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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Kettenregel
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Kettenregel: Ansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:06 Mi 26.05.2010
Autor: monstre123

Aufgabe
(a) Sei [mm] f:\IR^{3}\to\IR, f(x,y,z)=e^{z}y+x^{2}y^{2} [/mm] und [mm] g:\IR\to\IR^{3}, g(t)=(2t^{2},sint,e^{t}). [/mm] Berechnen Sie die Ableitung von [mm] f\circ [/mm] g auf zwei verschiedene Arten:
i. Direkt durch Berechnung von h(t) = f(g(t)) und Differenzieren von h.
ii. Durch Anwenden der Kettenregel.




(b) Betrachten Sie die Abbildung [mm] h:\IR^{n}\backslash\{0\}\to\IR, h(x_{1},x_{2},...,x_{n}=\bruch{1}{\wurzel{\summe_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}} [/mm]
Berechnen Sie den Gradienten von h, in dem Sie h darstellen als Verkettung von Funktionen, deren Ableitung Sie bereits kennen.

Hi,

ich habe hier irgendwie keine Ahnung, womit ich anfangen soll .(

wie leite ich die funktion ab?  was muss ich beachten?


Danke im Vorraus.

        
Bezug
Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:16 Mi 26.05.2010
Autor: MathePower

Hallo monstre123,

> (a) Sei [mm]f:\IR^{3}\to\IR, f(x,y,z)=e^{z}y+x^{2}y^{2}[/mm] und
> [mm]g:\IR\to\IR^{3}, g(t)=(2t^{2},sint,e^{t}).[/mm] Berechnen Sie
> die Ableitung von [mm]f\circ[/mm] g auf zwei verschiedene Arten:
>  i. Direkt durch Berechnung von h(t) = f(g(t)) und
> Differenzieren von h.
>  ii. Durch Anwenden der Kettenregel.
>  
>
>
>
> (b) Betrachten Sie die Abbildung
> [mm]h:\IR^{n}\backslash\{0\}\to\IR, h(x_{1},x_{2},...,x_{n}=\bruch{1}{\wurzel{\summe_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}[/mm]
>  
> Berechnen Sie den Gradienten von h, in dem Sie h darstellen
> als Verkettung von Funktionen, deren Ableitung Sie bereits
> kennen.
>  Hi,
>  
> ich habe hier irgendwie keine Ahnung, womit ich anfangen
> soll .(


Beginne mit i. von a)

Setze hier die Funktion g direkt in  die Funktion f ein
und differenziere dann nach t.


>  
> wie leite ich die funktion ab?  was muss ich beachten?
>  


Beachten mußt Du nur, daß

[mm]g\left(t\right)=\pmat{x\left(t\right) \\ y\left(t\right) \\ z\left(t\right)}[/mm]


>
> Danke im Vorraus.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Kettenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:17 So 30.05.2010
Autor: monstre123

Moin,moin,

so hier die Lösungen zur a)--> i) :

[mm] f:\IR^{3}\to\IR [/mm] , [mm] f(x,y,z)=e^{z}y+x^{2}y^{2} [/mm]

[mm] g:\IR\to\IR^{3}, g(t)=(2t^{2},sint,e^{t}) [/mm]


[mm] h(t)=f(g(t))=e^{e^{t}}*sin(t)+2t{2}*sin(t) [/mm]

[mm] h'(t)=(e^{e^{t}}*sin(t)+e^{e^{t}}*cos(t))+(4t*sin(t)+2t^{2}*cos(t)) [/mm]

    [mm] =e^{e^{t}}(sin(t)+cos(t))+2t [/mm] (2*sin(t)+tcos(t))


richtig?


zur ii) wie soll ich das mit der kettenregel ableiten? soll ich jeweils für f und g die kettenregel anwenden und die ergebnisse addieren?

thx

Bezug
                        
Bezug
Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:50 So 30.05.2010
Autor: MathePower

Hallo monstre123,

> Moin,moin,
>  
> so hier die Lösungen zur a)--> i) :
>  
> [mm]f:\IR^{3}\to\IR[/mm] , [mm]f(x,y,z)=e^{z}y+x^{2}y^{2}[/mm]
>  
> [mm]g:\IR\to\IR^{3}, g(t)=(2t^{2},sint,e^{t})[/mm]
>  
>
> [mm]h(t)=f(g(t))=e^{e^{t}}*sin(t)+2t{2}*sin(t)[/mm]


