Kettenregel (normierte Räume) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich habe in meinem Skript etwas gefunden, womit ich nicht ganz klar komme, es gehört zum Kapitel "Diffbarkeit in normierten Räumen" und soll ein erstes (und einziges) Beispiel zur Kettenregel sein.
Ich verstehe nicht ganz, worauf der Prof hinaus will :-/
Ich meine, es ist erkennbar, dass er "Äußere mal Innere Ableitung" rechnet, aber warum definiert er so abartige Funktionen? Ist das nur auf seinen Geschmack zurückzuführen und etwas Unkompliziertere Funktionen hätten es auch getan oder steckt da mehr dahinter und ich erkenne es nicht?
Würde mich freuen, wenn mir jemand den Sachverhalt kurz erläutern kann!
So, jetzt hoffe ich, dass das mit dem Bild-upload klappt 
-> ich befürchte, es klappt nicht, wenn ich nämlich auf "Bild-Anhang" klicke, kann die Seite nicht angezeigt werden :-( hat jemand einen Tipp?
--> jetzt hat es geklappt, aber erst anschließend, nachdem der Artikel schon da war *mich-wunder*
Liebe Grüße
Mathetiger
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
-> wie oft muss ich das extra dazuschreiben, damit das Absenden funktioniert? ich finde, das ist selbstverständlich!!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:00 Mi 08.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Mathetiger!
> ich habe in meinem Skript etwas gefunden, womit ich nicht
> ganz klar komme, es gehört zum Kapitel "Diffbarkeit in
> normierten Räumen" und soll ein erstes (und einziges)
> Beispiel zur Kettenregel sein.
> Ich verstehe nicht ganz, worauf der Prof hinaus will :-/
Im Moment verstehe ich nicht ganz, worauf du hinaus willst. 
> Ich meine, es ist erkennbar, dass er "Äußere mal Innere
> Ableitung" rechnet, aber warum definiert er so abartige
> Funktionen? Ist das nur auf seinen Geschmack zurückzuführen
> und etwas Unkompliziertere Funktionen hätten es auch getan
> oder steckt da mehr dahinter und ich erkenne es nicht?
So kompliziert finde ich die Funktionen jetzt gar nicht.
> Würde mich freuen, wenn mir jemand den Sachverhalt kurz
> erläutern kann!
Ich werde mich bemühen. Was hier vorliegt, ist eine typische Situation. Man hat eine Fläche oder -wie hier- einen eindimensionalen Weg im einem größeren Raum [mm] $\IR^n$. [/mm] Auf dieser Fläche/diesem Weg will man eine Funktion betrachten und diese differenzieren. Wie kann man das im einfachsten Fall machen? Man definiert sich die Funktion in einer Umgebung der Fläche/des Weges, am besten -wenn das geht- direkt im ganzen [mm] $\IR^n$. [/mm] Dann parametrisiert man die Fläche/den Weg und erhält somit eine Verkettung differenzierbarer Funktionen, die man mit der Kettenregel ableiten kann.
Hier ist das so: Man will auf der Verbindungsstrecke zwischen $a$ und $b$ (beide aus dem [mm] $\IR^n$) [/mm] eine differenzierbare Funktion $f$ betrachten. Es könnte sein, dass $f$ irgendeine physikalische Größe auf diesem Weg "misst". Die Verbindungsstrecke zwischen $a$ und $b$ kann man durch
[mm] $\varphi: \begin{array}{ccc} [0,1] & \to & \IR^n \\[5pt] t & \mapsto & a + t\cdot (b-a) \end{array}$
[/mm]
parametrisieren. Siehst du das? Das ist offenbar eine Strecke. Und wenn man $t=0$ setzt, kommt $a$ heraus, und wenn man $t=1$ setzt, erhält man $b$.
Nun definiert man sich
$g:= f [mm] \circ \varphi$
[/mm]
und leitet mit der Kettenregel ab. Siehst du: [mm] $\varphi$ [/mm] geht von einer Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] in den [mm] $\IR^n$ [/mm] und $f$ vom [mm] $\IR^n$ [/mm] wieder nach [mm] $\IR$. [/mm] Daher geht $g$ insgesamt von einer Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\IR$ [/mm] und ist somit eine harmlose eindimensionale Funktion.
Wie man die Kettenregel technisch durchführt, ist dir klar? D.h. du verstehst die Summe?
> So, jetzt hoffe ich, dass das mit dem Bild-upload klappt
>
> -> ich befürchte, es klappt nicht, wenn ich nämlich auf
> "Bild-Anhang" klicke, kann die Seite nicht angezeigt werden
> :-( hat jemand einen Tipp?
> --> jetzt hat es geklappt, aber erst anschließend, nachdem
> der Artikel schon da war *mich-wunder*
Das ist bewusst so gemacht. Die Bilder werden halt beim Senden hochgeladen. Anschließend kannst du ja dann immer noch deinen Beitrag editieren.
> Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
>
> -> wie oft muss ich das extra dazuschreiben, damit das
> Absenden funktioniert? ich finde, das ist
> selbstverständlich!!
Für dich vielleicht, das ist lobenswert und freut mich. Für viele ist das allerdings nicht selbstverständlich. Da wir uns bei unseren neuen Mitgliedern häufig damit ärgern müssen (denn welcher Hilfsbereite will schon seine Zeit verschwenden, wenn zeitgleich die Frage des Hilfesuchenden fünfmal woanders beantwortet wird und man davon nichts weiß??), mussten wir es leider als Hürde einbauen. Nach ein paar Tagen der Mitgliedschaft brauchst du das nicht mehr zu tun.
