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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:06 Sa 24.03.2007 | | Autor: | Leader |
| Aufgabe | | Keine konkrete Aufgabe. |
Hallo. Sei A eine Matrix. Wie geht man vor, um Kern(A) und Bild(A) zu bestimmen?
Ich würde, um Kern(A) zu bestimmen, die Matrix wie ein Gleichungssystem lösen und die Lösung, die rauskommt, wäre dann der Kern(A).
Um Bild(A) zu bestimmen, würde ich eine Basis dieser Matrix (also eine Basis der Spaltenvektoren in der Matrix) bestimmen. Dies wäre dann das Bild(A).
Ist das so richtig, oder macht man das anders?
Geht man hierbei genauso vor, wenn in einer Aufgabe gefordert wird, eine Basis von Kern(A) bzw. eine Basis von Bild(A) zu bestimmen?
Freundliche Grüße,
Leader.
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> Keine konkrete Aufgabe.
> Hallo. Sei A eine Matrix. Wie geht man vor, um Kern(A) und
> Bild(A) zu bestimmen?
>
> Ich würde, um Kern(A) zu bestimmen, die Matrix wie ein
> Gleichungssystem lösen und die Lösung, die rauskommt, wäre
> dann der Kern(A).
Hallo,
das ist richtig.
Die Bestimmung des Kerns läuft auf die Lösung des Gleichungssystems Ax=0 hinaus, der Lösungsraum ist der Kern von A.
Bei der Berechnung der Lösungen purzelt Dir ja eine Basis des Kerns geradezu entgegen, so daß Du nur noch diese Basisvektoren in eckige Klammern setzen mußt, dann hast Du alles, Basis des Kerns und naturlich damit auch den Kern.
> Um Bild(A) zu bestimmen, würde ich eine Basis dieser
> Matrix (also eine Basis der Spaltenvektoren in der Matrix)
> bestimmen. Dies wäre dann das Bild(A).
> Ist das so richtig, oder macht man das anders?
Im Prinzip ist das richtig.
Solange nicht nach einer Basis des Bildes gefragt ist, kannst Du Dir sogar das Bestimmen der Basis sparen.
Das Bild ist die von den Spaltenvektoren erzeugte Menge (lineares Erzeugnis, lineare Hülle).
Du kannst hier, falls Du Dir noch unsicher bist, ja mal eine Aufgabe vorrechnen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:08 So 25.03.2007 | | Autor: | Leader |
| Aufgabe | Gegeben seien die folgenden Matrizen:
A := [mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & 1 }
[/mm]
B := [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 6 & 9 \\ 0 & 1 & 0 }
[/mm]
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Hallo Angela,
ich möchte jetzt jeweils von den Matrizen A und B das Bild bestimmen und eine Basis des Bildes. Ich denk mal die Sache mit dem Kern ist wirklich leicht, deswegen lass ich sie weg.
Wenn ich das richtig verstanden habe, ist das Bild einer Matrix gerade die Matrix selbst. Also Bild(A) = A und Bild(B) = B.
Nun möchte ich eine Basis von Bild(A) und Bild(B) bestimmen.
Matrix A besitzt einen Rang von 3, die Vektoren sind alle linear unabhängig (es tritt keine Nullzeile beim Umstellen auf). Also ist die Matrix A auch eine Basis von Bild(A).
Matrix B ist offensichtlich linear abhängig. Beim Umformen kommt folgendes heraus:
B = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 }
[/mm]
Wir haben gelernt, dass man nun von jeder Treppenstufe einen Ausgangsvektor auswählt, um eine Basis für das Teilsystem an Vektoren zu bekommen.
Eine mögliche Basis von Bild(B) wäre also
< [mm] \pmat{ 1 & \\ 3 \\ 0 }, \pmat{ 2 & \\ 6 \\ 1 } [/mm] >
aber auch
< [mm] \pmat{ 2 & \\ 6 \\ 1 }, \pmat{ 3 & \\ 9 \\ 0 } [/mm] >
Ich hoffe so ist es richtig.
LG,
Leader.
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> Gegeben seien die folgenden Matrizen:
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> A := [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & 1 }[/mm]
>
> B := [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 6 & 9 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]
>
> Wenn ich das richtig verstanden habe, ist das Bild einer
> Matrix gerade die Matrix selbst. Also Bild(A) = A und
> Bild(B) = B.
Hallo,
nicht die Matrix, sondern: die Spalten der Matrix erzeugen das Bild, wahrscheinlich meinst Du das auch.
Also Bild [mm] A=<\vektor{1 \\ -1\\2},\vektor{2 \\ 1\\-2},\vektor{1 \\ -1\\2}>
[/mm]
und Bild [mm] B=<\vektor{1 \\ 3\\0},\vektor{2 \\ 6\\1},\vektor{3 \\ 9\\0}>
[/mm]
Der Rest ist richtig.
Gruß v. Angela
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Eine weitere Möglichkeit wäre die Singulärwerte (SVD) zu bestimmen.
[mm] A=U*S*V^T [/mm] bzw. A*V=U*S. Die Spalten von U zu nichttrivialen Singulärwerten in S bilden Bild(A), und die Spalten von V zu trivialen Singulärwerten sind Kern(A).
Ist zwar für Papier und Kugelschreiber nicht so elegant aber mit einem Rechner und für große Systeme ebenso eine interessante Möglichkeit. Dies ist also nur eine theoretische Betrachtung, nichts weiter.
Bis dann
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