Kern - Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Es sei [mm] F:\IR^{5}\to\IR^{5} [/mm] eine lineare Funktion. Der Kern von F besteht nur aus dem Nullvektor, welche der folgenden Aussagen ist falsch:
a) F ist surrjektiv
b) F ist invertibel
c) F ist injektiv
d) Die Matrix die mit F verbunden ist hat det(F)=0 |
Hallo alle zusammen!
Also der Startraum ist [mm] \IR^_{5} [/mm] und ebenso der Zielraum.
zu c)
Also ich sehe in der Aussage, dass F invertibel ist kein Problem, somit fällt für mich b) schon mal weg.
zu d)
dimRangA= dimV - dimKernA
Die Dimension des Startraumes ist 5 = Anzahl der Spalten, wenn die Kern nur aus einem Nullvektor besteht, so müsste eigentlich die dimension des Kerns 0 sein, da es keine von 0 verschiedenen Nullvektoren gibt.
Über die Anzahl der Elemente wird keine Aussage getroffen, somit kann es doch sein, dass die Matrix einen vollen Rang besitzt, oder nicht?
zu a) und c):
Injektiv (von Wiki):
Bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird
Surrjektiv:
Bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird.
Also, wenn ich das jetzt auf die Aussage [mm] \IR^_{5} \to \IR^_{5} [/mm] anwende, so sehe ich folgendes:
Der Startraum und der Zielraum haben die Selbe Dimension, somit kann für jedes Element aus der Zielmenge max. 1 Funktionswert zur Verfügung stehen, also ist das ganze Injektiv und somit die Aussage a) falsch.
Gehe ich hier richtig in meiner Annahme?
lg
Zuggel
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Hallo Zuggel,
> Es sei [mm]F:\IR^{5}\to\IR^{5}[/mm] eine lineare Funktion. Der Kern
> von F besteht nur aus dem Nullvektor, welche der folgenden
> Aussagen ist falsch:
>
> a) F ist surrjektiv
> b) F ist invertibel
> c) F ist injektiv
> d) Die Matrix die mit F verbunden ist hat det(F)=0
> Hallo alle zusammen!
>
>
> Also der Startraum ist [mm]\IR^_{5}[/mm] und ebenso der Zielraum.
>
> zu c)
>
> Also ich sehe in der Aussage, dass F invertibel ist kein
> Problem, somit fällt für mich b) schon mal weg.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> zu d)
>
> dimRangA= dimV - dimKernA
>
> Die Dimension des Startraumes ist 5 = Anzahl der Spalten,
> wenn die Kern nur aus einem Nullvektor besteht, so müsste
> eigentlich die dimension des Kerns 0 sein, da es keine von
> 0 verschiedenen Nullvektoren gibt.
> Über die Anzahl der Elemente wird keine Aussage getroffen,
> somit kann es doch sein, dass die Matrix einen vollen Rang
> besitzt, oder nicht?
In der Tat, die Matrix hat vollen Rang. Warum?
>
> zu a) und c):
>
> Injektiv (von Wiki):
> Bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens
> einmal als Funktionswert angenommen wird
>
> Surrjektiv:
> Bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens
> einmal als Funktionswert angenommen wird.
>
> Also, wenn ich das jetzt auf die Aussage [mm]\IR^_{5} \to \IR^_{5}[/mm]
> anwende, so sehe ich folgendes:
> Der Startraum und der Zielraum haben die Selbe Dimension,
> somit kann für jedes Element aus der Zielmenge max. 1
> Funktionswert zur Verfügung stehen, also ist das ganze
> Injektiv und somit die Aussage a) falsch.
>
> Gehe ich hier richtig in meiner Annahme?
Nein, denn bei surjektiv heisst es "mindestens einmal" und bei injektiv heisst es "höchstens einmal".
Und "höchstens einmal " ist hier auch "mindestens einmal".
>
> lg
> Zuggel
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Zuggel |
> Hallo Zuggel,
>
> > Es sei [mm]F:\IR^{5}\to\IR^{5}[/mm] eine lineare Funktion. Der Kern
> > von F besteht nur aus dem Nullvektor, welche der folgenden
> > Aussagen ist falsch:
> >
> > a) F ist surrjektiv
> > b) F ist invertibel
> > c) F ist injektiv
> > d) Die Matrix die mit F verbunden ist hat det(F)=0
> > Hallo alle zusammen!
