Kettenregel < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 So 09.05.2004 | | Autor: | Kleine |
Hallo,
ich muss ein Referat über die Kettenregel halten.
Mein Problem dabei ist, das ich einen Beweis dafür machen muss und ich nicht weiß, wie ich diese Kettenregel beweisen soll!??
Wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 So 09.05.2004 | | Autor: | Eva |
Hallo Kleine!
Herzlich Willkommen im MatheRaum  !
Okay, Beweis der Kettenregel. Ich habe mich gerade eben noch mal eingelesen und glaube es verstanden zu haben.
Ganz elematar und Ausgangspunkt der Beweisführung überhaupt:
$f(x)=u(z)$ mit z=v(x) --> $f'(x)=u'(z)*v'(x)$
$u(z)$ --> äußere Funktion
$z=v(x)$ --> innere Funktion
$u'(x)$ --> äußere Ableitung
$v'(x)$ --> innere Ableitung
Als kleiner Tipp:
Wenn Du ein Referat halten musst, kannst Du ja, um das ganze etwas aufzulockern, vor der Beweisführung Deine Mitschüler einfach mal eine Funktion nach der Kettenregel ableiten lassen!
Beweis der Kettenregel
Bei jeder elementaren Ableitungsregel kommt der Differenzquotient (Ist Dir die Definition des Differenzquotient ein Begriff?) zur Anwendung, dessen Grenzwert für h gegen Null die Ableitung ergibt:
[mm] $\bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] = [mm] \bruch{u(z_1)-u(z)}{h}$
[/mm]
mit [mm] $z_1=v(x+h)$ [/mm] und $z=v(x)$
Jetzt müssen wir erweitern:
[mm] $\bruch{u(z_1)-u(z)}{h}$
[/mm]
erweitern mit [mm] $(z_1-z)$
[/mm]
[mm] $=\bruch{[u(z_1)-u(z)]*(z_1-z)}{h*(z_1-z)}$
[/mm]
[mm] $\Delta z=(z_1-z)=v(x+h)-v(x)$
[/mm]
[mm] $=\bruch{[u(z_1)-u(z)]*[v(x+h)-v(x)]}{\Delta z*h}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{u(z_1)-u(z)}{\Delta z}*\bruch{v(x+h)-v(x)}{h}$
[/mm]
- nun haben 2 Differenzquotienten
- Definition des Differenzquotienten besagt, dass h eine Differenz in x ist
- hier haben wir dazu analog im Nenner des linken Bruchs eine Differenz in z vorliegen
Jetzt wird's etwas kompliziert:
- Der Minuend im Zähler des linken Bruchs strebt gegen den Subtrahenden, wenn h beliebig klein wird (siehe auch: Definition des Differenzquotienten)
Jetzt müssen wir im letzten Schritt noch die Grenzwerte bilden:
[mm] $\limes_{h \to 0}\bruch{u(z_1)-u(z)}{\Delta z}*\bruch{v(x+h)-v(x)}{h}$
[/mm]
Stichwort: Grenzwertsatz
[mm] $=\limes_{h \to 0}\bruch{u(z_1)-u(z)}{\Delta z}*\limes_{h\to0}\bruch{v(x+h)-v(x)}{h}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{\Delta z \to 0}\bruch{u(z_1)-u(z)}{\Delta z}*\limes_{h\to0}\bruch{v(x+h)-v(x)}{h}$
[/mm]
Stichwort: Grenzwerte bilden
$=u'(z)*v'(x)$
- für h gegen 0 strebt auch v(x+h) gegen v(x) und damit also [mm] $z_1$ [/mm] gegen $z$ bzw. [mm] $\Delta [/mm] z$ gegen Null
- Fertig ist der Beweis!!!!
Ist Dir das einigermaßen klar?
Wenn nein, frage bitte auf jeden Fall nach, ich weiß jetzt eben bloß nicht, was ich schon voraussetzen kann und was nicht. Ich erkläre Dir selbstverständlich die Schritte, die Du nicht verstehst, überhaupt kein Problem, okay?
Ich habe den Beweis anhand meiner Matheunterlagen zusammengeschrieben, außerdem kann es gut möglich sein, dass mir jetzt hier beim Abtippen (oder auch generell) der ein oder andere Fehler unterlaufen ist.