Das muss doch so lauten:

[mm]h(t)=f(g(t))=e^{e^{t}}*sin(t)+\red{\left(2t^{2}\right)^{2}*sin^{2}(t)}[/mm]


>  
> [mm]h'(t)=(e^{e^{t}}*sin(t)+e^{e^{t}}*cos(t))+(4t*sin(t)+2t^{2}*cos(t))[/mm]
>  
> [mm]=e^{e^{t}}(sin(t)+cos(t))+2t[/mm] (2*sin(t)+tcos(t))
>  


Die Ableitung des ersten Summanden stimmt nicht.


Für [mm]e^{e^{t}}[/mm] mußt Du die Kettenregel anwenden.


>
> richtig?
>  
>
> zur ii) wie soll ich das mit der kettenregel ableiten? soll
> ich jeweils für f und g die kettenregel anwenden und die
> ergebnisse addieren?


Siehe hier: Kettenregel


>  
> thx


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Kettenregel: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:21 Mo 31.05.2010
Autor: monstre123


> Das muss doch so lauten:
>  
> [mm]h(t)=f(g(t))=e^{e^{t}}*sin(t)+\red{\left(2t^{2}\right)^{2}*sin^{2}(t)}[/mm]
>  
>

Klar, sry hatte die hoch 2 vergessen :P



>
> Die Ableitung des ersten Summanden stimmt nicht.
>  
>
> Für [mm]e^{e^{t}}[/mm] mußt Du die Kettenregel anwenden.
>  


Habe die hier Kettenregel angewandt:

innere Ableitung: [mm] r(x)=e^{t} [/mm] --> [mm] r'(x)e^{t} [/mm]

äußere Ableitung: [mm] s(x)=e^{(...)} [/mm] --> [mm] s'(x)=e^{(...)} [/mm]

insgesamt: [mm] t(x)=e^{e^{t}} [/mm] --> [mm] t'(x)=e^{e^{t}} [/mm]




> >
> > zur ii) wie soll ich das mit der kettenregel ableiten? soll
> > ich jeweils für f und g die kettenregel anwenden und die
> > ergebnisse addieren?
>  
>
> Siehe hier:
> Kettenregel
>  


Ich weiß wie die Kettenregel angewendet wird^^ aber auf welche funktion soll ich sie anwenden?



Zusatz: Was soll ich bei der b) machen ?


Vielen Dank.

Gruss Monstre


Bezug
                                        
Bezug
Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:32 Mo 31.05.2010
Autor: MathePower

Hallo monstre123,

>
> > Das muss doch so lauten:
>  >  
> >
> [mm]h(t)=f(g(t))=e^{e^{t}}*sin(t)+\red{\left(2t^{2}\right)^{2}*sin^{2}(t)}[/mm]
>  >  
> >
>
> Klar, sry hatte die hoch 2 vergessen :P
>  
>
>
> >
> > Die Ableitung des ersten Summanden stimmt nicht.
>  >  
> >
> > Für [mm]e^{e^{t}}[/mm] mußt Du die Kettenregel anwenden.
>  >  
>
>
> Habe die hier Kettenregel angewandt:
>
> innere Ableitung: [mm]r(x)=e^{t}[/mm] --> [mm]r'(x)e^{t}[/mm]
>  
> äußere Ableitung: [mm]s(x)=e^{(...)}[/mm] --> [mm]s'(x)=e^{(...)}[/mm]
>  
> insgesamt: [mm]t(x)=e^{e^{t}}[/mm] --> [mm]t'(x)=e^{e^{t}}[/mm]
>  


Hier hast Du die innere Ableitung von [mm]e^{e^{t}}[/mm] vergessen.


>
>
> > >
> > > zur ii) wie soll ich das mit der kettenregel ableiten? soll
> > > ich jeweils für f und g die kettenregel anwenden und die
> > > ergebnisse addieren?
>  >  
> >
> > Siehe hier:
> > Kettenregel
>  >  
>
>
> Ich weiß wie die Kettenregel angewendet wird^^ aber auf
> welche funktion soll ich sie anwenden?
>  


Nun, auf die verkettete Funktion f (g(t) ).


