Kettenregel für Operatoren < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 Mi 19.12.2012 | | Autor: | waruna |
| Aufgabe | | Ich habe folgendes zu berechnen: [mm] \partial_t (O\Psi), [/mm] wobei [mm] \partial_t\Psi=H\Psi. (\Psi [/mm] ist Zustand, O Operator) |
Wie kann ich Kettenregel bei Operatoren Anwenden?
Ist das einfach:
[mm] (\partial_tO)\Psi+O(H\Psi)?
[/mm]
Oder eher [mm] (\partial_tO)\Psi+[O,H]\Psi?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 Mi 19.12.2012 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
was ist denn [mm] $\hat [/mm] O$ fuer ein Operator? Das kommt ja jetzt
darauf an, in welchem Bild du arbeitest.
Ist es das Schroedinger-Bild, dann sind die Operatoren
ja zeitunabhaengig. Die Wellenfunktion selbst ist aber
zeitabhaengig, so dass die Ableitung nach der Zeit dann
nur auf diese wirkt.
Bist du im Heisenberg-Bild unterwegs, dann ist es der Operator,
der zeitabh. ist, die Wellenfkt. aber nicht.
Dann wuerde die Zeitabl. also nur auf den Operator wirken. Und
den kann man dann mit Hilfe der Heisenberg-Bewegungsgl. als
Kommutator mit dem Hamilton-Operator schreiben.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Do 20.12.2012 | | Autor: | waruna |
Ich arbeite im Wechselwirkungsbild, also sowohl Operator, als auch Zustand sind zeitabhängig, das macht also alles schwieriger.
Würde ich in Schrödinger-/Heisenbergbild arbeitern, würde ich aber auch auf gleiches Problem stoßen, wenn Operator bzw. Zustand explizit zeitabhängig sind, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Fr 21.12.2012 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
ja, das stimmt.
OK. Also im Wechselwirkungsbild muss man dann eben nach dem Operator
als auch nach der Wellenfunktion ableiten.
Wenn man sich da nicht ganz sicher ist, wie das geht, kann
man ja die explizite Zeiteintwicklung einsetzten. D.h.
ich schreibe die Zeitentwicklung des Operators als auch
der Wellenfunktion direkt als [mm]e[/mm]-Funktion hin und habe
dann (im Prinzip) nur noch zeitunabh. Operatoren plus
die Zeitentwicklung (vgl. ![[]](/images/popup.gif) hier).
Da gilt ja auch so etwas wie eine Produktregel, als wird sich
das dann auch auf deine Frage uebertragen.
Ja, wenn der Operator selbst explizit zeitabh. ist, dann muss
man eben noch die partielle Ableitung des Operators nach der Zeit
nehmen in der Heisenberg-Bewegungsgl.
Deshalb steht da ja auch so etwas wie
[mm]\dot{\hat a } = \frac{\mathrm i}{\hbar} [\hat H(t) , \hat a(t) ] + \frac{\partial \hat a (t)}{\partial t}[/mm]
und die letzte partielle Zeitableitung schlaegt ja nur
dann zu, wenn [mm] $\hat [/mm] a$ explizit zeitabh. ist.
LG
Kroni
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