Des Weiteren kann man wohl auch mit der Leibniz'schen Schreibweise den gleichen Beweis auf einfacherere Art und Weise lösen. Ich bekomme das aber nicht mehr auf die Reihe, vielleicht weiß das jemand anderes hier.
Hoffe Dir erst einmal weitergeholfen zu haben,
liebe Grüße
Eva
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Fr 25.01.2008 | | Autor: | Elfi89 |
Hallo..
ich habe eine Bitte an dich. könntest du mir vllt. den Beweis für die Kettenregel von Anfang an erklären. Aber so erklären, damit auch die "doofen" wie ich das auch verstehen. Bin sehr am verzweifeln :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 Fr 25.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich habe mir den Beweis oben nicht durchgelesen, aber ich glaube, dass ich ihn so ähnlich damals in meinem Schulbuch gesehen habe. Wenn ich mich recht erinnere, kann man da aber an einer Stelle einen Einwand erheben, wobei ich mich da aber auch täuschen kann, da es zum einen zu lange her ist, und zum anderen ich den Beweis von oben nicht nachvollzogen habe.
Es geht jedenfalls auch über einen Weg, der sich verallgemeinern läßt, mittels der sogenannten Zerlegungsformel. Diesen Beweis findest Du hier:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
Satz 13.7
> ich habe eine Bitte an dich. könntest du mir vllt. den
> Beweis für die Kettenregel von Anfang an erklären. Aber so
> erklären, damit auch die "doofen" wie ich das auch
> verstehen. Bin sehr am verzweifeln :(
Nun, Dir bleiben zwei Möglichkeiten:
Schau' Dir den Beweis im Skript an, und versuche, herauszufinden, welches Grundwissen Du dort benötigst, um den Beweis dort detailliert zu verstehen. Das ist die arbeitsintensive, Du wirst dabei sehr viel lernen (und zu lernen haben), der Nachteil ist, Du wirst vermutlich viel Zeit investieren müssen.
Deshalb die zweite und naheliegende Möglichkeit:
Schau' Dir die obige Rechnung, den obigen Beweis, an. Markiere Dir alle unklaren Stellen und frage an genau diesen Stellen nach, indem Du zudem erklärst, was Du nicht verstehst und vielleicht auch, warum Du etwas nicht verstehst. Denn dass Du das alles nicht verstehst, glaube ich Dir nicht:
> Jetzt müssen wir erweitern:
> $ [mm] \bruch{u(z_1)-u(z)}{h} [/mm] $
> erweitern mit $ [mm] (z_1-z) [/mm] $
> $ [mm] =\bruch{[u(z_1)-u(z)]\cdot{}(z_1-z)}{h\cdot{}(z_1-z)} [/mm] $
Solche Schritte sollten Dir klar sein. Wenn Du konkret nachfragst, bekommst Du auch eine konkrete Antwort, aber eine Eigenleistung Deinerseits muss erkennbar sein. Und wenn Du es erst gar nicht versuchst, zu verstehen, wirst Du auch nicht im Stande sein, es zu verstehen, egal, wie detailliert man diesen Beweis dann durchführt.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:26 Fr 25.01.2008 | | Autor: | guenther |
Es gibt die sogenannte Leibnizsche Schreibweise.
dy/dx = dy/du * du/dv * dv/z * dz/dx usw.
Hierbei kürzen sich die Differentialquotienten heraus, bevor man gegen Null geht.
Bildlich für Deinen Vortrag:
Mit jedem Differentialqiotienten öffnest Du einen Mantel, um in das Innere vorzudringen, so öffnet man Mantel für Mantel. Ist das nicht hübsch?
guenther
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:33 Fr 25.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es gibt die sogenannte Leibnizsche Schreibweise.
>
> dy/dx = dy/du * du/dv * dv/z * dz/dx usw.
>
> Hierbei kürzen sich die Differentialquotienten heraus,
> bevor man gegen Null geht.
>
> Bildlich für Deinen Vortrag:
>
> Mit jedem Differentialqiotienten öffnest Du einen Mantel,
> um in das Innere vorzudringen, so öffnet man Mantel für
> Mantel. Ist das nicht hübsch?
>
> guenther
dazu sei angemerkt, dass diese "Schreibweise" kein Beweis im eigentlichen Sinne ist. Es ist eher so, dass erst der (obige) Beweis (oder der im Skript) der Kettenregel dieses symbolische "Kürzen" bzw. "Erweitern" rechtfertigt.
