Kern < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Fr 13.04.2007 | | Autor: | Leeson |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Aufgabe ist es den Kern zu bestimmen. Durch Zeilenumformung hab ich
[mm] \pmat{ 1 & -1/2 & -1/2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] erhalten. Dann weiß ich leider nicht so recht weiter. Habe (in meiner Ahnungslosigkeit) [mm] x_{2} [/mm] = a und [mm] X_{3} [/mm] = b gesetzt. Ergeben würde sich dann daraus a* [mm] \vektor{1/2 \\ 1 \\ 0 \\ 1/2} [/mm] + [mm] b*\vektor{1/2 \\ 0 \\ 1 \\ 1/2}. [/mm] Rauskommen sollte aber a* [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] b*\vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 1}. [/mm] Kann das Ergebnis leider nicht nachvollziehen. Wie kommt man da drauf?
Ps: Ist die Dimension einfach die Anzahl der Vekoren die ich zur Lösungsdarstellung brauche, also in diesem Fall 2?
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Hallo,
zu "p.s." ... ja die Dimension ist die Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren.
kern+rang=dimension
Liebe Grüße
Andreas
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Hallo,
wenn man den Kern einer Matrix berechnen soll, berechnet man ja nix andres als den Kern der linearen Abbildung, die durch eben diese Matrix beschrieben wird. Man berechnet die Menge jener Vektoren die auf den 0-Vektor abgebildet werden.
Also [mm] A*\vec{x}=\vec{0}
[/mm]
Die Lösungsmenge ist der ges. Kern
Liebe Grüße
Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Sa 14.04.2007 | | Autor: | Leeson |
Naja, so ähnlich stand das auch in meinem Matheskript, aber verstanden hab ih es immer noch nicht. Ich habe dann also stehen [mm] \pmat{ 1 & -1/2 & -1/2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] * [mm] \cec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\0 }. [/mm] Und dann? Auf beiden Seiten * dem Inversen von A? Also muss ich von A erst das Inverse auzrechen oder wie? Vieleicht wird es für mich deutlicher wenn mir jemand den Rechenschritt vorrechnet, die Lösung was rauskommen sollte hab ich ja schon gepostet.
Zum Ps: Du schriebst : Rang + Kern = Dimension
Rang ist in diesem Fall doch 2 da 2 Zeilen von A ungleich Null sind und der Kern ist auch 2, da die Lösung aus zwei Vektoren besteht. Also Deimension in diesem Falle = 2+2 = 4 oder wie? Bitte etwas genauer damit ich es jetzt endlich auch mal verstehe :).
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:14 Sa 14.04.2007 | | Autor: | Vreni |
Hallo Leeson,
also ich kenne die Formel dim(Kern)=n-r, wobei n die Anzahl der Spalten und r der Rang der Matrix ist.
Jetzt zur Rechnung:
[mm] A\vec{x}=\vec{0}
[/mm]
[mm] \gdw \pmat{ 1 & -\bruch{1}{2} & -\bruch{1}{2} & 0\\ 0 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }*\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (Matrix-Vektor-Multiplikation) [mm] \vektor{1*x_{1} -\bruch{1}{2}*x_{2}-\bruch{1}{2}*x_{3}+0*x_{4}\\ 0*x_{1} +1*x_{2}+1*x_{3}-2*x_{4}\\ 0*x_{1} +0*x_{2}+0*x_{3}+0*x_{4}}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
Jetzt hast du drei Gleichungen:
1) [mm] 1*x_{1} -\bruch{1}{2}*x_{2}-\bruch{1}{2}*x_{3}+0*x_{4}=0
[/mm]
2) [mm] 0*x_{1} +1*x_{2}+1*x_{3}-2*x_{4}=0
[/mm]
3) [mm] 0*x_{1} +0*x_{2}+0*x_{3}+0*x_{4}=0
[/mm]
Die dritte Gleichung fällt weg, da sie 0=0 ergibt. Jetzt hast du also noch 2 Gleichungen mit 4 Unbekannten, d.h. du brauchst, 4-2=2 (das ist genau die Formel dim(Kern)=n-r), zwei freie Variablen, Parameter, um den Kern darzustellen.
Du hast das ja auch schon richtig gerechnet, indem du [mm] x_{2}=a [/mm] und [mm] x_{3}=b [/mm] gesetzt. Bei der Lösung, die du wohl als Musterlösung hast, wurde einfach [mm] x_{3}=a [/mm] und [mm] x_{4}=b [/mm] gesetzt (man nimmt halt aus Konvention meistens die x{i} mit den höchsten Indizees, aber eigentlich ist es egal). Also ist deine Lösung genauso richtig.
Überprüfen, ob deine Lösung mit der anderen übereinstimmt kannst du allgemein dadurch, dass du versuchst, die Basisvektoren (also die Vektoren, mit denen du a und b multiplizierst) durch eien Linearkombination der Basisvektoren der anderen Lösung auszudrücken. wenn das funktioniert, stimmen die Lösungen überein.
Gruß,
Vreni
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