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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 So 05.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Es seien [mm] G_{1},G_{2} [/mm] Gruppen (mit neutralen Elementen [mm] e-{1},e_{2}) [/mm] und f : [mm] G_{1} \to G_{2} [/mm] ein Gruppenhomomorphismus.
Die Faser von [mm] e_{2} [/mm] unter f wird Kern von f genannt, und man schreibt
Ke( f ) = f [mm] ^{-1}({e_{2}}):
[/mm]
Zeigen Sie, dass f genau dann injektiv ist, wenn Ke( f ) = [mm] {e_{1}} [/mm] ist.
b) Es sei G eine Gruppe und z [mm] \varepsilon [/mm] G. Zeigen Sie, dass die Abbildung [mm] f_{z} [/mm] : G [mm] \to [/mm] G,x [mm] \mapsto [/mm] z [mm] \* [/mm] x [mm] \* z^{-1} [/mm] ein
Gruppenisomorphismus ist. |
Hallo. Das mit Gruppen, Ringen, ... habe ich soweit verstanden, aber diese Aufgabe (übrigens diesmal eine von vielen ;)) kapier ich einfach nicht. Hab irgendwie keine Ahnung, wie man da rangehn soll. Danke für Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 So 05.12.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
du solltest für diese Aufgabe sehr genau die Definitionen von "Homomorphismus" (inkl. einiger Folgerungen) und "Injektivität" parat haben. (Bitte unbedingt nachschauen, falls das nicht der Fall sein sollte.)
Für Teil a. der Aufgabe musst du zwei Richtungen beweisen :
1. f injektiv => Ke(f) = [mm] e_1
[/mm]
Nimm dazu an, dass außer [mm] e_1 [/mm] noch ein witeres Element [mm] x\in G_1 [/mm] auf [mm] e_2 [/mm] abgebildet wird.
2. Ke(f) = [mm] e_1 [/mm] => f injektiv.
Nimm dazu [mm] f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2) [/mm] an und betrachte [mm] f(x_1*x_2^{-1})
[/mm]
Die Aufgabe b. ist durch Nachrechnen der Eigenschaften, die ein Gruppenisomorphismus zu erfüllen hat, zu lösen.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 So 05.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Also, die Def. kenn ich.
Ein Gruppenhom. ist äquivalent zum Halbgruppenhom.
Es gilt:
f(x [mm] \*_{1} [/mm] y) = f(x) [mm] \*_{2} [/mm] f(y)
Und injektiv bedeutet doch, dass zu jedem x aus der Definitionsmenge höchtens ein y aus der Zielmene zugeordnet wird, also
[mm] f(x_{1}) [/mm] = [mm] f(x_{2}) [/mm] => [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2} [/mm] Aber deinen Ansatz versteh ich nicht. ERklär den bitte nochmal. Muss ich denn Äquivalenz zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 So 05.12.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
>
> f(x [mm]\*_{1}[/mm] y) = f(x) [mm]\*_{2}[/mm] f(y)
und die Folgerung für Gruppen, dass [mm] f(e_1)=e_2 [/mm] und [mm] f(x^{-1}) [/mm] = [mm] (f(x))^{-1}
[/mm]
>
> Und injektiv bedeutet doch, dass zu jedem x aus der
> Definitionsmenge höchtens ein y aus der Zielmene
> zugeordnet wird, also
>
> [mm]f(x_{1})[/mm] = [mm]f(x_{2})[/mm] => [mm]x_{1}[/mm] = [mm]x_{2}[/mm] Aber deinen Ansatz
> versteh ich nicht. ERklär den bitte nochmal. Muss ich denn
> Äquivalenz zeigen?
Selbstverständlich musst du das, weil in der Aufgabenstellung von "... genau dann, wenn ..." die Rede ist.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 So 05.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..die Folgerung kenn ich. Stimmt ja. Aber wirklich weiter bringt mich das jetzt nicht. Sry irgendwie versteh ich zwar all diese Begriffe, aber die Anwendung fällt mir nicht gerade leicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 So 05.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Gilt dieser Beweis denn:
"=>" [mm] f(e_{1}) [/mm] = [mm] e_{2} [/mm] => Ke(f) = [mm] {e_{1}}
[/mm]
"<=" zz. f(a) = f(b) => a = b
f(a)=f(b) => e = [mm] f(a)f(b)^{-1} [/mm] => [mm] f(a)f(b^{-1}) [/mm] => [mm] f(ab^{-1})
[/mm]
=> [mm] ab^{-1} \varepsilon [/mm] Ke(f) = {e} => [mm] ab^{-1} [/mm] = e => a=b
Ist das richtig so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 So 05.12.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Gilt dieser Beweis denn:
>
> "=>" [mm]f(e_{1})[/mm] = [mm]e_{2}[/mm] => Ke(f) = [mm]{e_{1}}[/mm]
>
Daraus folgt zunächst nur, dass [mm] e_1 \in [/mm] Ke(f) ist, du musst zeigen, dass [mm] e_1 [/mm] das einzige Element in Ke(f) ist.
> "<=" zz. f(a) = f(b) => a = b
>
> f(a)=f(b) => e = [mm]f(a)f(b)^{-1}[/mm] => [mm]f(a)f(b^{-1})[/mm]
> => [mm]f(ab^{-1})[/mm]
>
> => [mm]ab^{-1} \varepsilon[/mm] Ke(f) = {e} => [mm]ab^{-1}[/mm] = e => a=b
>
> Ist das richtig so?