> >
> >
> > Also der Startraum ist [mm]\IR^_{5}[/mm] und ebenso der Zielraum.
> >
> > zu c)
> >
> > Also ich sehe in der Aussage, dass F invertibel ist kein
> > Problem, somit fällt für mich b) schon mal weg.
>
>
>
> >
> > zu d)
> >
> > dimRangA= dimV - dimKernA
> >
> > Die Dimension des Startraumes ist 5 = Anzahl der Spalten,
> > wenn die Kern nur aus einem Nullvektor besteht, so müsste
> > eigentlich die dimension des Kerns 0 sein, da es keine von
> > 0 verschiedenen Nullvektoren gibt.
> > Über die Anzahl der Elemente wird keine Aussage getroffen,
> > somit kann es doch sein, dass die Matrix einen vollen Rang
> > besitzt, oder nicht?
>
> In der Tat, die Matrix hat vollen Rang. Warum?
Tja, das ist die Frage. Ich kanns mir nur annähernd so erklären, die Anzahl der Zeilen wurde hier so vorgegeben, dass unser Startraum [mm] \IR^_{5} [/mm] ist, somit haben meine Spaltenvektoren 5 Elemente. Das heißt, die Dimension des Ranges ist 5, sie kann auch nicht weniger sein, sonst würde unser Startraum nicht [mm] \IR^_{5} [/mm] sein sondern [mm] \IR^_{4} [/mm] oder gar [mm] \IR³ [/mm] und die Dimension des Kerns wäre größer, oder?
Ein Beispiel zu den Spaltenvektoren:
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5},\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 6},\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 7}
[/mm]
Wobei diese 3 Vektoren aus [mm] \IR^_{5} [/mm] entsprechen und einen UVR der Dimension 3 öffnen.
>
> >
> > zu a) und c):
> >
> > Injektiv (von Wiki):
> > Bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens
> > einmal als Funktionswert angenommen wird
> >
> > Surrjektiv:
> > Bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens
> > einmal als Funktionswert angenommen wird.
> >
> > Also, wenn ich das jetzt auf die Aussage [mm]\IR^_{5} \to \IR^_{5}[/mm]
> > anwende, so sehe ich folgendes:
> > Der Startraum und der Zielraum haben die Selbe
> Dimension,
> > somit kann für jedes Element aus der Zielmenge max. 1
> > Funktionswert zur Verfügung stehen, also ist das ganze
> > Injektiv und somit die Aussage a) falsch.
> >
> > Gehe ich hier richtig in meiner Annahme?
>
> Nein, denn bei surjektiv heisst es "mindestens einmal" und
> bei injektiv heisst es "höchstens einmal".
>
> Und "höchstens einmal " ist hier auch "mindestens einmal".
Ach mist, diese Überlegungsfehler passieren mir immer und immer wieder! Dankeschön
lg
Zuggel
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> > > d) Die Matrix die mit F verbunden ist hat det(F)=0
> > > zu d)
> > >
> > > dimRangA= dimV - dimKernA
> > >
> > > Die Dimension des Startraumes ist 5 = Anzahl der Spalten,
> > > wenn die Kern nur aus einem Nullvektor besteht, so müsste
> > > eigentlich die dimension des Kerns 0 sein, da es keine von
> > > 0 verschiedenen Nullvektoren gibt.
> > > Über die Anzahl der Elemente wird keine Aussage getroffen,
> > > somit kann es doch sein, dass die Matrix einen vollen Rang
> > > besitzt, oder nicht?
> >
> > In der Tat, die Matrix hat vollen Rang. Warum?
Hallo,
wenn Du Deinen Rangsatz von oben verwendest, steht das ja außer Frage:
Du erhältst RangA=5, und weil's eine 5x5-Matrix ist, kann es ja nicht mehr als 5 linear unabhängige Spalten geben.
> Tja, das ist die Frage. Ich kanns mir nur annähernd so
> erklären, die Anzahl der Zeilen wurde hier so vorgegeben,
> dass unser Startraum [mm]\IR^_{5}[/mm] ist, somit haben meine
> Spaltenvektoren 5 Elemente.
Nein, nein, nein.
Vorgegeben wurde, daß Deine Abbildung im [mm] \IR^5 [/mm] startet, uns deshalb hat Deine Matrix 5 Spalten.
