Kern einer Bilinearform < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Mo 30.04.2007 | | Autor: | sirdante |
| Aufgabe | f: [mm] \IR^4 [/mm] x [mm] \IR^4 \to \IR
[/mm]
f(x,y) = [mm] y_{1}x_{2} [/mm] - [mm] x_{1}y_{2} [/mm] + [mm] 2y_{1}x_{4} [/mm] - [mm] 2x_{1}y_{4} [/mm] + [mm] y_{3}x_{2} [/mm] - [mm] x_{3}y_{2} [/mm] + [mm] 3y_{3}x_{4} [/mm] - [mm] 3x_{3}y_{4}
[/mm]
Bestimmen Sie ker(f). |
Habe gezeigt, dass es symplektische Bilinearform ist und das die Grammatrix bzgl der kanonischen Basis folgendermaßen aussieht:
[mm] \pmat{ 0 & -1 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -3 \\ 2 & 0 & 3 & 0 }
[/mm]
Sieht sehr symplektisch aus, finde ich, also sollte sie richtig sein.
Wie zeige ich denn nun, was ker(f) ist?
Also ker(f) = { [mm] v\not=0 [/mm] : f(v,w) = 0 , [mm] \forall [/mm] w }
Ich habe bisher rausgefunden, dass ker(f) [mm] \not= [/mm] {0} , da zB. für:
v = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, [/mm] w = [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 0 \\ -1} [/mm] gilt:
f(v,w) = - 2 + 2 = 0.
Aber wie komme ich denn nun auf ker(f) ? Meine Intuition sagt, dass dim(ker (f)) = 2 ist, aber beweisen kann ich das auch nicht...
Ich hatte die Idee mit den kan Basisvektoren als v nacheinander mal die die w's anzuschauen, aber irgendwie komme ich auf keinen grünen Zweig!
Wäre für Tipps sehr dankbar!
Mfg dante
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Hallo!
Es ist hier nicht einfach so möglich, einen Kern anzugeben.
Denken wir doch mal bezüglich deines Vektors v weiter:
Wenn jetzt [mm] $w_2=-2w_4$ [/mm] ist, dann ist die erste Komponente nach der Multiplikation mit der Matrix sicherlich 0. Die restlichen Komponenten können beliebige Werte annehmen, und das Produkt der beiden Vektoren wäre immer 0. Das heißt also, 3 freie Parameter! Demnach ist HIER der Kern dreidimensional.
Aber wie sieht es mit einem anderen v aus?
Ein analoges Problem ist ja das Skalarprodukt, das ist auch eine Bilinearform, deren Matrix i.A. die Einheitsmatrix ist. Welchen Kern hat die? Nun, da gibts auch keine einfache Lösung, sondern da lautet die Lösung: Nimm irgendeinen Vektor v. Der Kern besteht dann aus allen Vektoren w, die senkrecht auf diesem speziellen v stehen.
Demnach sollte man die Aufgabe eher umformulieren und nach [mm] $Ker(f_x(y))$ [/mm] fragen, also x als äußeren Parameter betrachten.
Vielleicht übersehe ich grade was, aber so wie ich das grade sehe, kannst du drei Komponenten von y vorgeben und die vierte so bestimmen, daß die Gleichung 0 ergibt - abhängig von den drei anderen Komponenten und allen vier Komponenten von x.
hmmm...
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Danke für die schnelle Antwort!!
V = [mm] U_{1} \oplus [/mm] ... [mm] \oplus U_{m} \oplus [/mm] ker(f)
Ich habe duch viel rumgerechne nun zwei Unterräume raus, die Senkrecht zueinander stehen müssten:
U = [mm] L[\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}] [/mm] , [mm] U\perp [/mm] = [mm] L[\vektor{1 \\ 2 \\ -1 \\ -1},\vektor{1 \\ 4 \\ -1 \\ -2}] [/mm]
Habe dafür [mm] f(\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0},a) [/mm] = 0 und [mm] f(\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},a) [/mm] = 0 , a [mm] \in \IR^4 [/mm] angeschaut und [mm] a_{2} [/mm] = [mm] -2a_{4} [/mm] und [mm] a_{1} [/mm] = - [mm] a_{3} [/mm] als Bedingungen herausbekommen und daraus [mm] U\perp [/mm] gebastelt.
Nun die ernüchternde Frage: Nützt mir das was???
Ich hatte überlegt 0 [mm] \not= [/mm] ker(f) [mm] \not= [/mm] 4 = dim V => ker(f) = 2, da ansonsten die obige Gleichung verletzt ist... macht das Sinn?
Ich wäre für Tipps dankbar!
mfg dante
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 Do 03.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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