Kern linearer Abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:45 So 03.08.2008 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Bild und den Kern der folgenden linearen Abbildungen:
(b) g: [mm] R^4 [/mm] -> R²: (v1, v2, v3, [mm] v4)^T [/mm] -> (v1+ 2v2, 2v2+ [mm] v3)^T [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe etwas Schwierigkeiten, was die Bestimmung des Kerns angeht. Generell berechnet man ja den Kern, indem man die zugehörige Systemmatrix = 0 setzt. Wenn ich das in der oben genannten Aufgabe tue, komme ich jedoch nicht auf das in der Musterlösung gezeigte Ergebnis. Von daher mache ich da wohl etwas falsch. Es sollen herauskommen die beiden Vektoren (0,0,0,1)T + (-2,1,-2,0)T. Wie genau kann ich erkennen, dass es sich um diese Vektoren handeln muss, bzw. muss ich auch hier die entsprechende Systemmatrix zu 0 setzen, oder geht man hier anders vor? Ich erreiche durch meine Berechnungen lediglich triviale Darstellungen. Über einen kleinen Denkanstoss würde ich mich sehr freuen,
Gruß, Marcel
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> Berechnen Sie das Bild und den Kern der folgenden linearen
> Abbildungen:
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> (b) g: [mm]R^4[/mm] -> R²: (v1, v2, v3, [mm]v4)^T[/mm] -> (v1+ 2v2, 2v2+
> [mm]v3)^T[/mm]
> Hallo zusammen,
> ich habe etwas Schwierigkeiten, was die Bestimmung des
> Kerns angeht. Generell berechnet man ja den Kern, indem man
> die zugehörige Systemmatrix = 0 setzt. Wenn ich das in der
> oben genannten Aufgabe tue, komme ich jedoch nicht auf das
> in der Musterlösung gezeigte Ergebnis.
Hallo,
das allein muß noch nichts bedeuten, denn man kann ja sehr viele Basen angeben. Es ist also durchaus möglich, daß Du ein anderes Ergebnis hast, welches doch richtig ist.
Um Dir konkret helfen zu können, müßtest du mal vorrechnen. Zeig mal, wei weit Du gekommen bist.
Die Sache geht ja damit los, daß man die Matrix auf Zeilenstufenform bringt.
Ah - Sekunden vorm Absenden geht mir womöglich ein Lichtlein auf: Dir ist klar, daß die darstellende Matrix eine 2x4-Matrix ist - und nicht etwa 2x2??? In die Spalten kommen jeweils die Bilder der Basisvektoren, also hat man 4 Spalten.
Gruß v. Angela
Von daher mache ich
> da wohl etwas falsch. Es sollen herauskommen die beiden
> Vektoren (0,0,0,1)T + (-2,1,-2,0)T. Wie genau kann ich
> erkennen, dass es sich um diese Vektoren handeln muss, bzw.
> muss ich auch hier die entsprechende Systemmatrix zu 0
> setzen, oder geht man hier anders vor? Ich erreiche durch
> meine Berechnungen lediglich triviale Darstellungen. Über
> einen kleinen Denkanstoss würde ich mich sehr freuen,
>
>
> Gruß, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 So 03.08.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Mein Ansatz für die Systemmatrix wäre [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 } [/mm] . Ist das richtig? Wenn nicht, wie sieht die richtige Systemmmatrix aus?
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> Mein Ansatz für die Systemmatrix wäre [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]
> . Ist das richtig?
Leider nein: Angela hatte Dir doch schon geschrieben, dass diese Abbildungsmatrix $A$ eine [mm] $2\times [/mm] 4$ Matrix sein müsse: die obenstehende Matrix ist aber [mm] $3\times [/mm] 3$. - Weshalb muss die gesuchte Matrix [mm] $2\times [/mm] 4$ sein? - Nun, der Urbildraum ist 4-dimensional, also hat die Matrix 4 Spalten (für jede Koordinate des Urbildraumes eine Spalte) und der Bildraum ist 2-dimensional, also hat die Matrix 2 Zeilen (für jede Koordinate des Bildraumes eine Zeile).
> Wenn nicht, wie sieht die richtige Systemmmatrix aus?
Benenne doch die 4 Spalten von links nach rechts mit den Urbildkoordinaten [mm] $v_{1,2,3,4}$ [/mm] und die 2 Zeilen von oben nach unten mit den Bildkoordinaten, sagen wir [mm] $w_{1,2}$. [/mm] Wir wissen, dass bei dieser Abbildung gilt: [mm] $(v_1,v_2,v_3,v_4)^T\mapsto (v_1+2v_2,2v_2+v_3)^T$, [/mm] also muss gelten [mm] $w_1=v_1+2v_2$ [/mm] und [mm] $w_2=2v_2+v_3$. [/mm] Nun musst Du nur noch wissen, wie Multiplikation einer [mm] $2\times [/mm] 4$-Matrix mit den Vektor [mm] $(v_1,v_2,v_3,v_4)$ [/mm] berechnet wird, und Du findest, dass
[mm]A=\pmat{1 & 2 & 0 & 0\\0 & 2 & 1 & 0}[/mm]
sein muss.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 So 03.08.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Vielen Dank, das hast du gut erklärt. Auf diese Matrix war ich zwischenzeitlich auch mal gekommen. Wenn ich nun von dieser Matrix den Kern berechne, komme ich auf die folgenden Beziehungen: v1= 2v2= v3. Also ergäbe sich ja der folgende Vektor als Kern der Abbildung: [mm] \vektor{1\\2\\1} [/mm] *v. Ist das soweit richtig? Wie komme ich denn aber auf die oben genannte Musterlösung?
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Hallo Marcel08,
> Vielen Dank, das hast du gut erklärt. Auf diese Matrix war
> ich zwischenzeitlich auch mal gekommen. Wenn ich nun von
> dieser Matrix den Kern berechne, komme ich auf die
> folgenden Beziehungen: v1= 2v2= v3. Also ergäbe sich ja der
Das muss [mm]v_{1}=\red{-}2v_{2}=v_{3}[/mm] heißen.
> folgende Vektor als Kern der Abbildung: [mm]\vektor{1\\2\\1}[/mm]
> *v. Ist das soweit richtig? Wie komme ich denn aber auf die
Ist nicht richtig, da der Vektor [mm]v \in \IR^{4}[/mm] sein muß.
> oben genannte Musterlösung?
Löse das Gleichungssystem
[mm]\pmat{1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0}*\pmat{v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \\ v_{4}}=\pmat{0 \\ 0} [/mm]
Oder einfacher:
[mm]1*v_{1}+2*v_{2}+0*v_{3}+0*v_{4}=0[/mm]
[mm]0*v_{1}+2*v_{2}+1*v_{3}+0*v_{4}=0[/mm]
Gruß
MathePower
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