Kern,Bild und direkte Summe < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:43 So 05.01.2014 | | Autor: | Cccya |
| Aufgabe | Betrachten Sie den reellen Vektorraum [mm] R^3 [/mm] und die lineare Abbildung: f: [mm] R^3 [/mm] --> [mm] R^3, f(x_{1},x_{2},x_{3}) [/mm] =: [mm] (3x_{1}+x_{2}-3x_{3}, 2x_{2}, 3x_{1}+2x_{2}-3x_{3}) [/mm]
Bestimmen Sie die linearen Unterräume ker(f) und im(f). Geben Sie einen linearen Unterraum U [mm] \subseteq R^3 [/mm] an, für den U direkte Summe ker(f) = [mm] R^3 [/mm] gilt. |
Meine Lösung: ker(f)= [mm] ((0,0,0),(x_{1},0,x_{3})) [/mm] mit [mm] x_{1}=x_{3} \in [/mm] R
im(f): Die linear unabhängigen Spalten der Zielmatrix
[mm] (x_{2}-3x_{3}, 2x_{2}, 2x_{2}-3x_{3}) [/mm] mit [mm] x_{2},x_{3} \in [/mm] R
U : [mm] (x_{1},x_{2},x_{3}) [/mm] mit nicht [mm] x_{1}=x_{3} [/mm] und [mm] x_{2}=0 [/mm] und [mm] x_{1},x_{2},x_{3} \in [/mm] R
Bin mir ziemlich unsicher, ist das richtig? Falls nein würde ich mich über ein paar Tipps freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 So 05.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Betrachten Sie den reellen Vektorraum [mm]R^3[/mm] und die lineare
> Abbildung: f: [mm]R^3[/mm] --> [mm]R^3, f(x_{1},x_{2},x_{3})[/mm] =:
> [mm](3x_{1}+x_{2}-3x_{3}, 2x_{2}, 3x_{1}+2x_{2}-3x_{3})[/mm]
>
> Bestimmen Sie die linearen Unterräume ker(f) und im(f).
> Geben Sie einen linearen Unterraum U [mm]\subseteq R^3[/mm] an,
> für den U direkte Summe ker(f) = [mm]R^3[/mm] gilt.
> Meine Lösung: ker(f)= [mm]((0,0,0),(x_{1},0,x_{3}))[/mm] mit
> [mm]x_{1}=x_{3} \in[/mm] R
>
Der Nullvektor braucht hier nicht aufgeführt zu werden, weil er durch [mm] x_1=x_3=0 [/mm] schon mit erfasst ist.
Einfacher wäre es, zu schreiben ker(f)=[(1,0,1)]=span((1,0,1))={(a,0,a)|a [mm] \in \IR [/mm] } je nach eigeführter Schreibweise.
> im(f): Die linear unabhängigen Spalten der Zielmatrix
> [mm](x_{2}-3x_{3}, 2x_{2}, 2x_{2}-3x_{3})[/mm] mit [mm]x_{2},x_{3} \in[/mm]
> R
>
Das sind doch keine Spalten der Zielmatrix, wenn du einfach die erste Zeile kappst.
> U : [mm](x_{1},x_{2},x_{3})[/mm] mit nicht [mm]x_{1}=x_{3}[/mm] und [mm]x_{2}=0[/mm]
> und [mm]x_{1},x_{2},x_{3} \in[/mm] R
Es ist ziemlich unklar, worauf sich das "nicht" bezieht, aber ich glaube, dass du das Richtige meinst. Wie oben gilt : Gib einfach zwei Vektoren an, die U aufspannen (dass dim U = 2 ist, ist doch klar, oder ?).
>
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:44 So 05.01.2014 | | Autor: | Cccya |
Es ist womöglich durch die Schreibweise verloren gegangen aber ich dachte dass ich die erste Spalte weggenommen habe, weil die halt durch die 3. Spalte dargestellt werden kann. Wie müsste ich denn sonst hier vorgehen?
Bei U meine ich mit dem nicht dass nicht beide Bedingungen(x1=x3 und x2=0) gleichzeitig erfüllt sein dürfen. Mit 2 Vektoren würde ich es so schreiben: <(b,b,b),(a,0,c)> a [mm] \not= [/mm] c [mm] \in [/mm] R b [mm] \in [/mm] R?
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> Es ist womöglich durch die Schreibweise verloren gegangen
> aber ich dachte dass ich die erste Spalte weggenommen habe,
> weil die halt durch die 3. Spalte dargestellt werden kann.
> Wie müsste ich denn sonst hier vorgehen?
Hallo,
gibt einfach eine Basis des Bildes an.
>
U soll ja ein Vektorraum sein, so daß
[mm] U\oplus Kern(f)=\IR^3.
[/mm]
U gibst Du sinnigerweise an, indem Du eine Basis angibst.
> Bei U meine ich mit dem nicht dass nicht beide
> Bedingungen(x1=x3 und x2=0) gleichzeitig erfüllt sein
> dürfen.
Deinen Ausführungen nach ist [mm] \vektor{0\\0\\0} [/mm] nicht in U,
was schonmal nicht sein kann.
> Mit 2 Vektoren würde ich es so schreiben:
> <(b,b,b),(a,0,c)> a [mm]\not=[/mm] c [mm]\in[/mm] R b [mm]\in[/mm] R?
Aha.
Nun sag doch mal konkrete Zahlen.
Ich mach's:
Du behauptest, daß man U z.B. so wählen kann, daß
[mm] U:=<\vektor{1\\1\\1}, \vektor{1\\0\\2}>.
[/mm]
Stimmt!
LG Angela
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