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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Do 21.12.2006 | | Autor: | Mark007 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi, könnte sich jemand ansehen, ob ich folg., Aufgaben richtig gerechnet habe? Ich glaub in einigen stecken einige Fehler.
Das ist zwar gabz schön viel, wär aber nett, wenn sich jem. einige von denen angucken könnte.
1) Leiten Sie ab und vereinfachen Sie das Ergebnis:
a) f(x)= (1+ [mm] \wurzel{x} )^2
[/mm]
f ' (x)= [mm] \bruch{1}{x^0,5} [/mm] +1
b) f(x)= [mm] \bruch{1}{sin(x)} [/mm]
f '(x)= - [mm] \bruch{cos(x)}{sin(x)^2}
[/mm]
c) f(x)= [mm] (ax^3+1)^2
[/mm]
f '(x)= [mm] 6a^2x^5+6ax^2
[/mm]
d) f(x)= [mm] \bruch{3a}{1+x^2}
[/mm]
f' [mm] (x)=\bruch{6ax}{(1+x^2)^2}
[/mm]
e) f(x)= [mm] \wurzel{ax-1}
[/mm]
f '(x)= [mm] 0,5a^2-0,5ax^-1
[/mm]
f) f(x)= [mm] sin(ax^2)
[/mm]
f '(x)= [mm] cos(ax^2)*2ax
[/mm]
g) f(x)= [mm] sin(ax)^2
[/mm]
f'(x)= 2ax^-1*cos(ax)
h )f(x)= [mm] (sin(ax))^2
[/mm]
f'(x)=2cos(ax)*ax^-1
2) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f:
a) f(x)= [mm] (1+3x)^5
[/mm]
F(x)= [mm] \bruch{1}{18} (3x+1)^6
[/mm]
b) f(x)= [mm] (2-4^)^3
[/mm]
F(x)= [mm] -\bruch{1}{16} (2-4x)^4
[/mm]
c) f(x)= (4x-1)^-3
F(x)= - [mm] \bruch{1}{8}* [/mm] (4x-1)^-2
d) f(x)= [mm] \bruch{2}{(3-4x)^2} [/mm]
F(x)= 0,5(3-4x)^-1
r) f(x)= [mm] \wurzel{2x+3} [/mm]
F(x)= [mm] 0,3333(2x+3)^1,5
[/mm]
f) f(x)= [mm] \bruch{2*t}{(3-x)^0,5} [/mm]
F(x)= [mm] -4(3-x)^0,5 [/mm]
Und wie diese beiden gehen, weiß ich nicht: f(x)= asin(2x) und f(x)= cos(pi-tx)
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 Do 21.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Hi, könnte sich jemand ansehen, ob ich folg., Aufgaben
> richtig gerechnet habe? Ich glaub in einigen stecken einige
> Fehler.
> Das ist zwar gabz schön viel, wär aber nett, wenn sich jem.
> einige von denen angucken könnte.
>
> 1) Leiten Sie ab und vereinfachen Sie das Ergebnis:
>
> a) f(x)= (1+ [mm]\wurzel{x} )^2[/mm]
> f ' (x)= [mm]\bruch{1}{x^0,5}[/mm] +1
Nicht ganz:
[mm] f'(x)=2(1+\wurzel{x})*\bruch{1}{2\wurzel{x}}=\bruch{1+\wurzel{x}}{\wurzel{x}}
[/mm]
Oops, passt doch 
>
> b) f(x)= [mm]\bruch{1}{sin(x)}[/mm]
> f '(x)= - [mm]\bruch{cos(x)}{sin(x)^2}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> c) f(x)= [mm](ax^3+1)^2[/mm]
> f '(x)= [mm]6a^2x^5+6ax^2[/mm]
>
Passt
> d) f(x)= [mm]\bruch{3a}{1+x^2}[/mm]
> f' [mm](x)=\bruch{6ax}{(1+x^2)^2}[/mm]
Du hast das -vor den Bruch vergessen
also: [mm] f'(x)=3a*(-\bruch{1}{(1+x²)²}*2x=-\bruch{6ax}{(1+x²)²}
[/mm]
>
> e) f(x)= [mm]\wurzel{ax-1}[/mm]
> f '(x)= [mm]0,5a^2-0,5ax^-1[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2\wurzel{ax-1}}*a=\bruch{a}{2\wurzel{ax-1}}
