Kern bestimmen 3 < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Fr 30.12.2011 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | [mm] \gamma(\vec{x})=(x_1+3x_2+4x_3-2x_4,x_2+x_3-x_4,2x_1+x_2+3x_3+x_4)
[/mm]
[mm] \IR^4-->\IR^3 [/mm] |
Noch so eine lustige Aufgabe, und ich hoffe die ist diesmal richtig:
1 3 4 -2 0
0 1 1 -1 0
2 1 3 1 0
III mit der II addieren
1 3 4 -2 0
2 2 4 0 0
2 1 3 1 0
I addiert zur 2*III
1 3 4 -2 0
2 2 4 0 0
5 5 10 0 0
Tata: II durch 2 und III durch 5, somit fällt eine weg:
-1 1 0 -2 0
1 1 2 0 0
Ich setze [mm] x_1=t [/mm] und [mm] x_2=r
[/mm]
somit ist [mm] x_4=-0,5t+0,5r [/mm] und [mm] x_3=-0,5t-0,5r
[/mm]
Insgesamt ergibt es dann:
[mm] \vec{x}=t*\vektor{1 \\ 0\\-0,5\\-0,5}+r*\vektor{0 \\ 1\\-0,5\\0,5}?
[/mm]
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Hallo durden88,
>
> [mm]\gamma(\vec{x})=(x_1+3x_2+4x_3-2x_4,x_2+x_3-x_4,2x_1+x_2+3x_3+x_4)[/mm]
>
> [mm]\IR^4-->\IR^3[/mm]
> Noch so eine lustige Aufgabe, und ich hoffe die ist
> diesmal richtig:
>
> 1 3 4 -2 0
> 0 1 1 -1 0
> 2 1 3 1 0
>
> III mit der II addieren
>
> 1 3 4 -2 0
> 2 2 4 0 0
> 2 1 3 1 0
>
> I addiert zur 2*III
>
> 1 3 4 -2 0
> 2 2 4 0 0
> 5 5 10 0 0
Recht umständlich, addiere direkt das [mm](-2)[/mm]-fache der 1.Zeile auf die 3.Zeile ...
>
> Tata: II durch 2 und III durch 5, somit fällt eine weg:
>
> -1 1 0 -2 0
> 1 1 2 0 0
Du schreibst das komisch auf, wieso bringst du das nicht schematisch in ZSF, dann kann man das besser kontrollieren (und nachvollziehen) ...
Ist aber wohl richtig ...
Schreibe immer die ganze Matrix in ZSF hin.
Ich komme in 2 Schritten auf
[mm]\pmat{1&3&4&-2\\
0&1&1&-1\\
0&0&0&0}[/mm]
>
> Ich setze [mm]x_1=t[/mm] und [mm]x_2=r[/mm]
>
> somit ist [mm]x_4=-0,5t+0,5r[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und [mm]x_3=-0,5t-0,5r[/mm]
>
> Insgesamt ergibt es dann:
>
> [mm]\vec{x}=t*\vektor{1 \\
0\\
-0,5\\
-0,5}+r*\vektor{0 \\
1\\
-0,5\\
0,5}?[/mm]
Bei "meinem" schematischen Weg kannst du für jeden ohne viel Kommentar nachvollziehbar [mm]x_4=t, x_3=s[/mm] setzen und bekommst als Kern den Spann [mm]\left\langle{\vektor{-1\\
-1\\
1\\
0},\vektor{-1\\
1\\
0\\
1}\right\rangle[/mm]
Deine Basisvektoren kannst du aus meinen erzeugen und umgekehrt, also ist alles gut!
Fazit: Alles richtig!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Fr 30.12.2011 | | Autor: | durden88 |
Ok, weil mein Urbild ja [mm] \IR^4 [/mm] war also dim(Urbild)=4 und die dim [mm] Kern(\gamma)=2 [/mm] folgt das die Dim [mm] Im(\gamma)=2 [/mm] ist?
Wenn ich nun [mm] Im(\gamma) [/mm] berechnen will, habe ich ja die Vektoren
[mm] <\vektor{1 \\ 0\\2},\vektor{3 \\ 1\\1}, \vektor{4 \\ 1\\3} [/mm] und [mm] \vektor{-2 \\ -1\\1}> [/mm] zur verfügung.
Der 1. addiert mit dem 2. ergibt den 3., also der 3. ist Misfit.
-1* den 2. addiert mit dem ersten ist gleich der 4., also ist auch der 4. Misfit, es bleiben die [mm] Vektoren<\vektor{1 \\ 0\\2},\vektor{3 \\ 1\\1}> [/mm] übrig?
Kann ich das so schreiben wenn noch nach [mm] Im(\gamma) [/mm] gefragt ist?
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Hallo nochmal,
> Ok, weil mein Urbild ja [mm]\IR^4[/mm] war also dim(Urbild)=4 und
> die dim [mm]Kern(\gamma)=2[/mm] folgt das die Dim [mm]Im(\gamma)=2[/mm] ist?
>
> Wenn ich nun [mm]Im(\gamma)[/mm] berechnen will, habe ich ja die
> Vektoren
>
> [mm]<\vektor{1 \\
0\\
2},\vektor{3 \\
1\\
1}, \vektor{4 \\
1\\
3}[/mm] und [mm]\vektor{-2 \\
-1\\
1}>[/mm] zur verfügung.
>
> Der 1. addiert mit dem 2. ergibt den 3., also der 3. ist
> Misfit.
> -1* den 2. addiert mit dem ersten ist gleich der 4., also
> ist auch der 4. Misfit, es bleiben die [mm]Vektoren<\vektor{1 \\
0\\
2},\vektor{3 \\
1\\
1}>[/mm]
> übrig?
>
> Kann ich das so schreiben wenn noch nach [mm]Im(\gamma)[/mm] gefragt
> ist?
Ja, das ist wunderbar!
Aber es tun als Basis des Bildes auch alle anderen Paare linear unabh. Spaltenvektoren, etwa der 1. und 4. oder der 2. und 3. ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Fr 30.12.2011 | | Autor: | durden88 |
Und wieso hab ich es dann so gemacht? um zu zeigen, dass [mm] Im(\gamma) [/mm] wirklich gleich 2 ist?
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> Und wieso hab ich es dann so gemacht?
Hallo,
Du bist drollig. Diese Frage solltest Du eigentlich lieber Dir stellenund beantworten...
> um zu zeigen, dass
> [mm]Im(\gamma)[/mm] wirklich gleich 2 ist?
Nein. Das ergibt sich ja sofort aus dem Rang der Matrix,welcher =2 ist.
Du hast zwei linear unabhängige Vektoren gesucht, weil Du eine Basis des Bildes angeben möchtest.
Das Gedöns mit der Addiererei kannst DuDir sparen: Du weißt, daß das Bild die Dimension 2 hat,und wenn Du irgendzweilinear unabhängige Vektoren des Bildes in den Händen hältst, müssen sie eine Basis sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Do 09.02.2012 | | Autor: | durden88 |
Stimmt es also, da ich zwei Spaltenvektore weggekürzt habe und diese linear Unabhängig waren, das die dim des Bildes dann=2 ist?
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> Stimmt es also, da ich zwei Spaltenvektore weggekürzt habe
> und diese linear Unabhängig waren, das die dim des Bildes
> dann=2 ist?
Hallo,
es stimmt, daß die Dimension des Bildes =2 ist.
Den Rest verstehe ich nicht. Gekürzt wird da nix. Kürzen tut man Brüche.
LG Angela
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