Kern und Bild < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Di 06.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Folgende Aufgabe möchte ich lösen:
Sei [mm] F:\IR^n\to\IR^m [/mm] gegeben durch die folgende Matrix: [mm] \pmat{1&2&3\\4&5&6}. [/mm] Bestimmen Sie Basen von Ker F und Im F.
Also den Kern habe ich jetzt mal so berechnet:
[mm] x_1+2x_2+3x_3=0
[/mm]
[mm] 4x_1+5x_2+6x_3=0
[/mm]
... [mm] \gdw [/mm]
[mm] x_1=-2x_2-3x_3
[/mm]
[mm] x_2=-2x_3
[/mm]
also wäre der Kern dieser Abbildung:
Ker [mm] F=\vektor{1\\-2\\1}*\lambda, \lambda\in\IR, [/mm] oder nicht?
Aber was ist jetzt eine Basis davon? Wäre das z. B. [mm] \vektor{1\\-2\\1}? [/mm] Ist der Kern in diesem Fall eindimensional? Woran erkenne ich das?
Und wie komme ich auf das Bild bzw. eine Basis des Bildes?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:38 Di 06.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Ja, es ist alles richtig.
Nur zur Korrektur:
Es gilt mit der Dimensionsformel:
$3 = [mm] \dim(\IR^3) [/mm] = [mm] \dim(Kern(F)) [/mm] + [mm] \dim(Bild(F))$.
[/mm]
Aber du hast ja den Kern direkt ausgerechnet und dabei gesehen hast, dass dieser von einem Vektor aufgespannt wird.
Sorry, ich hatte das vorhin zu oberflächlich bearbeitet.
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Di 06.09.2005 | | Autor: | Cherub |
Hallo,
ich denke, die Basis des Bildes sind dann so aus:
[mm]{\vektor{1\\4},\vektor{3\\6}}[/mm]
Man sieht sehr schnell, dass [mm]\vektor{2\\5}[/mm] von den beiden Vektoren des Bildes linear abhängig ist.
Hoffentlich bringt Dich das etwas weiter.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:48 Di 06.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Danke für deine Antwort, aber wie kommst du auf diese Basis?
Viele Grüße
Bastiane
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Hallo Bastiane,
das sind einfach deine 2 Bildvektoren, der 3te war ja dann linear abhängig. Also siehst du daß dein Bild die Dimension 2 hat.
Liebe Grüße
Britta
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:14 Mi 07.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Sorry, ich hatte nicht mehr auf meinen Notizzettel geguckt. Ich habe doch dann drei Möglichkeiten, eine Basis anzugeben, eine davon hatte ich angegeben, eine davon hat Cherub angegeben. Nur stand da: die Basis, und das hatte mich verwirrt.
Danke für die Antwort.
Viele Grüße
Bastiane
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![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]"){kind=small}