[/mm]
> f) f(x)= [mm]sin(ax^2)[/mm]
> f '(x)= [mm]cos(ax^2)*2ax[/mm]
Korrekt
>
> g) f(x)= [mm]sin(ax)^2[/mm]
> f'(x)= 2ax^-1*cos(ax)
Meinst du f(x)=sin((ax)²)=sin(a²x²)
Dann gilt: f'(x)=cos(a²x²)*2a²x
>
> h )f(x)= [mm](sin(ax))^2[/mm]
> f'(x)=2cos(ax)*ax^-1
>
Nein, hier brauchst du die Kettenregel doppelt:
[mm] f(x)=(sin(ax))^2
[/mm]
Dann definiere: g(x)=ax
h(y)=sin(y)
und i(z)=z²
Jetzt gilt: [mm] (sin(ax))^2=i(h(g(x)))
[/mm]
Also abgeleitet:
i'(h(g(x))*h(g(x))'
Und
h(g(x))'=h'(g(x))*g'(x)=cos(ax)*a
i'(h(g(x))=2(sin(ax))
Also: f'(x)=2(sin(ax))*cos(ax)*a=2a*cos(ax)sin(ax)
>
> 2) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f:
> a) f(x)= [mm](1+3x)^5[/mm]
> F(x)= [mm]\bruch{1}{18} (3x+1)^6[/mm]
>
> b) f(x)= [mm](2-4^)^3[/mm]
> F(x)= [mm]-\bruch{1}{16} (2-4x)^4[/mm]
>
> c) f(x)= (4x-1)^-3
> F(x)= - [mm]\bruch{1}{8}*[/mm] (4x-1)^-2
>
> d) f(x)= [mm]\bruch{2}{(3-4x)^2}[/mm]
> F(x)= 0,5(3-4x)^-1
>
> r) f(x)= [mm]\wurzel{2x+3}[/mm]
> F(x)= [mm]0,3333(2x+3)^1,5[/mm]
>
> f) f(x)= [mm]\bruch{2*t}{(3-x)^0,5}[/mm]
> F(x)= [mm]-4(3-x)^0,5[/mm]
>
>
Hier kannst du selber kontrollieren: Gilt F'(x)=f(x), hast du eine korrekte Stammfunktion.
>
> Und wie diese beiden gehen, weiß ich nicht: f(x)= asin(2x)
> und f(x)= cos(pi-tx)
Hier brachst du in beide Fällen die ![[]](/images/popup.gif) Partielle Integration.
>
> Danke
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Do 21.12.2006 | | Autor: | baufux |
Hallo!
Also bei der 1 sind die a,b,c und f richtig, bei der 2 sind a-e richtig.
1 d) Du hast das Minuszeichen vergessen: [mm] -\bruch{6ax}{(1+x^{2})^{2}} [/mm]
1 e) Denke mal du hast das gane unzulässig vereinfacht. Als Ableitung kommt [mm] \bruch{a}{2\wurzel{ax-1}} [/mm] raus.
1 g) [mm] sin(ax)^{2}=sin(a^{2}x^{2}) \Rightarrow 2a^{2}xcos(ax)^{2}[/mm]
1 h) Die Ableitung ist [mm] 2sin(ax)cos(ax)a [/mm] Vereinfacht ergibt das [mm] a*sin(2ax) [/mm]
2 f) Du hast das [mm]t[/mm] (konstanter Faktor) vergessen: [mm] [mm] -4t\wurzel{3-x}
[/mm]
Zur 2 g)
Meints du [mm] f(x)=a*sin(2x) [/mm], dann ergibt sich:
[mm] F(x)=-\bruch{1}{2}a*cos(2x) [/mm]
Falls du [mm] f(x)=asin(2x)=sin^{-1}(2x) [/mm] meinst ist die Stammfunktion:
[mm] F(x)=x*asin(2x)+\bruch{1}{2}\wurzel{1-4x^{2}} [/mm]
Das fällt meines wissens nach aber nicht unter den normalen Schulstoff.
Draufkommen kann man durch Substitution und anschließende partielle Integration denke ich. Habe es aber jetzt nicht ausprobiert.
Zur 2 h)
[mm] f(x)=cos(\pi-tx)=sin(tx) \Rightarrow F(x)=-\bruch{1}{t}cos(tx)[/mm]
Da haben wir beide die antwort wohl gleichzeitug geschrieben
Grüße Baufux
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