Kettenregel, Nabla < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:12 Do 05.08.2010 | | Autor: | waruna |
| Aufgabe | Im Skript habe ich gegeben:
[tex]\nabla f(\vec{R}(\vec{r})) = \nabla (\vec{R}(\vec{r}) \bruch{\partial}{\partial\vec{R}})f(\vec{R})[/tex]
mit dem Zusatz, dass R und
[tex] \bruch{\partial}{\partial\vec{R}}[/tex] sind miteinander Skalar veknüpft und R und [tex]\nabla[/tex] dyadisch. |
Warum aber?
Vielleicht wird mir jemand zeigen, wie nutzt man die Kettenregel in Komponentenschreibweise?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:07 Do 05.08.2010 | | Autor: | Kroni |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
wenn wir
$\nabla f(\vec{R}(\vec{r})) $ gegeben haben, dann koennen wir ja $f$ als Funktion von $R_1$, $R_2$, und $R_3$ auffassen, wenn wir im $\mathbbm{R}^3$ leben.
Dann sollte das Ergebnis ja, wenn $f: \mathbbm{R}^3 \rightarrow \mathbbm{R}$ das $\nabla$ auf $f$ angewandt wird, einen Vektor ergeben.
Jetzt gucken wir uns die $j$-te Komponente des Vektors an:
$[\nabla f(R_1(\vec{r}),R_2(\vec{r}),R_3(\vec{r}))]_j = \frac{\partial f}{\partial r_j} = \sum_i \frac{\partial f}{\partial R_i}\frac{\partial R_i}{\partial r_j}$
Das ist dann die Kettenregel, weil man $f$ erst nach den Komponenten von $R$ ableitet, und dann nach $r$. Die Summe kommt daher, weil ja jedes der $R_i$ von $\vec{r}$ abhaengt.
Das kann man nun umschreiben:
$ \frac{\partial f}{\partial r_j} = \left[ \sum_i \frac{\partial R_i}{\partial r_j} \cdot \frac{\partial}{\partial R_i}\right] f$
Und das muesste dann, wenn man das wieder in einen Vektor packen will, dein Ausdruck ergeben, denn das $\frac{\partial}{\partial \vec{R}$ entspricht dann dem $\frac{\partial}{\partial R_i}$ und dem $\frac{\partial R_i}{\partial r_j}$ wohl dem dyadischen Produkt aus $\nabla$ und $\vec{R}$, und wenn man das dann noch skalar mit dem $\frac{\partial}{\partial \vec{R}}$ multipliziert, kommt man in Komponentenschreibweise genau auf das obige.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:24 So 08.08.2010 | | Autor: | waruna |
Danke, schon alles klar :).
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