Kern einer Abbildung bestimmen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 So 05.02.2006 | | Autor: | heine789 |
Hallo zusammen!
Bin mir bei folgender Aufgabe nicht so sicher.
Die Abbildung lautet: F: [mm] \IR^{4} \to \IR^{3}
[/mm]
F(A) = (a1 + a2) [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + a3 [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + (a2 + a4) [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] , A = [mm] \vektor{a1 \\ a2 \\ a3 \\ a4}
[/mm]
Um den Kern zu bestimmen, setze ich F(A) = 0
und erhalte
a1 + 2 a2 + a3 + a4 = 0
Nun wähle ich die Variablen so, dass die Gleichung 0 ergibt:
a1 = 2 [mm] \lambda
[/mm]
a2 = [mm] -\lambda
[/mm]
a3 = [mm] \lambda
[/mm]
a4 = [mm] -\lambda
[/mm]
Damit folgt
ke K = [mm] \{ \lambda \vektor{2 \\ -1 \\ 1 \\ -1} , \lambda \in \IR \}
[/mm]
Und das Bild wäre ja die linke Seite meiner obigen Gleichung??
Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand was zu meinen Rechenschritten sagen kann! Gibt es vielleicht noch eine bessere Möglichkeit auf das Ergebnis zu kommen?
Gruß heine
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Hallo Heine,
dein Vorgehen ist prinzipiell in Ordnung. Leider hast du aus der Abbildung F: [mm] \IR^4 \to \IR^3 [/mm] eine Abbildung der Form F: [mm] \IR^4 \to \IR [/mm] gemacht.
Du musst also ein Gleichungssystem lösen, um den Kern zu bestimmen. Schließlich multiplizierst du die Einträge aus deinem Vektor A wieder mit Vektoren. Daher bekommst du 3 Gleichungen mit 4 Variablen, nicht nur eine Gleichung.
Probier das mal aus! Falls du damit doch noch nicht weiter kommst, dann frag ruhig nochmal nach!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:49 So 05.02.2006 | | Autor: | heine789 |
Habe für das LGS folgende Lösungen herausbekommen:
a4 = t ,t [mm] \in \IR
[/mm]
a3 = 0
a2 = -1
a1 = t
Damit erhalte ich die Lösungsmenge [mm] \{ t\vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 1} \}
[/mm]
Wenn ich nun den Vektor in R einsetze, erhalte ich den 0-Vektor.
Folglich muss das so richtig sein.
Aber das mit dem Bild verstehe ich noch nicht so ganz. Das war schon richtig, oder? Also einfach die Abbildung weiter vereinfachen, so wie ich das getan habe.
Das Bild von meinem Lösungsvektor ist ja der Nullvektor.
Vielen Dank!
Gruß heine
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Hallo!
Der von dir berechnete Kern ist richtig. Allerdings solltest du [mm] $a_2=-t$ [/mm] statt [mm] $a_2=-1$ [/mm] schreiben...
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Mo 06.02.2006 | | Autor: | heine789 |
Ok, dass mit dem Kern ist nun klar.
Ich soll aber auch das Bild der Abbildung bestimmen.
Meine Lösung:
Das Bild wird von den Spaltenvektoren der Koeffizientenmatrix aufgespannt.
Es folgt Bild(A) = [mm] \{ \vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 2 \\ 1}, \vektor{1 \\ 0 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1} \}
[/mm]
Da aber der zweite Vektor die Summe des ersten und des letzten Vektors darstellt, muss ich diesen herausnehmen. Damit erhalte ich dann folgendes:
Bild(A) = [mm] \{ \vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1} \}
[/mm]
Ist das nun richtig so??
Gruß heine
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Hallo!
Deine Lösung ist in der Tat richtig!
Gruß, banachella
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