5 Zeilen hat sie, weil der Zielraum der [mm] \IR^5 [/mm] ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Zuggel |
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> > > > d) Die Matrix die mit F verbunden ist hat det(F)=0
>
> > > > zu d)
> > > >
> > > > dimRangA= dimV - dimKernA
> > > >
> > > > Die Dimension des Startraumes ist 5 = Anzahl der Spalten,
> > > > wenn die Kern nur aus einem Nullvektor besteht, so müsste
> > > > eigentlich die dimension des Kerns 0 sein, da es keine von
> > > > 0 verschiedenen Nullvektoren gibt.
> > > > Über die Anzahl der Elemente wird keine Aussage getroffen,
> > > > somit kann es doch sein, dass die Matrix einen vollen Rang
> > > > besitzt, oder nicht?
> > >
> > > In der Tat, die Matrix hat vollen Rang. Warum?
>
> Hallo,
>
> wenn Du Deinen Rangsatz von oben verwendest, steht das ja
> außer Frage:
>
> Du erhältst RangA=5, und weil's eine 5x5-Matrix ist, kann
> es ja nicht mehr als 5 linear unabhängige Spalten geben.
>
>
> > Tja, das ist die Frage. Ich kanns mir nur annähernd so
> > erklären, die Anzahl der Zeilen wurde hier so vorgegeben,
> > dass unser Startraum [mm]\IR^_{5}[/mm] ist, somit haben meine
> > Spaltenvektoren 5 Elemente.
>
> Nein, nein, nein.
>
> Vorgegeben wurde, daß Deine Abbildung im [mm]\IR^5[/mm] startet, uns
> deshalb hat Deine Matrix 5 Spalten.
> 5 Zeilen hat sie, weil der Zielraum der [mm]\IR^5[/mm] ist.
>
Achso, ich hatte mich eben auf das Posting hier bezogen: https://matheraum.de/read?i=389620 und dachte, ich kann es so anwenden.
Dabei hatten wir die Dimension des UVR bestimmt, hier bestimmen wir die Dimension des Zielraumes.
Also ist es IMMER so, dass der Startraum mir die Anzahl der Spalten angibt (und nicht der linear voneinander unabhängigen Spaltenvektoren), und der Zielraum die Anzahl der Zeilen?
Wenn das jetzt richtig ist, dann habe ich glaube ich schon einen rießigen Schritt in Richtung Verständnis einer Matrix gemacht 
lg
Zuggel
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> Also ist es IMMER so, dass der Startraum mir die Anzahl der
> Spalten angibt (und nicht der linear voneinander
> unabhängigen Spaltenvektoren), und der Zielraum die Anzahl
> der Zeilen?
Hallo,
ja, so ist das.
Und wenn Du ansatzweise verstanden hast, wie man von der linearen Abbildung zur darstellenden Matrix kommt, sollte Dich das nicht wundern.
In den Spalten stehen die Bilder der Basisvektoren. Also müssen wir so viele Spalten haben wie die Dimension des Startraumes ist.
Und die Spalten haben natürlich soviele Komponenten wie die Dimension des Zielraumes.
(Achtung: die Dimension des Bildes kann kleiner sein, denn es ist ein UVR des Zielraumes.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Zuggel |
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> > Also ist es IMMER so, dass der Startraum mir die Anzahl der
> > Spalten angibt (und nicht der linear voneinander
> > unabhängigen Spaltenvektoren), und der Zielraum die Anzahl
> > der Zeilen?
>
> Hallo,
>
> ja, so ist das.
>
> Und wenn Du ansatzweise verstanden hast, wie man von der
> linearen Abbildung zur darstellenden Matrix kommt, sollte
> Dich das nicht wundern.
>
> In den Spalten stehen die Bilder der Basisvektoren. Also
> müssen wir so viele Spalten haben wie die Dimension des
> Startraumes ist.
>
> Und die Spalten haben natürlich soviele Komponenten wie die
> Dimension des Zielraumes.
>
> (Achtung: die Dimension des Bildes kann kleiner sein, denn
> es ist ein UVR des Zielraumes.)
Ok: Ja, aber 2 Fragen:
Öffnen dann 5 Spaltenvektoren und 1 lin. abhängiger Spaltenvektor immer noch einen Zielraum von R^_{5}, oder?