>
>
> Zusatz: Was soll ich bei der b) machen ?
>  


h zunächst als Verkettete Funktion schreiben.


>
> Vielen Dank.
>  
> Gruss Monstre
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Kettenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:57 Mo 31.05.2010
Autor: monstre123


> > Habe die hier Kettenregel angewandt:
> >
> > innere Ableitung: [mm]r(x)=e^{t}[/mm] --> [mm]r'(x)e^{t}[/mm]
>  >  
> > äußere Ableitung: [mm]s(x)=e^{(...)}[/mm] --> [mm]s'(x)=e^{(...)}[/mm]
>  >  
> > insgesamt: [mm]t(x)=e^{e^{t}}[/mm] --> [mm]t'(x)=e^{e^{t}}[/mm]
>  >  
>
>
> Hier hast Du die innere Ableitung von [mm]e^{e^{t}}[/mm] vergessen.



Ach jetzt verstehe ich was du gemeint hast :):

[mm] t(x)=e^{e^{t}} [/mm] --> [mm] t(x)=e^{e^{t}}*e^{t} [/mm]



> > Zusatz: Was soll ich bei der b) machen ?
>  >  
>
>
> h zunächst als Verkettete Funktion schreiben.

  

Bringt mich ehrlich gesagt irgendwie nicht weiter :(
ich habe zwar h gegeben, aber wie soll ich da an der allgemeinen Form verketten?  

[mm] h(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\bruch{1}{\wurzel{\summe_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}=\bruch{1}{\wurzel{x_{1}^{2}}}+\bruch{1}{\wurzel{x_{2}^{2}}}+...+\bruch{1}{\wurzel{x_{n}^{2}}} [/mm]



gruss
monstre


Bezug
                                                        
Bezug
Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:15 Mo 31.05.2010
Autor: MathePower

Hallo monstre123,

>
> > > Zusatz: Was soll ich bei der b) machen ?
>  >  >  
> >
> >
> > h zunächst als Verkettete Funktion schreiben.
>    
>
> Bringt mich ehrlich gesagt irgendwie nicht weiter :(
>  ich habe zwar h gegeben, aber wie soll ich da an der
> allgemeinen Form verketten?  
>
> [mm]h(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\bruch{1}{\wurzel{\summe_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}=\bruch{1}{\wurzel{x_{1}^{2}}}+\bruch{1}{\wurzel{x_{2}^{2}}}+...+\bruch{1}{\wurzel{x_{n}^{2}}}[/mm]


Das kannst Du nicht so schreiben.


Zum Beispiel:

[mm]h\left(u\right)=\bruch{1}{u}[/mm]

[mm]u\left(v\right)=\wurzel{v}[/mm]

[mm]v\left(x_{1}, \ ... \ , \ x_{n}\right)=\summe_{i=1}^{n}x_{i}^{2}[/mm]


>  
>
>
> gruss
>  monstre
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Kettenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:42 Mo 31.05.2010
Autor: monstre123

abend,


also ich habe zwar die funktion [mm] h(t)=f(g(t))=e^{e^{t}}*sin(t)+(2t^{2})^{2}*sin^{2}(t) [/mm]  und habe sie schon differenziert, aber was meinen die mit der Kettenregel? ich musste doch teilweise die kettenregel anwenden z.B. beim Term [mm] e^{e^{t}}? [/mm] was soll ich dieser aufgabe tun?


danke im vorraus.

Bezug
                                                        
Bezug
Kettenregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:43 Mo 31.05.2010
Autor: monstre123

das ist bezogen auf die a,ii), hatte ich vergessen zu erwähnen :P

Bezug
                                                                
Bezug
Kettenregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:40 Di 01.06.2010
Autor: leduart

Hallo
du sollst die Kettenregel für f(g) anwenden, wenn du sie innerhalb g oder f noch mal für einzelne Terme brauchst ist as eben so.
Gruss leduart

Bezug
        
Bezug
Kettenregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:41 So 30.05.2010
Autor: monstre123

was muss man bei der machen?  

Bezug
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