Kern und Bild bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:36 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Gegeben ist
[mm] A=\pmat{ 5 & -6 & -2 & 3 & -4 \\ 7 & 6 & 2 & 9 & -2 \\ 7 & 4 & 0 & 7 & -4}.
[/mm]
Bestimme den kern und das Bild der linearen Abbildung [mm] \pi: Z^{5} [/mm] --> [mm] Z^{3}, [/mm] die durch A dargestellt wird. |
Mir ist i.d.R klar, wie man den Kern einer solchen Abbildung bestimmt, man löst das Gleichungssystem Ax=0. Mein Problem ist, dass die Rechung ja über Z erfolgen muss. Ich erhalte aber beim elementaren Zeilenumformen dauernd Brüche, die es ja in Z nicht gibt. Wie muss ich also hier verfahren. Hilft es weiter, wenn man schon die Smith-Normalform bestimmt hat? Sind der Kern und das Bild der Smith-Normalform dieselben wie die der Abbildung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:22 Sa 05.01.2013 | | Autor: | barsch |
Hallo!
Ob dich meine Antwort zufriedenstellt, wage ich zu bezweifeln, aber durch elementare Zeilenumformungen erhalte ich ausschließlich Ergebnisse in [mm]\IZ[/mm]. Das klappt wunderbar.
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:54 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Trikolon |
Also ich erhalte in Zeilenstufenform:
[mm] \pmat{ 5 & -6 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 12 & 4 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 8 & 8 & 9 }, [/mm] d.h.
[mm] x_4 [/mm] und [mm] x_5 [/mm] sind frei wählbar, wenn ich jetzt aber [mm] x_1, x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] in Abhängigkeit von [mm] x_4 [/mm] und [mm] x_5 [/mm] bestimmen, erhalte ich doch immer Brüche, z.B. [mm] x_3 [/mm] = [mm] -x_4-9/8 x_5
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Trikolon |
Wenn ich mirs nochmal recht überlege, ist Ker(A) nicht einfach gleich 0 und damit die Abbildung injektiv?
Für das Bild hab ich raus: Bild(A)= { [mm] \vektor{5 \\ 7 \\ 7}, \vektor{-6 \\ 6 \\ 4}, \vektor{-2 \\ 2 \\ 0} [/mm] } und damit wäre die Abbildung ja sogar bijektiv...
Aber nochmal die Frage: Sind Bild und Kern der Smith-Normalform dieselben wie die von der ursprünglichen Matrix?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Sa 05.01.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Wenn ich mirs nochmal recht überlege, ist Ker(A) nicht
> einfach gleich 0 und damit die Abbildung injektiv?
Zwar ist [mm] $\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \in [/mm] $ Ker(A), aber
Ker(A) [mm] $\not= \{ \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \}$.
[/mm]
> Für das Bild hab ich raus: Bild(A)= [mm] $\{ \vektor{5 \\ 7 \\ 7}, \vektor{-6 \\ 6 \\ 4}, \vektor{-2 \\ 2 \\ 0}\}$
[/mm]
> und damit wäre die Abbildung ja sogar bijektiv...
> Aber nochmal die Frage: Sind Bild und Kern der
> Smith-Normalform dieselben wie die von der ursprünglichen
> Matrix?
Was ist eine Smith-Normalform?
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Trikolon |
Und wie bestimme ich dann den Kern?
Stimmt das, was ich zu dem Bild hingeschrieben hatte?
Ehrlich gesagt, ist es mir zu müßig, jetzt zu erklären, was eine Smith-Normalform ist, vielleicht könnte mir ja jemand eine Antwort darauf geben, der weiß, was das ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Sa 05.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
die patzige Antwort auf die Frage nach Smith finde ich aergelich,die Helfer schreiben dir doch auch ausfuehrlich!
Wenn du die matrix in Stufenform bringst, musst du die rechte Seite von Ax=b mit umformen, wenn b=0 passiert dabei nichts.
der 0 Vektor ist immer die triviale Loesung von Ax=0 denn A*0=0 ist trivial. Aber da du von dim 5 auf dim 3 abbildest kann das Bild doch hoechstens 3d sein damit muss der Kern mindestens 2 d sein.
