Kern und Bild bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:38 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Pille456 |
| Aufgabe | V sei der [mm] \IR-lineare [/mm] Raum aller Abbildungen f : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR. f_{1} ,f_{2} [/mm] , [mm] f_{3} [/mm] ∈ V seien
definiert durch [mm] f_{1}(x) [/mm] := [mm] e^{x} [/mm] , [mm] f_{2}(x) [/mm] := [mm] \wurzel{x^{2} + 1}, f_{3}(x) [/mm] := [mm] \bruch{1}{x^{2} + 1} [/mm] .
Die lineare Abbildung φ : [mm] \IR^{3} [/mm] -> V erfülle:
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} \mapsto f_{1} [/mm] + [mm] f_{3}
[/mm]
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} \mapsto 2f_{1} [/mm] + [mm] f_{2} [/mm] + [mm] f_{3}
[/mm]
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} \mapsto f_{1} [/mm] - [mm] 3f_{2} [/mm] + [mm] 4f_{3}
[/mm]
Bestimmen Sie Kern(φ) und Bild(φ). |
Hallo!
Bei dieser Aufgabe fehlt mir mehr oder weniger ein Ansatz:
Den ersten Ansatz den ich hatte, war eine Abbildung zu kontruieren, die halt die oberen drei Fälle beinhaltet, aber irgendwie kam ich da nicht weiter, wusste schlichtweg nicht wie ich mir da was definieren kann/soll.
Eine andere Idee von mir war, die drei Funktionen [mm] f_{1}, f_{2} [/mm] und [mm] f_{3} [/mm] einfach als Basis von V zu definieren, daraus liese sich dann ja das Bild berechnen oder nicht?
Aber da wusste ich dann auch nicht direkt weiter..
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> V sei der [mm]\IR-lineare[/mm] Raum aller Abbildungen f : [mm]\IR[/mm] ->
> [mm]\IR. f_{1} ,f_{2}[/mm] , [mm]f_{3}[/mm] ∈ V seien
> definiert durch [mm]f_{1}(x)[/mm] := [mm]e^{x}[/mm] , [mm]f_{2}(x)[/mm] :=
> [mm]\wurzel{x^{2} + 1}, f_{3}(x)[/mm] := [mm]\bruch{1}{x^{2} + 1}[/mm] .
> Die lineare Abbildung φ : [mm]\IR^{3}[/mm] -> V erfülle:
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1} \mapsto f_{1}[/mm] + [mm]f_{3}[/mm]
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0} \mapsto 2f_{1}[/mm] + [mm]f_{2}[/mm] + [mm]f_{3}[/mm]
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0} \mapsto f_{1}[/mm] - [mm]3f_{2}[/mm] + [mm]4f_{3}[/mm]
> Bestimmen Sie Kern(φ) und Bild(φ).
> Hallo!
>
> Bei dieser Aufgabe fehlt mir mehr oder weniger ein Ansatz:
> Den ersten Ansatz den ich hatte, war eine Abbildung zu
> kontruieren, die halt die oberen drei Fälle beinhaltet,
Hallo,
die Abbildung ist ja bereits vorgegeben.
> aber irgendwie kam ich da nicht weiter, wusste schlichtweg
> nicht wie ich mir da was definieren kann/soll.
> Eine andere Idee von mir war, die drei Funktionen [mm]f_{1}, f_{2}[/mm]
> und [mm]f_{3}[/mm] einfach als Basis von V zu definieren, daraus
> liese sich dann ja das Bild berechnen oder nicht?
Nun, die einfach als Basis von V zu "definieren", wird nicht gut klappen,
denn Basen müssen ja bestimmte Eigenschaften haben, nämlich linear unabhängig sein und den Raum aufspannen, und da der VR V unendlichdimensional ist, sind die drei Funktionen natürlich keine Basis von V.
Aber trotzdem geht Deine Idee in eine gute Richtung:
Das Bild der Abbildung [mm] \varphi [/mm] wird ja aufgespannt von [mm] f_1+f_3, 2f_{1}+f_{2}+]f_{3}, f_{1}-3f_{2}+4f_{3}.
