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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 So 03.07.2005 | | Autor: | Andi |
Hallo liebe Matheräumler,
ich bin gerade über folgender Aufgabe:
Sei [mm]f: \IR^n \to \IR [/mm] 2-mal stetig differenzierbar und mit einem [mm] \alpha \ge 2 [/mm] gelte:
[mm]f(\lambda x)=\lambda^{\alpha}f(x) , \forall x \in \IR, \forall \lambda > 0 [/mm]
Zeigen Sie:
[mm] \summe_{i,k=1}^{n}( \partial_i \partial_k f)(x)x_i x_k = \alpha (\alpha-1)f(x) [/mm]
Die rechte Seite der Gleichheit schaut so aus als hätte ich die Funktion [mm] g(\lambda)=\lambda^{\alpha}f(x)[/mm] zweimal nach Lambda abgeleitet. Und auf die linke Seite könnte ich kommen wenn ich die Funktion [mm]f(\lambda x)=\lambda^{\alpha}f(x)[/mm] zweimal mit der Kettenregel ableite, wobei ich hier noch sehr starke rechentechnische Schwierigkeiten habe.
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand vielleicht einen kleinen Tipp geben könnte (es darf auch ein größerer sein *g*).
Und bei der Kettenregel brauche ich noch Hilfe, vielleicht wäre auch ein kleines Beispiel nicht unnütz.
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:01 So 03.07.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Andi
keine Angst, ich kann die Aufgabe auch noch nicht lösen. 
Ich habe nur eine frage, ob du sie richtig abgetippt hast.
>
> Sei [mm]f: \IR^n \to \IR[/mm] 2-mal stetig differenzierbar und mit
> einem [mm]\alpha \ge 2[/mm] gelte:
> [mm]f(\lambda x)=\lambda^{\alpha}f(x) , \forall x \in \IR, \forall \lambda > 0[/mm]
>
> Zeigen Sie:
> [mm]\summe_{i,k=1}^{n}( \partial_i \partial_k f)(x)x_i x_k = \alpha (\alpha-1)f(x)[/mm]
>
> Die rechte Seite der Gleichheit schaut so aus als hätte ich
> die Funktion [mm]g(\lambda)=\lambda^{\alpha}f(x)[/mm] zweimal nach
> Lambda abgeleitet.
Müsste es dann rechts nicht eher so heissen?:
[mm] $\alpha (\alpha-1) \lambda^{\alpha-2}f(x)$
[/mm]
Noch eine kleine Anmerkung:
Mit Hilfe der Hessematrix (sie ist in diesem Falle symmetrisch) kannst du deine Summe auch so schreiben:
[mm] $x^T [/mm] H x$
Es gilt auch:
[mm] $(\lambda x)^T [/mm] H [mm] (\lambda x)=\lambda^2*x^T [/mm] H x$
Ich weiss nicht, ob das etwas nützt. Who knows?
Mit vielen Grüssen
Paul
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 So 03.07.2005 | | Autor: | leduart |
> Sei [mm]f: \IR^n \to \IR[/mm] 2-mal stetig differenzierbar und mit
> einem [mm]\alpha \ge 2[/mm] gelte:
> [mm]f(\lambda x)=\lambda^{\alpha}f(x) , \forall x \in \IR, \forall \lambda > 0[/mm]
>
> Zeigen Sie:
> [mm]\summe_{i,k=1}^{n}( \partial_i \partial_k f)(x)x_i x_k = \alpha (\alpha-1)f(x)[/mm]
>
> Die rechte Seite der Gleichheit schaut so aus als hätte ich
> die Funktion [mm]g(\lambda)=\lambda^{\alpha}f(x)[/mm] zweimal nach
> Lambda abgeleitet. Und auf die linke Seite könnte ich
> kommen wenn ich die Funktion [mm]f(\lambda x)=\lambda^{\alpha}f(x)[/mm]
> zweimal mit der Kettenregel ableite, wobei ich hier noch
> sehr starke rechentechnische Schwierigkeiten habe.
Ich glaub mit Kettenregel hat das wenigewr zu tun als mit der Def. von [mm] (\partial_xi [/mm] )
nämlich [mm] \limes_{h\rightarrow\0}\bruch{ f(..xi+h..)-f(..xi..)}{h}.
[/mm]
jetzt xi+h=xi(1+h/xi) und [mm] f(..xi+h..)=(1+h/xi)^{\alpha}*f(...xi...) [/mm] das für die ersten 2 oder 3 Glieder ausrechnen,der Rest verschwindet mit h gegen 0 und dann hast du den ersten Schritt!
(nach [mm] \lambda [/mm] differenzieren ist sicher keine gute Idee! denn das ist ja ne feste Zahl!)
Ich hoff der Tip reicht als Andeutung und du kannst weiter machen
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 So 03.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Andi!
Die Aufgabe geht genau so, wie du es vorhattest. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Einmaliges Ableiten nach [mm] $\lambda$ [/mm] auf beiden Seiten der Gleichung liefert mit Hilfe der Kettenregel:
[mm] $\sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(\lambda [/mm] x) [mm] \cdot x_i [/mm] = [mm] \alpha \cdot \lambda^{\alpha-1} \cdot [/mm] f(x)$.
Erneutes Ableiten nach [mm] $\lambda$ [/mm] liefert wiederum mit der Kettenregel:
[mm] $\sum\limits_{j=1}^n \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(\lambda [/mm] x) [mm] \cdot x_i \cdot x_j [/mm] = [mm] \alpha(\alpha-1) \cdot \lambda^{\alpha-2} \cdot [/mm] f(x)$.
Setzt man nun [mm] $\lambda=1$, [/mm] so folgt die Behauptung.
Zur Kettenregel:
Hier hat man eine Verkettung
[mm] $\begin{array}{ccccc} \IR^+ & \to & \IR^n & \to & \IR \\ \lambda & \mapsto & \lambda \cdot x & \mapsto & f(\lambda \cdot x) \end{array}$.
[/mm]
Nennen wir die erste Funktion $g$ und die zweite Funktion $f$, so ist $f [mm] \circ g:\IR^+ \to \IR$. [/mm] Nach der Kettenregel gilt nun für [mm] $\lambda>0$:
[/mm]
$(f [mm] \circ g)'(\lambda) [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(g(\lambda)) \cdot \frac{\partial g_i}{\partial \lambda}(\lambda)$
[/mm]
mit
[mm] $g_i [/mm] : [mm] \begin{array}{ccc} \IR^+ & \to & \IR \\[5pt] \lambda & \mapsto & \lambda\cdot x_i \end{array}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:45 So 03.07.2005 | | Autor: | Andi |
Lieber Stefan,
vielen Dank für deine Antwort. So hab ich es mir vorgestellt  .
Liebe Grüße,
Andi
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