Weitere Fragen von dir werden hoffentlich erst beantwortet, wenn du dich fuer die Patzigkeit entschuldigst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Trikolon |
Sorry, ich entschuldige mich hochherrschaftlich für meine Patzigkei! Bim im Moment ein wenig im Stress...
Das Bild, welches ich angegeben hatte, ist doch 3d. Ist dieses nicht korrekt?
Zum Kern: Soll ich also für [mm] x_4 [/mm] und [mm] x_5 [/mm] einfach i-welche konkreten Zahlen einsetzen und dann damit das homogene LGS lösen? Aber eigentlich kann das ja auch nicht sein, denn dann würde ich ja - je nach Wahl - einen Bruch bekommen...
Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Sa 05.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ohne deeine Rechnung ist es mir zu viel Zeit, dein Bild nachzurechnen. zu viel Stress, du kannst ja einsetzen um das nachzupruefen.
x+4 und [mm] x_5 [/mm] nicht willkuerlich, sondern so waehlen, dass alle Ergebnisse ganz sind.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Trikolon |
Ich hab die Matrix A transponiert und die Transponierte in Zeilenstufenform gebracht. Die drei ersten Zeilen sind nicht-Nullzeilen. So bin ich auf das Bild gekommen.
In ZSF:
[mm] \pmat{ 5 & 7 & 7 \\ 0 & -12 & -22 \\ 0 & 0 & 30 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Frage 1:
Also wäre die Basis: B= { [mm] \vektor{5 \\ 7 \\ 7}, \vektor{0 \\ -12 \\ -22}, \vektor{0 \\ 0 \\ 30} [/mm] }
Frage 2:
Oder ist die Basis dann die ersten 3 Zeilen der Ausgangsmatrix?
Frage 3:
Und als Kern habe ich jetzt: [mm] \vektor{-5 \\ 1 \\ -18 \\ 9 \\ 8}. [/mm] Zumindest kommt dann 0 raus. Stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:31 So 06.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
das Bild ist 3d also muss der Kern 2d sein, du brauchst also einen 2 ten Vektor im kern.
der Weg, wie du das Bild berechnet hast ist richtig, die Rechnung habe ich nicht ueberprueft.
da das bild im [mm] R^3 [/mm] liegt ist der andere Weg falsch.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:43 So 06.01.2013 | | Autor: | Trikolon |
Ok, danke schonmal. Mich wundert nur, dass das Bild Vektoren mit 3 Komponenten hat und der Kern Vektoren mit 5 Komponenten.
Macht das Sinn???
Ok, dann berechne ich noch einen Vektor zum Kern. Kann man das wirklich nur mit ausprobieren lösen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:40 So 06.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ok, danke schonmal. Mich wundert nur, dass das Bild
> Vektoren mit 3 Komponenten hat und der Kern Vektoren mit 5
> Komponenten.
>
> Macht das Sinn???
Ja, Du hast doch $ [mm] \pi: Z^{5} [/mm] $ --> $ [mm] Z^{3}, [/mm] $
FRED
>
> Ok, dann berechne ich noch einen Vektor zum Kern. Kann man
> das wirklich nur mit ausprobieren lösen???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 So 06.01.2013 | | Autor: | Trikolon |
Ok, danke.
Nochmal zur 2. Frage:
Kann man die beiden Vektoren des kerns nur durch Ausprobieren bekommen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 So 06.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
loese Ax=0
A die Abb. Matrix, da muss mannichts raten.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 So 06.01.2013 | | Autor: | rollroll |
genau das habe ich doch gemacht (und schon geschrieben).
Dann hatte ich in ZSF bekommen:
[mm] \pmat{ 5 & -6 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 12 & 4 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 8 & 8 & 9 },d.h. x_4 [/mm] und [mm] x_5 [/mm] sind frei wählbar. Aber man muss beachten, dass man in Z rechnet. Also muss man doch ein wenig rumprobieren, wie man [mm] x_4 [/mm] und [mm] x_5 [/mm] wählt. Oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 So 06.01.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Also, zunächst sind [mm] x_4 [/mm] und [mm] x_5 [/mm] frei wählbar. Dann kannst du ja nach [mm] x_3 [/mm] umstellen und merkst, dass da ein Bruch auftaucht. Den bekommst du aber genau dann weg, wenn [mm] x_5 [/mm] ein Vielfache von 8 weg, weil dann die 8 aus dem Nenner des Bruches verschwindet. Also kann [mm] x_4\in \IZ [/mm] immer noch beliebig sein, aber [mm] x_5 \in 8\IZ [/mm] beliebig.
