Kettenregel < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Madila |
Hallo! Wir hatten neulich in der Mathestunde eine Funktion: [mm] f(x)=e^{-x²}
[/mm]
Diese Funktion sollten wir ableiten und zwar mit der Kettenregel! Ich weiß jetzt nur nicht, ob dass hier genauso geht, wie bei [mm] g(x)=e^x, [/mm] weil [mm] g'(x)=e^x! [/mm] Das ist bei dieser e-Zahl ja so, aber bei der Kettenregel muss man ja innen und außen ableiten, wenn ich dass -x² ableite kommt da ja -2x raus. dann hätten wir ja schon f'(x)=-2x, aber wie gehts es dann weiter?Ich dachte eig., dass ich die kettenregel verstanden hatte, aber bei diesem Beispiel?!!?
Bitte helft mit, schreiben morgen die Arbeit,...=(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
> Hallo! Wir hatten neulich in der Mathestunde eine Funktion:
> [mm]f(x)=e^{-x^2}[/mm]
> Diese Funktion sollten wir ableiten und zwar mit der
> Kettenregel! Ich weiß jetzt nur nicht, ob dass hier
> genauso geht, wie bei [mm]g(x)=e^x,[/mm] weil [mm]g'(x)=e^x\ ![/mm] Das ist bei
> dieser e-Zahl ja so, aber bei der Kettenregel muss man ja
> innen und außen ableiten, wenn ich dass -x² ableite kommt
> da ja -2x raus. dann hätten wir ja schon f'(x)=-2x, aber
> wie gehts es dann weiter?
Hallo Madila,
Nun müssen die äussere und die innere Ableitung
miteinander multipliziert werden, also hast du dann
$\ f'(x)\ =\ [mm] e^{-x^2}*(-2x)\ [/mm] =\ [mm] -2\,x\,e^{-x^2}$
[/mm]
Mit den Hilfsbezeichnungen $u(x)$ für die "innere Funktion"
und $v(u)$ für die "äußere Funktion" kann man das Ganze
im vorliegenden Beispiel so schreiben:
[mm] f(x)=e^{-x^2}=v(u(x)) [/mm] wobei [mm] u(x)=-x^2 [/mm] und [mm] v(u)=e^{u}
[/mm]
innere Ableitung: $\ u'(x)=-2x$
äußere Ableitung: $\ [mm] v'(u)=e^{u}$
[/mm]
Ableitung von $f(x)$: $\ f'(x)=u'(x)*v'(u)\ =\ [mm] -2\,x\,e^{-x^2}$
[/mm]
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Madila |
Okay, danke!Dann war meine Überlegung also richtig, dass die Ableitung von [mm] f(x)=e^{-x²} f'(x)=e^{-x²} [/mm] ist und dass war dann die aüßere abl. und die inner setzt man dann abeleitet einfach davor?!
Danke nochmal=)
|
|
|
| |
|
Hallo Madila,
> Okay, danke!Dann war meine Überlegung also richtig, dass
> die Ableitung von [mm]f(x)=e^{-x²} f'(x)=e^{-x²}[/mm] ist
Nein, das ist nur die äußere Ableitung
> und dass
> war dann die aüßere abl. und die inner setzt man dann
> abeleitet einfach davor?!
Ja, die innere Ableitung wird mit der äußeren multipliziert!
Mit [mm] $f(x)=e^{-x}$ [/mm] ist also [mm] $f'(x)=\underbrace{e^{-x}}_{\text{äußere Abl.}} [/mm] \ [mm] \cdot{} [/mm] \ [mm] \underbrace{(-1)}_{\text{innere Abl.}}$
[/mm]
[mm] $=-e^{-x}$
[/mm]
>
> Danke nochmal=)
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Madila |
Okay, danke!Ich hab das jetzt nochmal neu aufgeschrieben! Könnt ihr bitte einmal einen Blick drauf werfen?!DANKE=)
f(x)=e^-x²
f(x)=u(v(x)) u(v(x))=e^-x² v(x)=-x²
f'(x)=u'(v(x))*v'(x) u'(v(x))=e^-x² v'(x)=-2x
f'(x)=e^-x² * -2x
f'(x)=2xe^-x²
Ist dass richtig?!
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Okay, danke!Ich hab das jetzt nochmal neu aufgeschrieben!
> Könnt ihr bitte einmal einen Blick drauf werfen?!DANKE=)
>
> f(x)=e^-x²
> f(x)=u(v(x)) u(v(x))=e^-x² v(x)=-x²
> f'(x)=u'(v(x))*v'(x) u'(v(x))=e^-x² v'(x)=-2x
>
> f'(x)=e^-x² * [mm] \red{(}-2x\red{)} [/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> f'(x)=2xe^-x²
Ups, hier ist dir beim Abschreiben ein Minuszeichen abhanden gekommen ...
>
> Ist dass richtig?!
Ja, bis auf einen Verschreiber, du hast das Prinzip verstanden!
Versuche dich mal zur Festigung an der Ableitung von [mm] $f(x)=\left[\sin(x)\right]^3$ [/mm] ...
Liebe Grüße
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:59 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Madila |
Ich versuchs=) und danke=)
f(x)=(sin(x))³ u(v(x))=(sin(x))³ v(x)=sin (x)
f'(x)= 3(sin(x))²*cos(x) u'(v(x))= 3(sin(x))² v'(x)=cos(x)
Und??=)
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Ich versuchs=) und danke=)
>
> f(x)=(sin(x))³ u(v(x))=(sin(x))³ v(x)=sin (x)
u'(v(x))= 3(sin(x))²
> v'(x)=cos(x)
> f'(x)= 3(sin(x))²*cos(x) ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
>
> Und??=)
Perfekt!
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Mo 07.09.2009 | | Autor: | Madila |
Hallo=)
Jetzt sollen wir für [mm] f'(x)=2xe^{-x²} [/mm] mit der Produktregel die f''(X) und f'''(x) bilden!! Wie funktioniert dass??Ich versteh die Produktregel nicht=(
Arbeit war übrigens gut 13 Pkt.=)
Lieben Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo Madila,
> Hallo=)
> Jetzt sollen wir für [mm]f'(x)=2xe^{-x²}[/mm] mit der
> Produktregel die f''(X) und f'''(x) bilden!! Wie
> funktioniert dass??Ich versteh die Produktregel nicht=(
Schreibe die erste Ableitung als Produkt:
[mm]f'\left(x\right)=u\left(x\right)*v\left(x\right)[/mm]
mit
[mm]u\left(x\right)=2x, \ v\left(x\right)=e^{-x^{2}}[/mm]
Daraus ergibt sich dann:
[mm]f''\left(x\right)=\left(u*v\right)'=u'*v+u*v'=\left(2x\right)'*e^{-x^{2}}+2x*\left(e^{-x^{2}}\right)'[/mm]
Die dritte Ableitung funktioniert genauso, hier hast Du aber zwei Summanden.
Für jeden dieser Summanden ist die Produktregel anzuwenden.
>
> Arbeit war übrigens gut 13 Pkt.=)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Lieben Gruß
Gruss
MathePower
|
|
|
|
