Kern Einsetzungshomomorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei nun R[X] als Hauptidealring vorausgesetzt. Wir betrachten dann den Kern I des Einsetzungshomomorphismus [mm] \phi: [/mm] R[X] [mm] \to [/mm] R mit [mm] \phi(X)=0. [/mm] Da [mm] \phi [/mm] jedem Polynom aus R[X] seinen Absolutkoeffizienten zuordnet, ist einfach I = (X) |
Die obige Aussage ist Teil eines Beweises aus dem Buch "Einführung in die Algebra", Teil 1 von Falko Lorenz.
Leider ist mir die Behauptung überhaupt nicht klar.
Kern des Homomorpishmus sollten doch die Elemente aus R[X] sein, welche in R auf die Null abgebildet werden. Das sollten die Polynome sein, von denen man einen Linearfaktor abspalten kann. Das ergibt doch aber nicht das Ideal (X). Das sollten doch alle Polynome sein, deren Absolutkoeffizient Null ist.
Und was soll die Aussage, dass [mm] \phi [/mm] jedem Polynom aus R[X] seinen Absolutkoeffizienten zuordnet? Das ist doch dann der Fall, wenn x=0 gilt. Im Kern wird ein Polynom für x=0 doch auch nur dann, wenn der Absolutkoeffizient=0 ist. Diese Polynome sind natürlich im Kern enthalten, das ist schon klar.
Andererseits beinhaltet doch das Ideal I=(X) keine Polynome der Form (X-x), die ja für X=x ebenfalls auf die 0 abgebildet werden und deren Absoutkoeffizient ja ungleich 0 ist.
Trotzdem muss die Aussage natürlich richtig sein, aber ich bekomme sie einfach nicht mit meinen Überlegungen in Einklang.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 Di 17.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich glaube, Du verstehst nicht, was [mm] \phi [/mm] eigentlich tut !!
ist p [mm] \in [/mm] R[X] , p = [mm] a_0+a_1X +a_2X^2+ [/mm] ...+ [mm] a_nX^n, [/mm] so ist [mm] \phi(p) [/mm] = [mm] a_0
[/mm]
FRED
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Nicht zu fassen.
Da zermartere ich mir hier Ewigkeiten lang den Kopf und dann braucht nur einer nochmal zu wiederholen, was in dem Satz ja sowieso schon steht und schon ist einem alles völlig klar.
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:47 Di 17.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Bitte
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