Kern, Gruppenh. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:28 So 12.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Es seien [mm] R_{1} [/mm] und [mm] R_{2} [/mm] Ringe und f : [mm] R_{1} \to R_{2} [/mm] ein Ringhomomorphismus. Dann bezeichnet man mit Ke( f )
den Kern von f als Gruppenhomomorphismus bezüglich +, das heißt, Ke( f ) = f ^{-1}({0})Zeigen Sie:
x,y [mm] \varepsilon [/mm] Ke( f ); z [mm] \varepsilon R_{1} \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \varepsilon [/mm] Ke( f ), x [mm] \* [/mm] z [mm] \varepsilon [/mm] Ke( f ), z [mm] \*x \varepsilon [/mm] Ke( f ):
Sind folgende Aussagen wahr?
a) Ke( f ) ist bezüglich + eine Untergruppe von R1.
b) Ke( f ) ist bezüglich [mm] \* [/mm] ein Untermonoid von R1.
c) Bi( f ) ist bezüglich + eine Untergruppe von R2.
d) Bi( f ) ist bezüglich [mm] \* [/mm] ein Untermonoid von R2.
(Wenn [mm] (M,\times) [/mm] ein Monoid mit neutralem Element e ist, nennen wir eine Teilmenge U [mm] \subseteq [/mm] M ein Untermonoid
von M, wenn U bezüglich [mm] \times [/mm] (hier irgendeine Verknüpfung) abgeschlossen und e [mm] \varepsilon [/mm] U ist.) |
Hallo. Kann mir bitte beim Ansatz helfen, also wie man hier herangeht? Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:08 So 12.12.2010 | | Autor: | wieschoo |
> Es seien [mm]R_{1}[/mm] und [mm]R_{2}[/mm] Ringe und f : [mm]R_{1} \to R_{2}[/mm] ein
> Ringhomomorphismus. Dann bezeichnet man mit Ke( f )
> den Kern von f als Gruppenhomomorphismus bezüglich +, das
> heißt, Ke( f ) = f ^{-1}({0})Zeigen Sie:
> x,y [mm]\varepsilon[/mm] Ke( f ); z [mm]\varepsilon R_{1} \Rightarrow[/mm]
> x+y [mm]\varepsilon[/mm] Ke( f ), x [mm]\*[/mm] z [mm]\varepsilon[/mm] Ke( f ), z
> [mm]\*x \varepsilon[/mm] Ke( f ):
Du liebst wahrscheinlich die [mm] $\varepsilon$?! [/mm] Viele klicken einfach weiter, weil es von der Notation wirklich schlecht von dir geschrieben ist. Wie soll man dir da helfen?
So da du mich fast genötigt hast hier her zu sehen.
Diese Sachen, folgen direkt aus den Eigenschaften des Ringhomomorphismus, die wären ....
Du solltest schon hinschreiben, was du versucht hast, welche Definitionen du hattest, wie weit du gekommen bist.
> Sind folgende Aussagen wahr?
> a) Ke( f ) ist bezüglich + eine Untergruppe von R1.
> b) Ke( f ) ist bezüglich [mm]\*[/mm] ein Untermonoid von R1.
> c) Bi( f ) ist bezüglich + eine Untergruppe von R2.
> d) Bi( f ) ist bezüglich [mm]\*[/mm] ein Untermonoid von R2.
Und was hast DU raus?
> (Wenn [mm](M,\times)[/mm] ein Monoid mit neutralem Element e ist,
> nennen wir eine Teilmenge U [mm]\subseteq[/mm] M ein Untermonoid
> von M, wenn U bezüglich [mm]\times[/mm] (hier irgendeine
> Verknüpfung) abgeschlossen und e [mm]\varepsilon[/mm] U ist.)
> Hallo. Kann mir bitte beim Ansatz helfen, also wie man
> hier herangeht? Danke.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 So 12.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Sry, das mit dem [mm] \varepsilon [/mm] war noch, bevor du mich eben drauf hingewiesen hast.
Naja, ich dachte nur, dass du mir helfen könntest, deswegen hab ich einfach mal gefragt ;) Nötigen ist das eigentlich nicht xD Ich hoffe, dass du das nicht falsch aufgefasst hast. dachte nur, dass du sowas gut kannst. Sry. Naja nun zur Aufgabe.
Der Ringh. ist für mich auch nicht so ganz klar. Soll nicht
f(0) = 0 und f(-x) = - f(x) und das für den Gruppenh. gelten?
