
>
> ZZ: Sei [mm]ker(\phi)[/mm] = [mm]\{0\}[/mm] => [mm]\phi[/mm] injektiv
> Sei [mm]v_1,v_2 \in[/mm] V mit [mm]\phi(v_1)[/mm] = [mm]\phi(v_2),[/mm] ZZ: [mm]v_1=v_2[/mm]
> [mm]\phi(v_2-v_1)= \phi(v_2) -\phi(v_1)[/mm] = 0
> => [mm]v_2 -v_1 \in ker(\phi) =\{0\}[/mm] => [mm]v_2-v_1=0[/mm] => [mm]v_1=v_2[/mm]
>
> ZZ: [mm]\phi[/mm] injektiv => [mm]ker(\phi) =\{0\}[/mm]
> [mm]Kern(\phi)[/mm] definiert
> als [mm]ker(\phi)[/mm] = [mm]{\phi}^{-1}[/mm] (0)
>
> Kann mir wer bei der "anderen Seite" behilflich sein?
klar:
Wegen der Linearität von [mm] $\phi$ [/mm] ist $0 [mm] \in ker(\phi)\,,$ [/mm] also [mm] $\{0\} \subseteq ker(\phi)\,.$ [/mm] Es bleibt also [mm] $\ker(\phi) \subseteq \{0\}$ [/mm] zu zeigen, bzw. zu zeigen:
$x [mm] \in ker(\phi) \Rightarrow x=0\,.$
[/mm]
Sei also $x [mm] \in ker(\phi)\,,$ [/mm] dann folgt $x [mm] \in [/mm] V$ mit [mm] $\phi(x)=0\,.$ [/mm] Wie oben erwähnt besagt die Linearität von [mm] $\phi\,,$ [/mm] dass insbesondere für $0 [mm] \in [/mm] V$ gilt
[mm] $$\phi(0)=0 \in W\,.$$
[/mm]
Daher
[mm] $$\phi(x)=0=\phi(0)$$
[/mm]
oder, was das auch beinhaltet:
[mm] $$\phi(x)=\phi(0)\,.$$ [/mm]
Was folgt nun aus der Injektivität von [mm] $\phi$? [/mm]
Gruß,
Marcel
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hallo!!
> oder, was das auch beinhaltet:
$ [mm] \phi(x)=\phi(0)\,. [/mm] $
> Was folgt nun aus der Injektivität von $ [mm] \phi [/mm] $?
x=0
Frage:
> Wegen der Linearität von $ [mm] \phi [/mm] $ ist $ 0 [mm] \in ker(\phi)\,, [/mm] $ also $ [mm] \{0\} \subseteq ker(\phi)\,. [/mm] $
woher weiß man überhaupt, dass 0 [mm] \in [/mm] V ist?. wenn es in V ist wird es abgebildet auf 0 ja.
Könnte man nicht auch sagen
[mm] ker(\phi) [/mm] = [mm] \phi^{-1} [/mm] (0)
Urbild ist eindeutig. Also hat [mm] \phi^{-1} [/mm] (0) nur 1 Element.
Da [mm] \phi [/mm] linear ist. bildet 0 auf 0 ab. 0 [mm] \in ker(\phi)
[/mm]
also [mm] ker(\phi) [/mm] = [mm] \{0\}
[/mm]
Falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:16 Mo 09.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hallo!!
> > oder, was das auch beinhaltet:
>
> [mm]\phi(x)=\phi(0)\,.[/mm]
>
>
> > Was folgt nun aus der Injektivität von [mm]\phi [/mm]?
> x=0
>
> Frage:
> > Wegen der Linearität von [mm]\phi[/mm] ist [mm]0 \in ker(\phi)\,,[/mm]
> also [mm]\{0\} \subseteq ker(\phi)\,.[/mm]
> woher weiß man überhaupt, dass 0 [mm]\in[/mm] V ist?
normalerweise steht in den Vektorraumaxiomen, dass es ein Nullelement bzgl. der Vektoraddition gibt. Wie habt ihr denn sonst Vektorräume definiert? Bei Unterräumen steht manchmal:
$U [mm] \subseteq [/mm] V$ heißt Unterraum, wenn gelten
1. $U [mm] \not= \emptyset$
[/mm]
und noch ein (oder zwei) andere Bedingungen. Mit diesen kann man dann [mm] $0_V \in [/mm] U$ folgern. Aber oben ist [mm] $V\,$ [/mm] ein Vektorraum!!
> . wenn es in V
> ist
Mich würde wundern, wenn diese Forderung bei Euch in den Vektorraumaxiomen nicht erwähnt wird ^^
> wird es abgebildet auf 0 ja.
Wegen der Linearität, und etwa, weil
[mm] $$\phi(0)=\phi(0+0)=\phi(0)+\phi(0)\,.$$
[/mm]
Man kann es auch so begründen (mit ein wenig Vorwissen):
Für $v [mm] \in [/mm] V$ und der $0 [mm] \in [/mm] K$ gilt mit den [mm] $K\,$-Vektorräumen $V\,$ [/mm] und [mm] $W\,$
[/mm]
[mm] $$\phi(0)=\phi(0*v)=0*\phi(v)=0 \in W\,.$$
[/mm]
Beachte, dass die erste [mm] $0\,$ [/mm] die [mm] $0_V$ [/mm] ist, die 2e und 3e ist [mm] $0_{K}$ ($K\,$ [/mm] ist der "Körper") und die letzte ist, wie angedeutet, [mm] $0_W\,.$
[/mm]
> Könnte man nicht auch sagen
> [mm]ker(\phi)[/mm] = [mm]\phi^{-1}[/mm] (0)
> Urbild ist eindeutig.
Besser: Die Urbildmenge [mm] $\phi^{-1}(\{0\})$ [/mm] besteht (bei injektivem [mm] $\phi$) [/mm] aus genau einem Element, und dieses ist [mm] $0_V\,.$ [/mm] Das beweisen wir nun:
> Also hat [mm]\phi^{-1}[/mm] (0) nur 1
> Element.
Ich würde es so formulieren: Die Menge [mm] $\phi^{-1}(\{0\})$ [/mm] (mit [mm] $0=0_W$) [/mm] (das ist übrigens die saubere Schreibweise - viele Autoren schreiben, wie ihr, aber auch stets [mm] $\phi^{-1}(0)$ [/mm] anstatt [mm] $\phi^{-1}(\{0\})$ [/mm] sogar für nichtinjektives lineares [mm] $\phi$ [/mm] zwischen Vektorräumen - leider!) hat wegen der Injektivität von [mm] $\phi$ [/mm] höchstens ein Element (das heißt erstmal: eines oder keines). Und jetzt zitiere ich Dich
> Da [mm]\phi[/mm] linear ist. bildet
die Funktion [mm] $\phi$ [/mm] das Element
> 0 auf 0 ab.
Daraus folgt
0 [mm]\in ker(\phi)[/mm]
>
> also [mm]ker(\phi)[/mm] = [mm]\{0\}[/mm]
Absolut korrekt: Das geht genauso und prinzipiell sind das genau die gleichen Überlegungen, wenn sie auch "ein wenig anders verpackt" erscheinen ^^
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:44 Di 10.01.2012 | | Autor: | theresetom |
Ich danke dir sehr ;)
Ich finds toll, dass du dir immer die Zeit nimmst und so ausführlich auf die Fragen eingehst
LG
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