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| Aufgabe | Seien f:V->, g:W->X lineare Abbildungen, alle Vektorräume endlich-dimensional. Überprüfe folgende Aussagen auf ihreRichtigkeit (Begründung):
d) Ke(g [mm] \circ [/mm] f) [mm] \supseteq [/mm] Ke f |
Hallo!
Ist der Kern einer linearen Abbildung nicht immer nur der Nullvektor?
Meine Gedanken dazu:
f(0) = 0 aufgrund der Linearität. [mm] /f^{-1}
[/mm]
[mm] f^{-1}(f(0)) [/mm] = [mm] f^{-1}(0)
[/mm]
0 = [mm] f^{-1}(0)
[/mm]
Ich glaube, dass ich noch berücksichtigen muss, dass die Funktion nicht injektiv sein muss - wie sieht dann aber [mm] f^{-1} [/mm] aus? Ich kann doch nur 1 Nullstelle als Lösung bekommen, oder?
danke & greetz
sonnenblumale
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 So 15.01.2006 | | Autor: | taura |
Hallo Sonnenblumale!
> Seien f:V->, g:W->X lineare Abbildungen, alle Vektorräume
> endlich-dimensional. Überprüfe folgende Aussagen auf
> ihreRichtigkeit (Begründung):
>
> d) Ke(g [mm]\circ[/mm] f) [mm]\supseteq[/mm] Ke f
>
> Ist der Kern einer linearen Abbildung nicht immer nur der
> Nullvektor?
Nein, das gilt nur, wenn die lineare Abbildung injektiv ist. Allerdings liegt der Nullvektor immer im Kern, denn f(0)=0 gilt für alle linearen Abbildungen.
> Meine Gedanken dazu:
> f(0) = 0 aufgrund der Linearität. [mm]/f^{-1}[/mm]
> [mm]f^{-1}(f(0))[/mm] = [mm]f^{-1}(0)[/mm]
> 0 = [mm]f^{-1}(0)[/mm]
Du darfst hier leider nicht einfach mit [mm] $f^{-1}$ [/mm] arbeiten, denn die Umkehrabbildung exisitert unter Umständen garnicht.
> Ich glaube, dass ich noch berücksichtigen muss, dass die
> Funktion nicht injektiv sein muss - wie sieht dann aber
> [mm]f^{-1}[/mm] aus? Ich kann doch nur 1 Nullstelle als Lösung
> bekommen, oder?
Wenn f nicht injektix, also insbesondere nicht bijektiv ist, exisiert garkeine Umkehrabbildung. Und Nullstellen kann es auch mehrere geben.
Der Kern einer linearen Abbildung ist ja eine Menge, das heißt, was du untersuchen sollst ist eine Mengeninklusion. Das macht man im Allgemeinen wie folgt:
zu zeigen: $A [mm] \subseteq [/mm] B$
Bew: sei [mm] $x\in [/mm] A [mm] \text{ bel.}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] \ \ ...$ (Definition einsetzten, umformen, folgern usw.)
[mm] $\Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] B$
Dann ist jedes x aus A auch in B und somit ist A Teilmenge von B.
Kannst du das auf die Aufgabe anwenden?
Gruß taura
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Also der Kern einer linearen Abbildung besteht keineswegs nur aus der 0.
Sei f:V [mm] \to [/mm] W linear
Dann gilt für den Kern von f folgendes :
Kernf := {v [mm] \varepsilon [/mm] V : f(v) = 0 }
Mit anderen Worten besteht der Kern einer linearen Abbildung genau aus den Vektoren, die unter f auf den Nullvektor abgebildet werden. du kannst leicht verifizieren, dass Kernf ein Unterraum ist. Allein schon deswegen ist nicht nur der nullvektor im Kern enthalten.
Du hast aber damit ein notwendiges Kriterium für lineare Abbildungen :
f(0) = 0 muss immer gelten.
Gruß Daniel
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DAnke euch!
War ja ein richtiges Kinderspiel so :)
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