Kern, Bild bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Calcio |
| Aufgabe | Gegeben seien die Endomorphismen f,g [mm] \IR^{3} \to \IR^{3} [/mm] mit
f(x) = [mm] \pmat{ x1 -x2 \\ x3 \\ x1 - x2 +x3 }, [/mm] g(x) = [mm] \pmat{ x1 -x2 \\ x3 \\ x1 + x2 +x3 }.
[/mm]
Bestimmen Sie Kern(f) und Kern(g) sowie Basen für Kern(f) und Bild(g) |
Hallo,
ich verstehe die Aufgabe nicht, weshalb ich auch keinen Lösungsansatz posten kann. Wäre nett, wenn ihr mir mit dem Ansatz helfen könntet..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Mo 15.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben seien die Endomorphismen f,g [mm]\IR^{3} \to \IR^{3}[/mm]
> mit
> f(x) = [mm]\pmat{ x1 -x2 \\ x3 \\ x1 - x2 +x3 },[/mm] g(x) = [mm]\pmat{ x1 -x2 \\ x3 \\ x1 + x2 +x3 }.[/mm]
>
> Bestimmen Sie Kern(f) und Kern(g) sowie Basen für Kern(f)
> und Bild(g)
> Hallo,
>
> ich verstehe die Aufgabe nicht, weshalb ich auch keinen
> Lösungsansatz posten kann. Wäre nett, wenn ihr mir mit dem
> Ansatz helfen könntet..
>
>
Wenn Du die Aufgabe nicht verstehst, weißt Du offensichtlich nicht, was der Kern einer linearen Abbildung ist, und genauso wenig, was eine Basis ist.
Also: mach dich schlau und probier dann die Aufgabe. Wenn Du nicht weiterkommst melde Dich
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Calcio |
Ich habe mich schlau gemacht und rausgefunden, dass der Kern(A) := {x [mm] \in K^{n} [/mm] | A*x = 0}
Irgendwie fehlt mir jetzt eine Matrix mit Zahlen. Kann ich hierfür die Koeffizienten der f(x) Matrix oben nehmen? also
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -1 + 1 }.
[/mm]
Dann diese Matrix mal x = 0 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Mo 15.12.2008 | | Autor: | djmatey |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Ich habe mich schlau gemacht und rausgefunden, dass der
> Kern(A) := {x [mm]\in K^{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| A*x = 0}
>
> Irgendwie fehlt mir jetzt eine Matrix mit Zahlen. Kann ich
> hierfür die Koeffizienten der f(x) Matrix oben nehmen? also
>
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -1 + 1 }.[/mm]
Genau, das entspricht f.
>
> Dann diese Matrix mal x = 0 ?
Ja, welche x erfüllen diese Gleichung? Sie bilden den Kern von f.
LG djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Calcio |
Ich steh grad total auf dem Schlauch..
Ich bekomme jetzt raus, dass x1 = x2 ist und x3=0.. was bedeutet das jetzt für meinen Kern?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Mo 15.12.2008 | | Autor: | djmatey |
Genau so ist es; der Kern von f besteht aus den Vektoren, die diese Eigenschaften erfüllen, d.h. von der Form
[mm] \vektor{x_1 \\ x_1 \\ 0} [/mm]
sind.
Anschaulich bildet der Kern somit eine spezielle Gerade, nämlich eine Winkelhalbierende der [mm] x_1-x_2-Ebene.
[/mm]
LG djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Calcio |
Stimmt es, dass der Kern von g(x) = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] ist?
Ich bräuchte nun noch die Basis von Kern(f) und Bild(g)
Die Basis für Kern(f) müsste ja so aussehen, dass die ersten beiden Vektoren gleich sind und der dritte Null. Kann ich das einfach so schreiben:
[mm] \{\vektor{x1 \\ x2 \\ x3}\vektor{x1 \\ x2 \\ x3}\vektor{0 \\ 0 \\ 0}\}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Mo 15.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Stimmt es, dass der Kern von g(x) = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> ist?
Ja, also kern(g) = { [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] }
>
> Ich bräuchte nun noch die Basis von Kern(f) und Bild(g)
>
> Die Basis für Kern(f) müsste ja so aussehen, dass die
> ersten beiden Vektoren gleich sind und der dritte Null.
> Kann ich das einfach so schreiben:
>
> [mm]\{\vektor{x1 \\ x2 \\ x3}\vektor{x1 \\ x2 \\ x3}\vektor{0 \\ 0 \\ 0}\}?[/mm]
>
Kompletter Unsinn. Du hast Dich offensichtlich immer noch nicht schlau gemacht, was der Begriff "Basis" bedeutet.
djmatey hat doch schon alles gesagt: Kern(f) = { [mm] \vektor{t \\ t \\ 0}: [/mm] t [mm] \in \IR [/mm] }
Dann ist eine Basis von Kern(f): { [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] }
FRED
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