Kettenbruch,Näherungsbruch < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Di 25.09.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei [mm] [a_0, a_1,..,a_n] [/mm] ein unendlicher, regelmäßiger Kettenbruch mit [mm] a_0 \in \IZ [/mm] und [mm] a_i \in \IN \forall [/mm] i >=1 . Dann konvergiert die Folge [mm] (\frac{p_n}{q_n})_{n>=0} [/mm] der Näherungsbrüche gegen eine Zahl [mm] \alpha \in \IR [/mm] ohne [mm] \IQ. [/mm] Dabei gilt
[mm] \frac{p_0}{q_0} [/mm] < [mm] \frac{p_2}{q_2}< [/mm] .. < [mm] \alpha [/mm] < [mm] \frac{p_3}{q_3} [/mm] < [mm] \frac{p_1}{q_1} [/mm] |
hALLO
In der Vorlesung haben wir diesen Satz bewiesen. Ich komme auch mit dem beweis gut zurrecht außer am Schluss, wo wir beweisen dass: die Folge [mm] (\frac{p_n}{q_n})_{n>=0} [/mm] der Näherungsbrüche gegen eine Zahl [mm] \alpha \in \IR [/mm] ohne [mm] \IQ. [/mm]
Wir haben gezeigt das der Grenzwert existiert es fehlt nur noch zuzeigen dass [mm] \alpha \in \IR [/mm] ohne [mm] \IQ [/mm] ist.
Beweis:
Sei [mm] \alpha \in \IQ. [/mm] d.h. [mm] \alpha [/mm] = [mm] \frac{a}{b} [/mm] mit a [mm] \in \IZ, [/mm] b [mm] \in \IN, [/mm] so würde aus [mm] \frac{p_k}{q_k} \not= \alpha \forall [/mm] k >=0 folgern, dass
0 < [mm] \frac{1}{bq_k} [/mm] <= | [mm] \frac{a}{b} [/mm] - [mm] \frac{p_k}{q_k} [/mm] | = [mm] |\alpha [/mm] - [mm] \frac{p_k}{q_k}| [/mm] < [mm] |\frac{p_{k+1}}{q_{k+1}} [/mm] - [mm] \frac{p_k}{q_k}| [/mm] = [mm] \frac{1}{q_k q_{k+1}}
[/mm]
=> [mm] q_{k+1} [/mm] < b [mm] \forall [/mm] k >=1, und dies ist ein Widerspruch zur Unbeschränktheit der Folge [mm] (q_k)_{k>=0}
[/mm]
Ich verstehe die beiden Ungleichungen nicht:
0 < [mm] \frac{1}{bq_k} [/mm] <= | [mm] \frac{a}{b} [/mm] - [mm] \frac{p_k}{q_k} [/mm] |
und
[mm] |\alpha [/mm] - [mm] \frac{p_k}{q_k}| [/mm] < [mm] |\frac{p_{k+1}}{q_{k+1}} [/mm] - [mm] \frac{p_k}{q_k}| [/mm]
Vlt. weiß hier wer Rat.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 Di 25.09.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Sei [mm][a_0, a_1,..,a_n][/mm] ein unendlicher, regelmäßiger
> Kettenbruch mit [mm]a_0 \in \IZ[/mm] und [mm]a_i \in \IN \forall[/mm] i >=1 .
> Dann konvergiert die Folge [mm](\frac{p_n}{q_n})_{n>=0}[/mm] der
> Näherungsbrüche gegen eine Zahl [mm]\alpha \in \IR[/mm] ohne [mm]\IQ.[/mm]
> Dabei gilt
> [mm]\frac{p_0}{q_0}[/mm] < [mm]\frac{p_2}{q_2}<[/mm] .. < [mm]\alpha[/mm] <
> [mm]\frac{p_3}{q_3}[/mm] < [mm]\frac{p_1}{q_1}[/mm]
>
> hALLO
>
> In der Vorlesung haben wir diesen Satz bewiesen. Ich komme
> auch mit dem beweis gut zurrecht außer am Schluss, wo wir
> beweisen dass: die Folge [mm](\frac{p_n}{q_n})_{n>=0}[/mm] der
> Näherungsbrüche gegen eine Zahl [mm]\alpha \in \IR[/mm] ohne [mm]\IQ.[/mm]
> Wir haben gezeigt das der Grenzwert existiert es fehlt nur
> noch zuzeigen dass [mm]\alpha \in \IR[/mm] ohne [mm]\IQ[/mm] ist.
>
> Beweis:
> Sei [mm]\alpha \in \IQ.[/mm] d.h. [mm]\alpha[/mm] = [mm]\frac{a}{b}[/mm] mit a [mm]\in \IZ,[/mm]
> b [mm]\in \IN,[/mm] so würde aus [mm]\frac{p_k}{q_k} \not= \alpha \forall[/mm]
> k >=0 folgern, dass
> 0 < [mm]\frac{1}{bq_k}[/mm] <= | [mm]\frac{a}{b}[/mm] - [mm]\frac{p_k}{q_k}[/mm] | =
> [mm]|\alpha[/mm] - [mm]\frac{p_k}{q_k}|[/mm] < [mm]|\frac{p_{k+1}}{q_{k+1}}[/mm] -
> [mm]\frac{p_k}{q_k}|[/mm] = [mm]\frac{1}{q_k q_{k+1}}[/mm]
> => [mm]q_{k+1}[/mm] < b
> [mm]\forall[/mm] k >=1, und dies ist ein Widerspruch zur
> Unbeschränktheit der Folge [mm](q_k)_{k>=0}[/mm]
>
> Ich verstehe die beiden Ungleichungen nicht:
> 0 < [mm]\frac{1}{bq_k}[/mm] <= | [mm]\frac{a}{b}[/mm] - [mm]\frac{p_k}{q_k}[/mm] |
Der Bruch [mm] $\frac{a}{b} [/mm] - [mm] \frac{p_k}{q_k}$ [/mm] ist von der Form [mm] $\frac{x}{b q_k}$ [/mm] mit $x [mm] \in \IZ$. [/mm] Da er nicht 0 ist, muss $|x| [mm] \ge [/mm] 1$ sein, womit der Bruch vom Betrag her [mm] $\ge \frac{1}{b q_k}$ [/mm] ist.
> und
> [mm]|\alpha[/mm] - [mm]\frac{p_k}{q_k}|[/mm] < [mm]|\frac{p_{k+1}}{q_{k+1}}[/mm] -
> [mm]\frac{p_k}{q_k}|[/mm]
Das folgt aus dem, was du oben schon gezeigt hast, naemlich
> [mm]\frac{p_0}{q_0}[/mm] < [mm]\frac{p_2}{q_2}<[/mm] .. < [mm]\alpha[/mm] <
> [mm]\frac{p_3}{q_3}[/mm] < [mm]\frac{p_1}{q_1}[/mm]
Die beiden Brueche [mm] $\frac{p_{k+1}}{q_{k+1}}$ [/mm] und [mm] $\frac{p_k}{q_k}$ [/mm] liegen auf verschiedenen Seiten von [mm] $\alpha$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:09 Di 25.09.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo
Ich danke dir, nun ist für mich der Beweis klar.
Liebe Grüße, schöne Woche noch.
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