Aber ich weiß gar nicht, wie ich hier anfangen soll, z.B. mit diesem Beweis.
Klar ist die Prämisse gegeben, aber die hilft mir irgendwie nicht.
Ähm, wie findet man das denn überhaupt raus, also die Punkte a -d?
Ich hab keine Ahnung. Ich kenne nur die Begriffe. Also der Anfang fällt mir schwer.
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> Sry, das mit dem [mm]\varepsilon[/mm] war noch, bevor du mich eben
> drauf hingewiesen hast.
Dir sei vergeben.
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> Naja, ich dachte nur, dass du mir helfen könntest,
> deswegen hab ich einfach mal gefragt ;) Nötigen ist das
> eigentlich nicht xD Ich hoffe, dass du das nicht falsch
> aufgefasst hast. dachte nur, dass du sowas gut kannst. Sry.
> Naja nun zur Aufgabe.
>
> Der Ringh. ist für mich auch nicht so ganz klar. Soll
> nicht
Was ist daran nicht klar? Das ist eine Definition, die du garantiert im Hefter hast. Schau noch einmal nach.
>
> f(0) = 0 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") und f(-x) = - f(x)![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") und das für den Gruppenh.
> gelten?
Schau noch einmal nach.
>
> Aber ich weiß gar nicht, wie ich hier anfangen soll, z.B.
> mit diesem Beweis.
Du hast nicht das Problem mit dem Beweis sondern mit dem Nichtwissen der Definition. Wie willst du etwas verwenden, was du nicht konkret vor dir liegen hast.
>
> Klar ist die Prämisse gegeben, aber die hilft mir
> irgendwie nicht.
>
> Ähm, wie findet man das denn überhaupt raus, also die
> Punkte a -d?
>
> Ich hab keine Ahnung. Ich kenne nur die Begriffe. Also der
> Anfang fällt mir schwer.
Dann schieß mal mit den Begriffen los.
Dann werfe ich dir auch mal einen Brocken für die a) hin
[mm] $a\in [/mm] Ker(f)$
0=f(0)=f(a-a)=f(a+(-a))=f(a)+f(-a)
[mm] $\Rightarrow a^{-1} \in [/mm] Ker(f)$ für Kern als Gruppenhom bzgl. +
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 So 12.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ok, hab nochmal nachgeschaut:
Es gilt:
f(a+b) = f(a) + f(b)
f(a * b) = f(a) * f(b)
f(0) = 0
So. Das müssten alle sein.
Kannst du mir vllt erstmal bei diesem Beweis helfen? trotz dieser drei Merkmale finde ich keinen Ansatz.
Dein beispiel schau ich mir jetzt nochmal genau an. Danke schonmal.
EDIT: Das du die Bedingung beim beispiel ausnutzt, ist mir klar, aber warum kriegst du [mm] a^{-1} [/mm] raus bzw, warum möchte man das haben? Oder ist das die 3. Bedingung der Untergruppe
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> Ok, hab nochmal nachgeschaut:
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> Es gilt:
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> f(a+b) = f(a) + f(b)
> f(a * b) = f(a) * f(b)
> f(0) = 0
Ist ja super. So könnte es funktionieren.
>
> So. Das müssten alle sein.
>
> Kannst du mir vllt erstmal bei diesem Beweis helfen? trotz
> dieser drei Merkmale finde ich keinen Ansatz.
Machen wir mal das mit dem Kern als Untergruppe, also
a) Ke( f ) ist bezüglich + eine Untergruppe U von R1
zu zeigen
U1) $ [mm] 0\in [/mm] U$
U2) [mm] $a,b\in [/mm] U [mm] \Rightarrow a+b\in [/mm] U$
U3) [mm] $a\in U\Rightarrow a^{-1}:=-a \in [/mm] U$
So U1 hast du ja schon hingeschrieben: "f(0)=0".
U2) seien [mm] $a,b\in [/mm] U$ also f(a)=0=f(b). Dann ist f(a+b)=??
U3) Sei [mm] $a\in [/mm] U$, also f(a)=0, dann ist f(-a)=? , dass hatte ich dir oben schon hingeschrieben.
So hangelt man sich durch. Jetzt kannst du die anderen probieren. Falls eventuell Probleme auftreten, dann kannst du jetzt sogar deine Probleme konkret aufschreiben.
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> Dein beispiel schau ich mir jetzt nochmal genau an. Danke
> schonmal.
>
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 21:44 So 12.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ok, danke dir.