[/mm]
Offensichtlich ist das Bild der Abbildung [mm] \varphi [/mm] ja eine Teilmenge des von von [mm] f_1, f_2 [/mm] und [mm] f_3 [/mm] aufgespannten Unterraumes U von V.
Du könntest nun mal prüfen, ob die [mm] f_i [/mm] linear unabhängig sind, wenn ja, sind sie eine Basis von U.
Dann kannst Du die Bildvektoren in Koordinaten bzgl dieser Basis schreiben und ihre Unabhängigkeit in gewohter Manier prüfen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hmm, bin mir nicht sicher ob ich das so verstanden habe wie Du das nun meintest, so?:
[mm] f_{1}+f_{3} [/mm] = [mm] f_{1} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] f_{2} [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\0} [/mm] + [mm] f_{3} [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} \Rightarrow \vektor{ 1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
(Bei den anderen beiden Beziehungen dasselbe) :
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 4 } \to \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} [/mm] => linear unabhängig, also sind die drei gegebenen Verknüpfungen von [mm] f_{1} [/mm] mit [mm] f_{3} [/mm] bzw. [mm] f_{2} [/mm] eine Basis vom Bild?
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> Hmm, bin mir nicht sicher ob ich das so verstanden habe wie
> Du das nun meintest, so?:
>
> [mm]f_{1}+f_{3}[/mm] = [mm]f_{1}[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]f_{2}[/mm] *
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\0}[/mm] + [mm]f_{3}[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1} \Rightarrow \vektor{ 1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
Hallo,
das da oben ist Unsinn, so wie es da steht.
Aber mein Vorschlag zielte genau auf die von Dir aufgestellte Matrix ab, auf
>pmat{ 1 & 2 & 1 [mm] \\ [/mm] 0 & 1 & 3 [mm] \\ [/mm] 1 & 1 & 4 }
Du hast hierfür die Bildvektoren von $ [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] aufgeschrieben in Koordinaten bzgl der Basis [mm] (f_1, f_2, f_3) [/mm] von U, und dann deren Unabhängigkeit geprüft durch ine Untersuchung des ranges der Matrix.
Also sind die drei Bildvektoren eine Basis des Bildes von [mm] \varphi. [/mm]
Was fehlt: wir wissen definitiv bisher nicht, ob [mm] f_1, f_2, f_3 [/mm] linear unabhängig sind. Wenn das nämlich nicht der Fall wäre, wäre die Idee mit den Koordinatenvektoren Kappes.
Du mußt also die lineare Unabhängigkeit von [mm] (f_1, f_2, f_3) [/mm] noch zeigen.
Gruß v. Angela
>
> (Bei den anderen beiden Beziehungen dasselbe) :
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 4 } \to \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
> => linear unabhängig,
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Pille456 |
Du meinst also zu prüfen ob dieses System nur die triviale Lösung hat oder?:
[mm] 1*f_{1} [/mm] + [mm] 0*f_{2}+1*f_{3} [/mm] = 0
[mm] 2*f_{1} [/mm] + [mm] 1*f_{2}+1*f_{3} [/mm] = 0
[mm] 1*f_{1} -3*f_{2}+4*f_{3} [/mm] = 0
also folgende Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & -3 & 4 }
[/mm]
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> Du meinst also zu prüfen ob dieses System nur die triviale
> Lösung hat oder?:
> [mm]1*f_{1}[/mm] + [mm]0*f_{2}+1*f_{3}[/mm] = 0
> [mm]2*f_{1}[/mm] + [mm]1*f_{2}+1*f_{3}[/mm] = 0
> [mm]1*f_{1} -3*f_{2}+4*f_{3}[/mm] = 0
> also folgende Matrix:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & -3 & 4 }[/mm]
Nein, das hast Du ja schon gmacht.
Du hast gezeigt, daß die Bildvektoren unter der Voraussetzung, daß die [mm] f_i [/mm] linear unabhängig sind, linear unabhängig sind.
Aber die lineare Unabhängigkeit von [mm] f_1, f_2, f_3 [/mm] ist bisher nicht gezeigt, es sei denn ohne mein Beisein in der Vorlesung.