Hast du denn jetzt noch Fragen oder ist alles klar?
Liebe Grüße
Stefan
> [Dateianhang nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Hallo!
Erst mal vielen Dank für deine Antwort!!!
Ich finde es wirklich interessant, dass du sagst, das hier sei eine typische Situation, mir ist sonst bisher nirgends eine Funktion auf einer Fläche oder einem Weg begegnet :-(
Wenn wir Funktionen im Mehrdimensionalen betrachtet haben, waren das bisher glaub ich meistens solche, die man ganz einfach als Matrizen darstellen kann, was hiermit wohl leider nicht wirklich was zu tun hat :-/
Ein wenig klarer geworden ist mir das Ganze jetzt schon, aber ich habe da immer noch Probleme
Dass a+t*(b-a) eine Strecke ist, ist klar, das hatten wir schon in der Schule aber was bedeutet es, eine Fläche/einen Weg zu parametrisieren?
Wie man auf die Summe kommt, ist mir auch nicht ganz klar
Di ist die Ableitung nach der i-ten Variablen, also nach a oder nach b, multipliziert mit der i-ten Komponente von b-a, also wenn z.B.
1 4
a= 2 b= 5
3 6
dann wäre die 1. Komponente 4-1 = 3
Ist mit dieser Komponente dann die innere Ableitung gemeint (und Di wäre dann die Äußere?) ?
Gibt es irgendwo im Internet vernünftige Beispiele mit Zahlen, die man zu dem Thema mal rechnen könnte? Ich bin irgendwie überfragt, nach was ich da noch googlen könnte!
Liebe Grüße
Mathetiger
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:28 Sa 11.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Mathetiger!
Also, fangen wir mal von vorne an.
Erst einmal die Kettenregel so, wie wir sie brauchen:
Sind
[mm] $\varphi [/mm] = [mm] (\varphi_1,\varphi_2,\ldots, \varphi_n)^T: [/mm] I [mm] \subset \IR \to \IR^n$
[/mm]
und
$F: [mm] \IR^n \to \IR$
[/mm]
zwei differenzierbare Abbildungen, so gilt für
$g:= F [mm] \circ \varphi [/mm] : I [mm] \subset \IR \to \IR$:
[/mm]
$g'(t) = [mm] \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial F}{\partial x_i}(\varphi(t)) \cdot \frac{\partial \varphi_i}{\partial t}(t)$.
[/mm]
Naja, und bei uns ist eben für
[mm] $\varphi(t) [/mm] = a + t [mm] \cdot [/mm] (b-a)$
wegen
[mm] $\varphi_i(t) [/mm] = [mm] a_i [/mm] + t [mm] \cdot (b_i [/mm] - [mm] a_i)$
[/mm]
gerade
[mm] $\frac{\partial \varphi_i}{\partial t}(t) [/mm] = [mm] b_i [/mm] - [mm] a_i$.
[/mm]
So kommt also die Summe zustande.
Du wolltest was zu Parametrisierungen wissen. Das ist nichts Großartiges. Wir haben also irgendwo einen Weg in der Ebene, zum Beispiel. Dieser beschreibt ja eine Punktmenge $A [mm] \subset \IR^2$ [/mm] in der Ebene. Man such jetzt einfach eine Abbildung:
[mm] $\varphi:[0,1] \to \IR^2$
[/mm]
mit
[mm] $\{\varphi(t)\, : \m t \in [0,1]\}= [/mm] A$.
Was jetzt noch? Ach so, ja, ein Zeilenbeispiel. Nehmen wir doch deines, schließlich soll deine Kreativität auch gewürdigt werden.
Warum googlen? Damit kommst du doch eh immer wieder bei uns raus...
Also, du hattest zwei Punkte angegeben: $A=(1/2/3)$ (naja, nicht sehr kreativ... ) und $B=(4/5/6)$.
Die Strecke zwischen $A$ und $B$ kann also durch
[mm] $\varphi [/mm] : [mm] \begin{array}{ccc} [0,1] & \to & \IR^3 \\[5pt] t & \mapsto & \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\3 \end{pmatrix} \end{array}$
[/mm]
parametrisiert werden.
Nehmen wir doch mal *grübel* die Funktion
$F: [mm] \begin{array}{ccc} \IR^3 & \to & \IR \\[5pt] \begin{pmatrix} x \\ y \\z \end{pmatrix} & \mapsto & \sin(xy) + z \end{array}$.
[/mm]
So, was haben wir denn jetzt alles?
Zunächst einmal
[mm] $\frac{\partial \varphi_i}{\partial t}(t) [/mm] = 3$
für $i=1,2,3$. (Das bist du schuld, denn du hast die Strecke so gewählt.)
Weiterhin haben wir noch
[mm] $\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z) [/mm] = [mm] y\cos(xy)$,
[/mm]
[mm] $\frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z) [/mm] = [mm] x\cos(xy)$,
[/mm]
[mm] $\frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z) [/mm] = 1$.
So, jetzt definieren wir uns $g:= F [mm] \circ \varphi$.
[/mm]
Dann gilt nach der obigen Formel:
$g'(t) = 3(2+3t) [mm] \cos((1+3t)(2+3t)) [/mm] + 3(1+3t) [mm] \cos((1+3t)(2+3t)) [/mm] + 3$.
Kannst du das nachvollziehen? Wenn nicht, dann frage bitte nach.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