Man könnte z.B. sagen, dass wir uns damit intuitiv die Formel für die Kettenregel überlegen wollen, wie sie denn "naiv hergeleitet" aussehen könnte. Der Beweis der Kettenregel - z.B. mittels der Zerlegungsformel - ist dadurch keineswegs ersetzt. Erst, wenn der Beweis erbracht wurde (eben z.B. mittels der Zerlegungsformel), dürfen wir, unter geeigneten Voraussetzungen, die "Rechenregeln mit der Leibnizschen Schreibweise" benützen. Vorher ist das ganze mehr so zu verstehen, dass man es als "Eselsbrücke" benutzen kann, um die Formel für die Kettenregel herzuleiten, wenn man sie denn Mal vergessen hat.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:39 Fr 25.01.2008 | | Autor: | guenther |
ich meinte nur, daß dies den Vortrag auflockert und Schüler, die damit nix anzufangen wissen, eine Vorstellugn bekommen, einverstanden: Für Mathematiker primitiv
lg, guenther
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:47 Fr 25.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Günther,
nein, das ist keineswegs primitiv. Die Schreibweise vielleicht, aber das schöne ist doch eigentlich, dass man sie rechtfertigen kann.
Ich wollte nur darauf aufmerksam machen, dass man den Beweis der Kettenregel nicht mittels dieser einfachen Methode des "Erweiterns" erbringen kann.
Man kann dies als Motivation - oder wie gesagt: als Eselsbrücke - benützen, es ersetzt aber nicht den formalen Beweis.
Das schöne an der Sache ist einfach, dass man, wenn man den formalen Beweis der Kettenregel erbracht und damit die Kettenregel zur Verfügung hat, ja eben so "naiv" mit der Leibnizschen Symbolik rechnen darf
Also:
Als Motivation ist diese Idee super!
Aber: Sie ist KEIN Beweis!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:57 Fr 25.01.2008 | | Autor: | guenther |
Lieber Marcel,
ich bin ein alter Physiker (Neutronenphysik).
Eure Mathematik ist ungeheuerlich, wenn es um Differentialquotienten geht, die in der Physik nicht Null sind, in der Physik rechnet man mit Differentialquotienten, die verschieden von Null sind, das mag für Euch ungeheurlich sein, trotzdem bewundere ich Euch ob dieser Konsequenz
lg, guenther
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:31 So 27.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Lieber Günther,
nein, ich finde das nicht ungeheuerlich. In der Physik scheint es zwar manchmal so, als dass man es sich "zu einfach" macht, weil man vielleicht einfach mal so ein wenig rechnet, ohne genau auf die Voraussetzungen zu achten etc., aber zum einen entdeckt man ja gerade dadurch viele neue Sachen und zum anderen sind meistens die Rahmenbedingungen dann doch wieder anders.
Zum Beispiel mit der Kettenregel:
Leibniz hat - glaube ich - mit dieser Notation die Kettenregel meiner Ansicht nach sehr plausibel gemacht, es wurde damit gerechnet etc., es findet Anwendung. In der Mathematik achtet man halt wirklich genau auf alle Voraussetzungen etc., weil man sonst auch manch "Unsinn" beweisen könnte, der aus einer Falschaussage resultierte. In diesem Sinne finde ich es sogar immer wieder erstaunlich, wie aus "ungeheuerlichen" Vorgehensweisen wunderbare Ergebnisse gewonnen werden, die die Theorie bereichern. Ich finde eigentlich, dass die Mathematik und Physik da gut zusammenarbeiten. Mathematiker sind halt einfach nur penibler, damit die gesammte gewonnene Theorie nicht einmal wegen einer Unachtsamkeit zu einem Scherbenhaufen zusammenbricht.
Und wie gesagt:
Die Leibnizsche Notation ist ja nun wirklich einprägsam, und dieses "symbolische Kürzen bzw. Erweitern" ist durch den Beweis der Kettenregel dann auch gerechtfertigt. Und in der Physik macht man halt, denke ich, an einigen Stellen einfach ähnliches. Aber eben auch dadurch gewinnt man doch sehr viele neue Erkenntnisse.
Aber egal, das ganze wird nun doch ein wenig "Off-Topic" 
Gruß,
Marcel
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