Ähm, jetzt nur mal blöd gefragt. Den Beweis muss man doch machen, oder? Weil du den grad nicht beachtet hast. Aber der ist schon ein teil der Aufgabe? Ist das denn schwer, das zu beweisen? :?
Ähm, bei dieser Untergruppensache.
Wäre f(a+b) = f(a) + f(b) (wegen Ringh.) = 0 + 0 = 0 ?
Und wie geht das unegfähr mit dem Bild, also Bi(f)?
EDIT: Beim 2. wäre das neutrale element e = 0 was in der Gruppe liegt. Und f(a * b) * f(a) + f(b) = 0 * 0 = 0 also ist bei b) ein Unermonoid gegeben? So richtig?
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Noch einmal zu f(-x)=-f(x) für einen GruppenHM. Es gilt allgemein für den GruppenHM von [mm]G_1\to G_2[/mm], dass Ker(f) eine Untergruppe (sogar Normalteiler ist). In der allgemeinen Schreibweise gilt [mm]f(x^{-1})=f(x)^{-1}[/mm]. Mach dir das klar.
> Ok, danke dir.
>
> Ähm, jetzt nur mal blöd gefragt. Den Beweis muss man doch
> machen, oder? Weil du den grad nicht beachtet hast. Aber
> der ist schon ein teil der Aufgabe? Ist das denn schwer,
> das zu beweisen? :?
Meinst du?
[mm]x,y \in Ke( f )\; \wedge \; z \in R_{1} [/mm]
[mm]\Rightarrow x+y \in Ke( f )[/mm]
[mm]x * z \in Ke( f ), z *x \in Ke( f ): [/mm]
Das erste hatten wir ja schon. Das zweite folgt doch auch aus f(x*z)=f(x)*f(z)!
>
> Ähm, bei dieser Untergruppensache.
>
> Wäre f(a+b) = f(a) + f(b) (wegen Ringh.) = 0 + 0 = 0 ?
Ja.
>
> Und wie geht das unegfähr mit dem Bild, also Bi(f)?
>
zur b)
> EDIT: Beim 2. wäre das neutrale element e = 0 was in der
> Gruppe liegt. Und f(a * b) * f(a) + f(b) = 0 * 0 = 0 also
Was rechnest du hier?
> ist bei b) ein Unermonoid gegeben? So richtig?
Die Aussage ist falsch. Aber wie zeigst du das? Auch hier fehlt von deiner Seite wieder die Definition eines untermonoids:
UM1) [mm]e\in M[/mm]
UM2) [mm]a,b\in M \Rightarrow ab\in M[/mm]
Und [mm]M:=ker(f)[/mm].
Wie sieht es nun mit UM1) aus? Liegt e in M=Kern ??
Denke daran, dass das neutrale Element bzgl der Multiplikation die [mm] $1\neq [/mm] 0$ ist
zur c)
Auch hier hast du die Axiome nachzuweisen. Erstes Problem was ist die Definition vom Bild von f?
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Welche Eigenschaften müssen für eine Untergruppe erfüllt sein?
U1) [mm] 0\in U [/mm]
U2) [mm] a,b\in U \Rightarrow a+b\in U [/mm]
U3) [mm] a\in U\Rightarrow a^{-1} \in U [/mm]
U1) folgt aus dem RingHM
U2) Nimm dir wieder a=f(a') und b=f(b') aus dem Bild von f. Und zeige, dass auch a+b im Bild von f liegt. Also sei [mm]a,b\in Bld(f)[/mm], d.h. [mm]\exists a',b' \in R_1 : f(a')=a \; , f(b')=b[/mm]. z.z. [mm]ab\in Bld(f)[/mm], d.h. du musst zeigen es gibt ein [mm]k\in R_1[/mm] mit f(k)=ab. Weiße nach, dass k=a'b'. ist Da [mm] (R_1,*) [/mm] eine Gruppe ist gibt es a'b' und das liegt auch wieder in [mm]R_1[/mm]
U3)Das stimmt. Denn
a=f(a') mit [mm]a\in R_2,a'\in R_1[/mm]. Dann ist f(a)+f(-a)=f(a)-f(a)=0
zur d)
Sollte auch aus RingHM folgen.
Noch die allgemeine Aussage:
$f : [mm] R_1 \to R_2$ [/mm] ein RingHM.
Der Kern von einem RingHM ist ein Ideal. (kein Untermonoid bzgl *)
Das Bild ist ein Unterring von [mm] $R_2$ [/mm] (Untergr + Untermon.)
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