Was mußt Du zeigen, um lineare Unabhängigkeit dreier Vektoren zu zeigen? (Definition)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Pille456 |
Ich muss zeigen, dass ich keinen der drei Vektoren als linear Kombination der anderen beiden Vektoren darstellen kann. Nur wie übertrage ich das Beispiel auf Funktionen?
Für mich ist das irgendwie klar, dass ich, egal womit ich [mm] f_{2} [/mm] und [mm] f_{3} [/mm] multipliziere (wobei dieser Skalar ja aus [mm] \IR [/mm] sein muss oder?) niemals [mm] f_{1} [/mm] als Addition dieser beiden darstellen kann. Umgekehrt ja auch so.
Oder verstehe ich dein Anliegen gerade falsch?
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> Für mich ist das irgendwie klar, dass ich, egal womit ich
> [mm]f_{2}[/mm] und [mm]f_{3}[/mm] multipliziere (wobei dieser Skalar ja aus
> [mm]\IR[/mm] sein muss oder?) niemals [mm]f_{1}[/mm] als Addition dieser
> beiden darstellen kann. Umgekehrt ja auch so.
> Oder verstehe ich dein Anliegen gerade falsch?
Hallo,
nein, Du verstehst mein Anliegen - welches Du zu dem Deinigen machen solltest - völlig richtig:
Du mußt zeigen, daß aus [mm] af_1+bf_2+cf_3=Nullabbildung [/mm] folgt, daß a,b,c=0 sind.
Also
sei
[mm] af_1+bf_2+cf_3=Nullabbildung
[/mm]
==>
es ist
[mm] af_1(x)+bf_2(x)+cf_3(x)=0 [/mm] für alle [mm] x\in \IR
[/mm]
==> ...
Jetzt versuch mal ein bißchen weiter. Eventuell habt Ihr in der Übung mal die Unabhängigkeit von [mm] e^x [/mm] und sin(x) oder sowas gezeigt, da kannst Du Dich inspirieren
Bedenke: wenn irgendetwas für alle x gilt, gilt es erst recht für einige ausgewählte.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Pille456 |
Ich kann mich zwar nicht erinnern, das in der Vorlesung gemacht zu haben und im Skript habe ich auch nichts gefunden, aber Wikipedia half da nun weiter. Laut "Wronski-Determinante" reicht es anscheinend aus, die Ableitung der Funktionen zu untersuchen und diese auf lineare Unabhängigkeit zu prüfen, also folgendes:
[mm] a*f_{1}' [/mm] + [mm] b*f_{2}' [/mm] + [mm] c*f_{3}' =a*e^{x} [/mm] + [mm] b*x(x^{2} [/mm] + [mm] 1)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] + [mm] c*x(x^{2} [/mm] + [mm] 1)^{-\bruch{3}{2}} [/mm] = 0
Da diese Gleichung für alle x [mm] \in \IR [/mm] gelten muss, muss es auch für x = 0 gelten.
Hierbei sieht man schon auf den ersten Blick, dass die hinteren beiden Teile gleich Null sind, aber im erste Teil gilt [mm] e^{0} [/mm] = 1, daher muss a = b = c = 0 gelten.
So nun zum Kern nochmal:
Ich habe nun die Basis des Bildes gefunden, also kann ich doch diese Bildvektoren in eine Matrix schreiben und den Kern wie üblich berechnen oder?
Also so?:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & -3 & 4 }
[/mm]
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> Ich kann mich zwar nicht erinnern, das in der Vorlesung
> gemacht zu haben und im Skript habe ich auch nichts
> gefunden, aber Wikipedia half da nun weiter. Laut
> "Wronski-Determinante" reicht es anscheinend aus, die
> Ableitung der Funktionen zu untersuchen und diese auf
> lineare Unabhängigkeit zu prüfen, also folgendes:
> [mm]a*f_{1}'[/mm] + [mm]b*f_{2}'[/mm] + [mm]c*f_{3}' =a*e^{x}[/mm] + [mm]b*x(x^{2}[/mm] +
> [mm]1)^{-\bruch{1}{2}}[/mm] + [mm]c*x(x^{2}[/mm] + [mm]1)^{-\bruch{3}{2}}[/mm] = 0
> Da diese Gleichung für alle x [mm]\in \IR[/mm] gelten muss, muss es
> auch für x = 0 gelten.