So ziemlich. Die e's brauchen noch Indizes. Die meisten deiner => -Zeichen müssen = -Zeichen sein. Überprüf das mal.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 So 05.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ach so. Die Indizes. Ich meinte [mm] e_{1} [/mm] Stimmt doch, oder? Aber warum => durch = ersetzen? Sry aber hab das mehrmals überprüft. Wo muss ich denn was ändern??? xD Und bzgl des ersten Beweises. Kannst du mir da vllt helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 So 05.12.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Ach so. Die Indizes. Ich meinte [mm]e_{1}[/mm] Stimmt doch, oder?
Nein, es kommt auch [mm] e_2 [/mm] vor.
> Aber warum => durch = ersetzen? Sry aber hab das mehrmals
> überprüft. Wo muss ich denn was ändern??? xD
=> steht zwischen Aussagen, = steht zwischen Gruppenelementen. $ [mm] f(a)f(b^{-1}) [/mm] $ ist doch keine Aussage.
> Und bzgl des ersten Beweises. Kannst du mir da vllt helfen?
Was folgt denn aus f(x) = [mm] e_2 [/mm] ?
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 So 05.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Sry, bin grad durcheinander. Machs deshalb nochmal.
Also [mm] (G_{1} [/mm] ist jetzt G und [mm] G_{2} [/mm] ist H)
zz. f ist genau dann inejktiv, wenn [mm] f^{-1}{e_{2}} [/mm] = [mm] e_{1}
[/mm]
Wenn f inj. ist, dann liegt in [mm] f^{-1}{e_{H}} [/mm] nicht mehr als ein Element, aber [mm] e_{G} [/mm] liegt darin.
Bew: Es gilt: [mm] f(e_{g}) [/mm] = [mm] f(e_{G} \*_{1} e_{G}) [/mm] = [mm] f(e_{1} \*_{2} F(e_{1})
[/mm]
Diese Gleichung wird nun mit dem zu [mm] f(e_{G}) [/mm] Inversen multipliziert, sodass gilt:
[mm] $e_{H} [/mm] = [mm] f(e_{G})$
[/mm]
Es folgt nun: [mm] f^{-1}(e_{H}) [/mm] = [mm] e_{g} [/mm] So erste Richtung gezeigt oder?
Stimmts bisher?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 So 05.12.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Sry, bin grad durcheinander. Machs deshalb nochmal.
>
> Also [mm](G_{1}[/mm] ist jetzt G und [mm]G_{2}[/mm] ist H)
warum bist du nicht bei den alten Bezeichnungen geblieben ? Die waren doch gut.
Jetzt kommst du nämlich durcheinander, weil du Indizes 1 und 2 neben Indizes G und H verwendest.
>
> zz. f ist genau dann inejktiv, wenn [mm]f^{-1}{e_{2}}[/mm] = [mm]e_{1}[/mm]
>
> Wenn f inj. ist, dann liegt in [mm]f^{-1}{e_{H}}[/mm] nicht mehr als
> ein Element, aber [mm]e_{G}[/mm] liegt darin.
Mach bei solchen Sätzen immer ganz deutlich, ob es sich um eine Umformulierung der zu zeigenden Behauptung handelt oder um eine gesicherte Aussage, die als Voraussetzung für den weiteren Beweis dient.
>
> Bew: Es gilt: [mm]f(e_{g})[/mm] = [mm]f(e_{G} \*_{1} e_{G})[/mm] = [mm]f(e_{1} \*_{2} F(e_{1})[/mm]
>
> Diese Gleichung wird nun mit dem zu [mm]f(e_{G})[/mm] Inversen
> multipliziert, sodass gilt:
>
> [mm]e_{H} = f(e_{G})[/mm]
Diese Aussage hatten wir doch oben als bekannt eingestuft, die hättest du also nicht nochmal zu beweisen brauchen.
>
> Es folgt nun: [mm]f^{-1}(e_{H})[/mm] = [mm]e_{g}[/mm] So erste Richtung
> gezeigt oder?
Nein. Es folgt, dass [mm] e_G \in [/mm] Ke(f) ist, aber nicht, dass { [mm] e_G [/mm] } = Ke(f) ist.
Ich habe dir doch oben gesagt, wie letzteres zu beweisen ist.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:28 So 05.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Also ist dieser Ansatz nicht viel besser :( Sry seh nur meine Fehler vom ersten Bew. nicht, womit ich nicht sagen möchte, dass es keine gibt ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 So 05.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ich schreib das jetzt einfach mal so auf, wie ichs habe. Mal schaun, wie viele Punkte das gibt. Ich muss einfach mal die Lösung sehn, um meine Fehler zu sehn. kannst du mir kurz nochmal sagen wie man an die b) rangehn sollte? da versteh ich nämlich fast garnichts.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 So 05.12.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
halte dich bei b. an die Eigenschaften eines Gruppenisomorphismus und rechne diese Punkt für Punkt nach.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 So 05.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ja, leichter gesagt als getan. Ähm, muss ich also erst zeigen, dass es ein Halbgruppenh. ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 So 05.12.2010 | | Autor: | Sax |
Ja. Und dann, dass es injektiv ist und dann, dass es surjektiv ist.
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