Kettenlinie < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 Sa 16.05.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Ein durchhängendes Seil hat die Form einer Kettenlinie
$y(x) = a [mm] \cdot{} [/mm] cosh [mm] \left( \bruch{x-b}{a} \right) [/mm] + c$
$a,b,c [mm] \in \IR$
[/mm]
$a > 0$
Zeigen Sie: $ay'' = [mm] \wurzel{1+(y')^2}$ [/mm] |
Hallo Zusammen,
als erstes habe ich die beiden Ableitungen bestimmt, hierbei erhalte ich
$y' = a [mm] \cdot{} [/mm] sinh [mm] \left( \bruch{1}{a} \right)$
[/mm]
$y'' = a [mm] \cdot{} [/mm] cosh(0)$ = a
Die erste Ableitung quadriere ich noch: $(y')² = a² [mm] \cdot{} [/mm] sinh² [mm] \left( \bruch{1}{a} \right)$
[/mm]
Nun soll ich zeigen, dass: $ay'' = [mm] \wurzel{1+(y')^2}$
[/mm]
Ich setze ein:
a² = [mm] \wurzel{1+ a² \cdot{} sinh² \left( \bruch{1}{a} \right)} [/mm] |quadrieren, obwohl diese keine Äuqivalenzumformung ist
=> [mm] a^4 [/mm] = 1+ a² [mm] \cdot{} [/mm] sinh² [mm] \left( \bruch{1}{a} \right)
[/mm]
<=> [mm] a^4 [/mm] = 1+ a² [mm] \cdot{} \left( \bruch{e^{2 \cdot{} \bruch{1}{a}} - e^{-2 \cdot{}\bruch{1}{a}}}{2} \right)²
[/mm]
<=> [mm] a^4 [/mm] = 1+ a² [mm] \cdot{} \left( \bruch{e^{\bruch{4}{a}} - 2 + e^{-\bruch{4}{a}}}{4} \right)
[/mm]
<=> [mm] \bruch{4(a^4 - 1)}{a²} [/mm] = [mm] e^{\bruch{4}{a}} [/mm] - 2 + [mm] e^{-\bruch{4}{a}} [/mm] | Substitution: z = [mm] e^{\bruch{4}{a}}
[/mm]
<=> [mm] \bruch{4(a^4 - 1)}{a²} [/mm] = z - 2 + [mm] \bruch{1}{z}
[/mm]
<=> [mm] a²z²-(2a²+4a^4-4)z+a²
[/mm]
Hierfür nun zwei Lösungen bestimmen und Rücksubstitution, dann komme ich auf:
[mm] \bruch{4}{a^4}(a^8+a^6-2a^4-a²+1) [/mm] = [mm] \left( e^{\bruch{4}{a}} - 2 - 2a² + \bruch{2}{a²} \right)^²
[/mm]
= [mm] 4a^4 [/mm] + 4a² - 8 - [mm] \bruch{4}{a²} [/mm] + [mm] \bruch{4}{a^4} [/mm] = [mm] \left( e^{\bruch{4}{a}} - 2 - 2a² + \bruch{2}{a²} \right)^²
[/mm]
Stimm dies überhaupt? Gibt es keinen einfacheren Weg, außerdem soll ich ja zeigen, dass: $ay'' = [mm] \wurzel{1+(y')^2}$, [/mm] wenn ich aber schon im ersten Schritt quadriere kann ich nicht mehr <=> schreiben, oder doch da a > 0 definiert ist und es somit keine Fallunterscheidung bezüglich Plus und Minus gibt?
Vielen Dank,
itse
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:40 Sa 16.05.2009 | | Autor: | weduwe |
die 1. ableitung lautet
[mm] y^\prime [/mm] = [mm] sinh(\frac{x-b}{a})
[/mm]
und damit die 2.
[mm] y^\prime^\prime=\frac{1}{a}cosh(\frac{x-b}{a})
[/mm]
womit du mit [mm]cosh^2x-sinh^2x=1[/mm] schon am ziel bist
|
|
|
|
