Kettenregel part. Abl. < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien f und g zweimal differenzierbare funktionen, zeigen Sie mithilfe der Ketten und den neuen Variablen s=x+y, [mm] t=x+\bruch{y}{2}, [/mm] dass
[mm] V(x,y)=f(x+y)+g\left(x+\bruch{y}{2}\right)
[/mm]
die partielle Differentialgleichung
[mm] V_{xx}-3*V_{xy}+2*V_{yy}=0 [/mm] erfüllt |
Hallo,
ich bin hier ein bisschen ratlos und weiß nicht wo ich anfangen soll.
Mir ist nicht ganz klar, wie ich hier die Kettenregel für [mm] \bruch{\partial V}{\partial x} [/mm] bsp. aufstellen soll um dann das ganze nochmal abzuleiten.
Dasselbe gilt für
[mm] \bruch{\partial V}{\partial y}
[/mm]
Kann mir jemand in die richtige Spur helfen ?
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Do 11.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] V_x=f'(x+y)+g'(x+y/2)
[/mm]
[mm] V_y=f'+g'*1/2
[/mm]
dabei ist der ' jeweils die Ableitung nach s bzw t
entsprechend weiter machen
es ist einfach nur Kettenregel
$ [mm] \bruch{\partial f(x+y)}{\partial x} =\bruch{df(s)}{ds}*\bruch{\partial s}{\partial x} [/mm] $
Gruss leduart
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Hallo,
danke für die antwort. Ich bekomme dann folgendes:
[mm] \bruch{\partial V}{\partial x}=\bruch{\partial f}{\partial s}*\bruch{\partial s}{\partial x}+\bruch{\partial g}{\partial t}*\bruch{\partial t}{\partial x}=\bruch{\partial f}{\partial s}+\bruch{\partial g}{\partial t}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial V}{\partial y}=\bruch{\partial f}{\partial s}*\bruch{\partial s}{\partial y}+\bruch{\partial g}{\partial t}*\bruch{\partial t}{\partial y}
[/mm]
[mm] =\bruch{\partial f}{\partial s}+\bruch{1}{2}*\bruch{\partial g}{\partial t}
[/mm]
Jetzt wende ich [mm] \bruch{\partial}{\partial x} [/mm] und [mm] \bruch{\partial}{\partial y} [/mm] auf die ausdrücke an und bekomme:
[mm] \bruch{\partial}{\partial x}\left(\bruch{\partial f}{\partial s}+\bruch{\partial g}{\partial t}\right)=\bruch{\partial^2 f}{\partial x*\partial s}+\bruch{\partial^2 g}{\partial x*\partial t}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial}{\partial x}\left(\bruch{\partial f}{\partial s}+\bruch{1}{2}\bruch{\partial g}{\partial t}\right)=\bruch{\partial^2 f}{\partial x*\partial s}+\bruch{1}{2}\bruch{\partial^2 g}{\partial x*\partial t}
[/mm]
und
[mm] \bruch{\partial}{\partial y}\left(\bruch{\partial f}{\partial s}+\bruch{1}{2}\bruch{\partial g}{\partial t}\right)=\bruch{\partial^2 f}{\partial y*\partial s}+\bruch{1}{2}\bruch{\partial^2 g}{\partial y*\partial t}
[/mm]
Wenn ich die jetzt zusammen-addiere kommt nicht null raus.
Hab ich was falsch gemacht ?
Lg
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Hallo eXeQteR,
> Hallo,
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> danke für die antwort. Ich bekomme dann folgendes:
>
> [mm]\bruch{\partial V}{\partial x}=\bruch{\partial f}{\partial s}*\bruch{\partial s}{\partial x}+\bruch{\partial g}{\partial t}*\bruch{\partial t}{\partial x}=\bruch{\partial f}{\partial s}+\bruch{\partial g}{\partial t}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial V}{\partial y}=\bruch{\partial f}{\partial s}*\bruch{\partial s}{\partial y}+\bruch{\partial g}{\partial t}*\bruch{\partial t}{\partial y}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\partial f}{\partial s}+\bruch{1}{2}*\bruch{\partial g}{\partial t}[/mm]
>
> Jetzt wende ich [mm]\bruch{\partial}{\partial x}[/mm] und
> [mm]\bruch{\partial}{\partial y}[/mm] auf die ausdrücke an und
> bekomme:
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial x}\left(\bruch{\partial f}{\partial s}+\bruch{\partial g}{\partial t}\right)=\bruch{\partial^2 f}{\partial x*\partial s}+\bruch{\partial^2 g}{\partial x*\partial t}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial x}\left(\bruch{\partial f}{\partial s}+\bruch{1}{2}\bruch{\partial g}{\partial t}\right)=\bruch{\partial^2 f}{\partial x*\partial s}+\bruch{1}{2}\bruch{\partial^2 g}{\partial x*\partial t}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial y}\left(\bruch{\partial f}{\partial s}+\bruch{1}{2}\bruch{\partial g}{\partial t}\right)=\bruch{\partial^2 f}{\partial y*\partial s}+\bruch{1}{2}\bruch{\partial^2 g}{\partial y*\partial t}[/mm]
>
>
> Wenn ich die jetzt zusammen-addiere kommt nicht null raus.
>
> Hab ich was falsch gemacht ?
Hier muss Du auch wieder die Kettenregel anwenden:
[mm]V_{xx}=\bruch{\partial}{\partial x}\left(\bruch{\partial f}{\partial s}+\bruch{\partial g}{\partial t}\right)[/mm]
Das ist erstmal
[mm]=\bruch{\partial f_{s}}{\partial x}+\bruch{\partial g_{t}}{\partial x}[/mm]
Jetzt die Kettenregel angewendet, ergibt:
[mm]=\bruch{\partial f_{s}}{\partial s}*\bruch{\partial s}{\partial x}+\bruch{\partial g_{t}}{\partial t}\bruch{\partial t}{\partial x}[/mm]
Damit
[mm]V_{xx}=f_{ss}+g_{tt}[/mm]
So laufen auch die anderen partiellen Ableitungen.
>
> Lg
Gruss
MathePower
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Hallo,
es hat wunderbar funktioniert, dir vielen herzlichen dank.
Ich habe aber trotzdem noch eine Verständnisfrage.
Wieso wende ich z.B. bei [mm] \bruch{\partial}{\partial x}\left(\bruch{\partial f}{\partial s}+\bruch{\partial g}{\partial t}\right) [/mm] nochmal die Kettenregel an? intuitiv habe ich da (fälschlicherweise) "einfach" differenziert.
Lg
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Hallo eXeQteR,
> Hallo,
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> es hat wunderbar funktioniert, dir vielen herzlichen dank.
>
> Ich habe aber trotzdem noch eine Verständnisfrage.
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> Wieso wende ich z.B. bei [mm]\bruch{\partial}{\partial x}\left(\bruch{\partial f}{\partial s}+\bruch{\partial g}{\partial t}\right)[/mm]
> nochmal die Kettenregel an? intuitiv habe ich da
> (fälschlicherweise) "einfach" differenziert.
Nun, weil [mm]f_{s}[/mm] wieder eine Funktion von s
und damit auch von x und y ist.
Dasselbe gilt natürlich analag für [mm]g_{t}[/mm].
Damit kann man schreiben:
[mm]f_{s}=f_{s}\left( \ s\left(x,y\right) \ \right)[/mm]
[mm]g_{t}=g_{t}\left( \ t\left(x,y\right) \ \right)[/mm]
>
> Lg
>
>
Gruss
MathePower
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