Kern, lineare Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Sei T:V [mm] \to [/mm] K linear. Sei u [mm] \in [/mm] V, u [mm] \not\in [/mm] ker(T).
Zeige:
V = ker(T) [mm] \oplus [/mm] Ku
Ich weiß dass ker(T)= [mm] \{v\in V:T(v)=0 \} [/mm] ist. Aber damit kann ich leider garnichts anfangen. K wird wohl irgendeine Menge sein oder was ist K?
Bitte helfe mir diese Behauptung zu beweisen und zwar sowhl in die eine, als auch in die andere Richtung.Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:46 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Es sei $n:= [mm] \dim(V)$. [/mm] $V$ ist ein $K$-Vektorraum und $K$ dabei ein Körper. Hier wird $K$ als Vektorraum über sich selbst aufgefasst und $T$ ist eine lineare Abbildung vom $K$-Vektorraum $V$ in den $K$-Vektorraum $K$.
Ich ergänze $u [mm] \notin [/mm] Kern(T)$ zu einer Basis
[mm] $\{u,v_2,\ldots,v_n\}$
[/mm]
von $V$.
Aus der Dimensionsformel
[mm] $\dim(Kern(T)) [/mm] = n - [mm] \dim(Bild(T)) [/mm] = n-1$
(beachte bitte [mm] $\dim(Bild(T)) [/mm] = 1$ wegen [mm] $\emptyset \ne [/mm] Bild(T) [mm] \subset [/mm] K$ und [mm] $\dim(K)=1$)
[/mm]
folgt sofort:
[mm] $v_i \in [/mm] Kern(T)$ für [mm] $i=2,3,\ldots,n$
[/mm]
und daraus dann die Behauptung.
Viele Grüße
Julius
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Wie kommt man daruaf, dass das dim(Bild(T))=1 und dim(Kern(T))=1 ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> Wie kommt man daruaf, dass das dim(Bild(T))=1 und
> dim(Kern(T))=1 ??
Letzteres ist falsch und wurde von mir auch nicht behauptet.
Ersteres sieht man so ein:
$Bild(T)$ ist ein Untervektorraum von $K$.
Es gilt: [mm] $\dim_K(K)=1$, [/mm] denn [mm] $\{1\}$ [/mm] ist eine Basis von [mm] $\IK$ [/mm] (allgemein gilt: [mm] $\dim_K(K^n)=n$.
[/mm]
(Stell dir $K$ als Gerade vor.)
Nun gilt für jeden Untervektorraum $U$ eines Vektorraums $V$:
[mm] $\dim_K(U) \le \dim_K(V)$,
[/mm]
also:
[mm] $\dim_K(Bild(T)) \le \dim_K(K)=1$,
[/mm]
also:
[mm] $\dim_K(Bild(T)) [/mm] = 0$ oder [mm] $\dim_K(Bild(T))=1$,
[/mm]
Die Aussage [mm] $dim_K(Bild(T))=0$ [/mm] würde aber [mm] $Bild(T)=\{0\}$ [/mm] bedeuten, und damit:
$T [mm] \equiv [/mm] 0$ (d.h. $T$ wäre die identische Nullabbildung).
Das kann aber nicht sein, weil es nach Voraussetzung einen Vektor gibt, der nicht im Kern von $T$ liegt. Also muss
[mm] $\dim_K(Bild(T)) [/mm] =1$
wahr sein, und damit:
[mm] $\dim_K(Kern(T)) [/mm] = n - [mm] \dim(Bild(T)) [/mm] = n-1$.
Viele Grüße
Julius
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danke für's geduldige erklären. hab's jetzt verstanden.
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