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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:49 Mo 04.06.2012 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | Es sei $p$ die wie folgt definierte Abbildung
[mm] $p\colon (0,\infty)\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2, \quad p\begin{pmatrix}r\\ \phi\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\phi\\ r\sin\phi\end{pmatrix}.$ [/mm]
Des Weiteren sei [mm] $u\colon U\to\mathbb{R}^2$ [/mm] eine auf der offenen Menge [mm] $U\subseteq\mathbb{R}^2$ [/mm] zweimal stetig differenzierbare Funktion.
a) Berechnen Sie die folgenden partiellen Ableitungen auf [mm] $p^{-1}(U)$: [/mm]
i) [mm] $\partial_r(u\circ [/mm] p)$
ii) [mm] $\partial_r^2(u\circ [/mm] p)$
iii) [mm] $\partial_\phi^2(u\circ [/mm] p)$
b) Weisen Sie auf der Menge [mm] $p^{-1}(U)$ [/mm] folgende Identität nach:
[mm] $(\Delta u)\circ p=\partial_r^2(u\circ p)+\frac{1}{r}\partial_r(u\circ p)+\frac{1}{r^2}\partial_\phi^2(u\circ [/mm] p).$ |
Hi, ich brauche mal wieder eure Hilfe, und zwar hapert es bei dieser Aufgabe bei mir schon daran, überhaupt zu erkennen, wie [mm] $u\circ [/mm] p$ auf [mm] $p^{-1}(U)$ [/mm] genau aussieht. Könntet ihr mir da vielleicht auf die Sprünge helfen?
Wenn ich das nicht mal habe, dann kann ich mir ja auch noch keine Gedanken um den Rest machen...
Ist [mm] $(u\circ [/mm] p)$ auf [mm] $p^{-1}(U)$ [/mm] einfach: [mm] $u\circ p\colon (0,\infty)\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad u\begin{pmatrix}r\cos\phi\\ r\sin\phi\end{pmatrix}$? [/mm]
Wie immer bin ich dankbar für alle Tipps!
(Ich befürchte bei dieser einen Frage wird es auch nicht bleiben, die Aufgabe sieht irgendwie nicht besonders nett aus...)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:10 Di 05.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]p[/mm] die wie folgt definierte Abbildung
>
> [mm]p\colon (0,\infty)\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2, \quad p\begin{pmatrix}r\\ \phi\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\phi\\ r\sin\phi\end{pmatrix}.[/mm]
>
> Des Weiteren sei [mm]u\colon U\to\mathbb{R}^2[/mm] eine auf der
> offenen Menge [mm]U\subseteq\mathbb{R}^2[/mm] zweimal stetig
> differenzierbare Funktion.
>
> a) Berechnen Sie die folgenden partiellen Ableitungen auf
> [mm]p^{-1}(U)[/mm]:
>
> i) [mm]\partial_r(u\circ p)[/mm]
>
> ii) [mm]\partial_r^2(u\circ p)[/mm]
>
> iii) [mm]\partial_\phi^2(u\circ p)[/mm]
>
> b) Weisen Sie auf der Menge [mm]p^{-1}(U)[/mm] folgende Identität
> nach:
>
> [mm](\Delta u)\circ p=\partial_r^2(u\circ p)+\frac{1}{r}\partial_r(u\circ p)+\frac{1}{r^2}\partial_\phi^2(u\circ p).[/mm]
>
> Hi, ich brauche mal wieder eure Hilfe, und zwar hapert es
> bei dieser Aufgabe bei mir schon daran, überhaupt zu
> erkennen, wie [mm]u\circ p[/mm] auf [mm]p^{-1}(U)[/mm] genau aussieht.
> Könntet ihr mir da vielleicht auf die Sprünge helfen?
> Wenn ich das nicht mal habe, dann kann ich mir ja auch noch
> keine Gedanken um den Rest machen...
>
> Ist [mm](u\circ p)[/mm] auf [mm]p^{-1}(U)[/mm] einfach: [mm]u\circ p\colon (0,\infty)\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad u\begin{pmatrix}r\cos\phi\\ r\sin\phi\end{pmatrix}[/mm]?
Ja
FRED
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> Wie immer bin ich dankbar für alle Tipps!
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> (Ich befürchte bei dieser einen Frage wird es auch nicht
> bleiben, die Aufgabe sieht irgendwie nicht besonders nett
> aus...)
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> Ja
>
> FRED
Danke Fred,
könntest du mir vielleicht einen Tipp geben, wie man die erste geforderte Ableitung bestimmt?
Es müsste ja auf Folgendes hinauslaufen:
Kettenregel:
[mm] $(f\circ g)(x)=f'\big(g(x)\big)\circ [/mm] g'(x)$, also hier im konkreten Fall:
[mm] $\partial_r(u\circ p)\begin{pmatrix}r\\ \phi\end{pmatrix}=\partial_r u\begin{pmatrix}r\cos\phi\\ r\sin\phi\end{pmatrix}\circ \partial_r p\begin{pmatrix}r\cos\phi\\ r\sin\phi\end{pmatrix}, [/mm]
oder?
Aber irgendwie kann ich damit gerade so gar nichts anfangen. Könntest du mich da vielleicht "in die richtige Richtung lenken"?
Ich habe bis jetzt nur: [mm] $\partial_r p\begin{pmatrix}r\cos\phi\\ r\sin\phi\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\phi\\ \sin\phi\end{pmatrix}$, [/mm] aber das wars dann auch schon. Und wie ich dann das Ganze später verketten soll, weiß ich gerade auch nicht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 07.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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