> Hierbei sieht man schon auf den ersten Blick, dass die
> hinteren beiden Teile gleich Null sind, aber im erste Teil
> gilt [mm]e^{0}[/mm] = 1, daher muss a = b = c = 0 gelten.
Hallo,
Ich she den Zusammenhang zwischen dem, ws Du tust und der Wronski-Determinante nicht,
und ich folge Deiner Argumentation mit der Ableitung nicht recht:
$ [mm] af_1(x)+bf_2(x)+cf_3(x)=0 [/mm] $ für alle $ [mm] x\in \IR [/mm] $
==>
> [mm]a*f_{1}'[/mm] + [mm]b*f_{2}'[/mm] + [mm]c*f_{3}' =a*e^{x}[/mm] + [mm]b*x(x^{2}[/mm] + [mm]1)^{-\bruch{1}{2}}[/mm] + [mm]c*x(x^{2}[/mm] + [mm]1)^{-\bruch{3}{2}}[/mm] = 0
Ja.
> Da diese Gleichung für alle x [mm]\in \IR[/mm] gelten muss, muss es
> auch für x = 0 gelten.
> Hierbei sieht man schon auf den ersten Blick,
daß folgt
[mm] a*e^{0}[/mm] [/mm] = 0,
also a=0.
> dass die
> hinteren beiden Teile gleich Null sind, aber im erste Teil
> gilt [mm]e^{0}[/mm] = 1, daher muss a = b = c = 0 gelten.
Daß b=c=0 ist bisher nur ein Wunsch.
Ich will Dir mal einen anderen Weg zur Unabhängigkeit zeigen:
$ [mm] af_1(x)+bf_2(x)+cf_3(x)=0 [/mm] $ für alle $ [mm] x\in \IR [/mm] $
==>
[mm] af_1(0)+bf_2(0)+cf_3(0)=0
[/mm]
[mm] af_1(1)+bf_2(1)+cf_3(1)=0
[/mm]
[mm] af_1(-1)+bf_2(1)+cf_3(1)=0
[/mm]
(oder mit drei anderen Werten, mit denen sich bequemer rechnen läßt)
==> nun das LGS lösen.
> So nun zum Kern nochmal:
> Ich habe nun die Basis des Bildes gefunden,
> also kann ich
> doch diese Bildvektoren in eine Matrix schreiben und den
> Kern wie üblich berechnen oder?
> Also so?:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & 4 }[/mm]
Das ist nicht die richtige Matrix. In die Spalten gehören doch die Bilder der basisvektoren in Koordinaten bzgl. [mm] (f_1, f_2, f_3). [/mm] Du hast die transponierte Matrix aufgeschrieben.
Wenn Du dann den Kern hast, mußt Du bedenken, daß er nicht in Koordinatn bzgl der Standardbasis ist.
Gruß v Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hmm habe ich nicht quasi dasselbe gemacht wie du?
Also zum Lösen setzt Du ja irgendwelche Elemente aus [mm] \IR [/mm] in die Funktionen ein. Ich habe doch dasselbe gemacht, nur mit den Ableitungen der Funktion und x = 0.
Argh, ich verwechsel das immer wann ich die transponierte Matrix und wann die "normal" Matrix benutzen muss
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> Hmm habe ich nicht quasi dasselbe gemacht wie du?
> Also zum Lösen setzt Du ja irgendwelche Elemente aus [mm]\IR[/mm]
> in die Funktionen ein. Ich habe doch dasselbe gemacht, nur
> mit den Ableitungen der Funktion und x = 0.
Hallo,
wenn Du das so gemacht hast, hast Du's so geschickt getarnt, daß ich es nicht gemerkt habe.
ich habe Dir ja gezeigt, welche Schlüsse ich aus dem, was Du geschrieben hast, ziehe.
Das, was Du nicht geschrieben, sondern zusätzlich gedacht hast, weiß ich natürlich nicht...
Gruß v. Angela
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