Und, wenn ich, wie in diesem Fall, eine 5x5 Matrix, der UVR Raum des Zielraumes hätte dann die Dimension 5, oder? Das geht doch aus der Anzahl der Spaltenvektoren hervor, welche UVR sie öffnen im Zielraum, oder?
lg
Zuggel
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> >
> > > Also ist es IMMER so, dass der Startraum mir die Anzahl der
> > > Spalten angibt (und nicht der linear voneinander
> > > unabhängigen Spaltenvektoren), und der Zielraum die Anzahl
> > > der Zeilen?
> >
> > Hallo,
> >
> > ja, so ist das.
> >
> > Und wenn Du ansatzweise verstanden hast, wie man von der
> > linearen Abbildung zur darstellenden Matrix kommt, sollte
> > Dich das nicht wundern.
> >
> > In den Spalten stehen die Bilder der Basisvektoren. Also
> > müssen wir so viele Spalten haben wie die Dimension des
> > Startraumes ist.
> >
> > Und die Spalten haben natürlich soviele Komponenten wie die
> > Dimension des Zielraumes.
> >
> > (Achtung: die Dimension des Bildes kann kleiner sein, denn
> > es ist ein UVR des Zielraumes.)
>
> Ok: Ja, aber 2 Fragen:
>
> Öffnen dann 5 Spaltenvektoren und 1 lin. abhängiger
> Spaltenvektor immer noch einen Zielraum von R^_{5}, oder?
Also 6 Spaltenvektoren?
Das bedeutet, daß der Startraum die Dimension 6 hat.
>
> Und, wenn ich, wie in diesem Fall, eine 5x5 Matrix, der UVR
> Raum des Zielraumes hätte dann die Dimension 5,
Das Bild meinst Du?
Die Anzahl der linear unabhängigen Spalten gibt Dir die Dimension des Bildes an.
Wenn Du 5 unabhängige Spalten hast, hat das Bild die Dimension 5.
Und wenn die Dimension des Bildes = der Dimension des Zielraumes ist, ist die Abbildung surjektiv.
> geht doch aus der Anzahl der Spaltenvektoren hervor, welche
> UVR sie öffnen im Zielraum, oder?
Das ist im Grunde nicht zu verstehen...
Ich antworte mal auf eine sinnvolle Frage: die Anzahl der Spaltenvektoren ist die obere Grenze für die Dimension des Bildes - es ist ja wirklich logisch, daß das Bild keine größere Dimension als die Anzahl der Spalten haben kann.
Mehr sagt die Anzahl der Spalten nicht über die Dimension des Bildes.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Zuggel |
> > >
> > > > Also ist es IMMER so, dass der Startraum mir die Anzahl der
> > > > Spalten angibt (und nicht der linear voneinander
> > > > unabhängigen Spaltenvektoren), und der Zielraum die Anzahl
> > > > der Zeilen?
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > ja, so ist das.
> > >
> > > Und wenn Du ansatzweise verstanden hast, wie man von der
> > > linearen Abbildung zur darstellenden Matrix kommt, sollte
> > > Dich das nicht wundern.
> > >
> > > In den Spalten stehen die Bilder der Basisvektoren. Also
> > > müssen wir so viele Spalten haben wie die Dimension des
> > > Startraumes ist.
> > >
> > > Und die Spalten haben natürlich soviele Komponenten wie die
> > > Dimension des Zielraumes.
> > >
> > > (Achtung: die Dimension des Bildes kann kleiner sein, denn
> > > es ist ein UVR des Zielraumes.)
> >
> > Ok: Ja, aber 2 Fragen:
> >
> > Öffnen dann 5 Spaltenvektoren und 1 lin. abhängiger
> > Spaltenvektor immer noch einen Zielraum von R^_{5}, oder?
>
> Also 6 Spaltenvektoren?
>
> Das bedeutet, daß der Startraum die Dimension 6 hat.
Auch wenn einer von den 6 ein vielfaches eines anderen ist und somit lin. abhängig? Ist dann der Startraum mit Dimension 5 oder mit 6 versehen?
lg
Zuggel
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> Auch wenn einer von den 6 ein vielfaches eines anderen ist
> und somit lin. abhängig? Ist dann der Startraum mit
> Dimension 5 oder mit 6 versehen?
Hallo,
wenn die Funktion von einem Raum der Dimension m in einen Raum der Dimension n geht, hat man m Spalten.
Die linesre Unabhängigkeit dieser Spalten spielt erst eine Rolle, wenn man sich für den Rang bzw. die Dimension des Bildes interessiert.
Gruß v. Angela
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