Nun machst du weiter und stellst nach [mm] x_3 [/mm] und schaust, was du gegebenenfalls noch beachten musst, damit [mm] x_3 [/mm] ganzzahlig bleibt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 So 06.01.2013 | | Autor: | Trikolon |
Ok, wie schreibt man das denn formal auf?
Also [mm] 8x_3 [/mm] = [mm] -8x_4-9x_5.
[/mm]
Dann ist [mm] x_5 \in [/mm] 8Z beliebig und [mm] x_4 \in [/mm] Z beliebig.
Wie formt man dann denn um?
[mm] x_3 [/mm] = [mm] -x_4-9x_5 [/mm] ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 So 06.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] x_5=8*m, m\in\IZ
[/mm]
[mm] x_3=-x_4-9m
[/mm]
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 So 06.01.2013 | | Autor: | Trikolon |
Dann würde ich für [mm] x_2=m [/mm] erhalten , stimmt das?
ich habe [mm] 12x_2 [/mm] + 4 [mm] (-x_4-9m)+4x_4 [/mm] + 3*8m = 0 gerechnet
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 So 06.01.2013 | | Autor: | Teufel |
Ich komme auf das gleiche!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 So 06.01.2013 | | Autor: | Trikolon |
Und [mm] x_1 [/mm] wäre dann [mm] x_1= [/mm] 4m - [mm] x_4
[/mm]
Wie würde dann jetzt der Kern lauten?
Kern(A)= { [mm] \vektor{4m-x_4 \\ m \\ -x_4-9m \\ x_4 \\ 8m} [/mm] } Aber er muss ja 2d sein...?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 So 06.01.2013 | | Autor: | leduart |
hallo
ein bissel selber rumprobieren waer ganz gut!
kannst du durch Wahlvon m 2 lin unabh. Vektoren finden?
Gruss leduart
PS hast du mal gemerkt, dass wir hier gewisse Hoeflichkeitsformen einhalten? das ist ein forum, kein blog
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 So 06.01.2013 | | Autor: | Trikolon |
Hallo,
also ich würde dann vorschlagen: Kern(A) = { [mm] \vektor{4 \\ 1 \\ -9 \\ 0 \\ 8}, \vektor{-1\\ 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0} [/mm] }
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 So 06.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
netter Vorschlag
gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 Sa 05.01.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Also ich erhalte in Zeilenstufenform:
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> [mm]\pmat{ 5 & -6 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 12 & 4 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 8 & 8 & 9 },[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> d.h.
> [mm]x_4[/mm] und [mm]x_5[/mm] sind frei wählbar, wenn ich jetzt aber [mm]x_1, x_2[/mm]
> und [mm]x_3[/mm] in Abhängigkeit von [mm]x_4[/mm] und [mm]x_5[/mm] bestimmen, erhalte
> ich doch immer Brüche, z.B. [mm]x_3[/mm] = [mm]-x_4-9/8 x_5[/mm]
Kannst Du nicht [mm] $x_5 \in \IZ$ [/mm] und [mm] $x_4 \in \IZ$ [/mm] so wählen, dass [mm] $x_3 \in \IZ$ [/mm]
und die Gleichung [mm] $8*x_3 [/mm] + [mm] 8*x_4 [/mm] + [mm] 9*x_5 [/mm] = 0$ erfüllt ist.
Dann so weiter mit den anderen Variablen und Gleichungen.
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:02 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Trikolon |
Dazu hatte ich auch schon was geschriben, vergleiche vorherige Frage.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Sa 05.01.2013 | | Autor: | leduart |
hallo
die Antwort -wenn du richtig lesen kannst bezog sich auf deine Frage! z.B [mm] x_5=8 [/mm] oder [mm] x_5=456888
[/mm]
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