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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Fr 02.05.2008 | | Autor: | blubella |
| Aufgabe | Bestimmen Sie Kern und Bild der folgenden Matrix, sowie deren Dimensionen:
[mm] \pmat{1&3&5\\2&5&4\\3&7&3} [/mm] |
Hallo,
Ich hab kein wirkliches Problem mit der Lösung der Aufgabe sondern mehr ein Verständnisproblem.
Ist es nicht so, dass das Bild einer Matrix die Spaltenvektoren sind?
Dann sind das für diese Matrix die linear unabhängigen Vektoren [mm] \vektor{1\\2\\3} [/mm] , [mm] \vektor{3\\5\\7} [/mm] und [mm] \vektor{5\\4\\3}.
[/mm]
Die Dimension des Bildes ist dann 3.
Für den Kern erhalte ich [mm] \vektor{13 \\ -6\\1}.
[/mm]
Seine Dimension ist also 1.
Die Dimension der Matrix ist 3, da sie 3 Spalten hat.
Ist es aber nicht auch so, dass die Summe der Dimensionen von Kern und Bild gleich der Dimension der Matrix sein muss? Das stimmt ja in diesem Fall nicht.
Wenn man aber als Bild die Zeilenvektoren nimmt, ergibt sich, dass die 2. Zeile ein Vielfaches der anderen beiden ist, das Bild daher [mm] \vektor{1 \\ 3\\5} [/mm] und [mm] \vektor{3 \\ 7\\3}, [/mm] also die Dimension des Bildes 2 ist.
Geben also die Zeilenvektoren das Bild an, oder ist die Summe der Dimensionen von Kern und Bild nicht gleich der Dimension der Matrix? Wo liegt da der Fehler?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo blubella,
erst mal ein gaaaanz herzliches ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> Bestimmen Sie Kern und Bild der folgenden Matrix, sowie
> deren Dimensionen:
> [mm]\pmat{1&3&5\\2&5&4\\3&7&3}[/mm]
> Hallo,
> Ich hab kein wirkliches Problem mit der Lösung der Aufgabe
> sondern mehr ein Verständnisproblem.
>
> Ist es nicht so, dass das Bild einer Matrix die
> Spaltenvektoren sind?
deren Spann, ja
> Dann sind das für diese Matrix die linear unabhängigen
> Vektoren [mm]\vektor{1\\2\\3}[/mm] , [mm]\vektor{3\\5\\7}[/mm] und
> [mm]\vektor{5\\4\\3}.[/mm]
Hmm ist das so? Rechne da lieber nochmal nach...
> Die Dimension des Bildes ist dann 3.
Ich komme auf $dim(Bild)=2$
>
> Für den Kern erhalte ich [mm]\vektor{13 \\ -6\\1}.[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Seine
> Dimension ist also 1.
genau!
>
> Die Dimension der Matrix ist 3, da sie 3 Spalten hat.
> Ist es aber nicht auch so, dass die Summe der Dimensionen
> von Kern und Bild gleich der Dimension der Matrix sein
> muss?
Das ist sehr schwammig gesagt, vllt. besser so, diese [mm] $3\times [/mm] 3$-Matrix repräsentiert eine lineare Abbildung von einem 3-dim. VR in einen 3-dim. VR, von mir aus vom [mm] $\IR^3\to\IR^3$
[/mm]
> Das stimmt ja in diesem Fall nicht.
doch  du hast dich bei der linearen Unabh. der Spaltenvektoren verschustert
>
> Wenn man aber als Bild die Zeilenvektoren nimmt, ergibt
> sich, dass die 2. Zeile ein Vielfaches der anderen beiden
> ist, das Bild daher [mm]\vektor{1 \\ 3\\5}[/mm] und [mm]\vektor{3 \\ 7\\3},[/mm]
> also die Dimension des Bildes 2 ist.
>
> Geben also die Zeilenvektoren das Bild an, ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
nein, das Bild ist der Spann der Spaltenvektoren!
> oder ist die
> Summe der Dimensionen von Kern und Bild nicht gleich der
> Dimension der Matrix? Wo liegt da der Fehler?
>
s.o.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Sa 03.05.2008 | | Autor: | blubella |
Hallo schachuzipus,
gut, das hab ich jetz mal verstanden, aber ich finde nicht heraus, welche der Spaltenvektoren linear abhängig sind. Einer muss es doch sein, wenn die Dimension 2 ist...
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Hallo nochmal,
das machst du am besten wie immer, setze die übliche Linearkombination des Nullvektors an:
[mm] $\lambda\cdot{}\vektor{1\\2\\3}+\mu\cdot{}\vektor{3\\5\\7}+\nu\cdot{}\vektor{5\\4\\3}=\vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
Das führt dich zu einem LGS (in Matrixschreibweise)
[mm] $\pmat{1&3&5&\mid&0\\2&5&4&\mid&0\\3&7&3&\mid&0}$
[/mm]
Löse dieses LGS oder bestimme den Rang von
[mm] $A=\pmat{1&3&5\\2&5&4\\3&7&3}$
[/mm]
Das geht am schnellsten
Wegen Zeilenrang=Spaltenrang, bringe A in Zeilensfufenform, dann hast du den Rang
Es gilt ja $rg(A)=dim(Bild(A))$ [mm] $\leftarrow$ sollte irgendwo in der VL stehen ;-)
Lieben Gruß
schachuzipus
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 Sa 03.05.2008 | | Autor: | blubella |
Danke, hab es verstanden, jetzt gehts.
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