Kinder im Kreis aufstellen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:27 Mo 25.10.2010 | | Autor: | oby |
| Aufgabe | | Wieviele Möglichkeiten gibt es, 4 Jungen und 8 Mädchen in einem Kreis aufzustellen? |
Hallo Matheraum,
Hab schon wieder ein Problem bei einer Kombinatorik-Aufgabe und hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Und zwar hab ich mir vorgestellt, die Kinder in einer Reihe aufzustellen, dann gibt es ja $ [mm] \bruch{12!}{8!4!} [/mm] $ Möglichkeiten. Jetzt kann ich die Kinder aber immer noch um eine Position weiterrücken lassen, wobei die letzten Kinder wieder vorne an die Reihe angesetzt werden. Das sind jeweils 12 "Kinderreihen", die auf den selben Kreis führen, also gibt es doch $ [mm] \bruch{12!}{8!4! 12} [/mm] $ Möglichkeiten. Das Problem ist nun dass da keine ganze Zahl rauskommt, also kann das nicht richtig sein.
$ [mm] \bruch{12!}{8!4! 12} [/mm] = [mm] \bruch [/mm] {11*10*9}{4*3*2}=41,25$
Wo liegt mein Denkfehler?
Oby
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:35 Mo 25.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Wieviele Möglichkeiten gibt es, 4 Jungen und 8 Mädchen in
> einem Kreis aufzustellen?
Sind die Jungen und Maedchen unterscheidbar?
>
> Hallo Matheraum,
> Hab schon wieder ein Problem bei einer
> Kombinatorik-Aufgabe und hoffe ihr könnt mir
> weiterhelfen.
> Und zwar hab ich mir vorgestellt, die Kinder in einer
> Reihe aufzustellen, dann gibt es ja [mm]\bruch{12!}{8!4!}[/mm]
> Möglichkeiten.
Wenn die Jungen und Maedchen unterscheidbar sind, ist dies falsch.
> Jetzt kann ich die Kinder aber immer noch
> um eine Position weiterrücken lassen, wobei die letzten
> Kinder wieder vorne an die Reihe angesetzt werden. Das sind
> jeweils 12 "Kinderreihen", die auf den selben Kreis
> führen, also gibt es doch [mm]\bruch{12!}{8!4! 12}[/mm]
> Möglichkeiten.
Das stimmt nur, wenn die Maedchen und Jungen unterscheidbar sind.
Hast du etwa die Reihe
j m m j m m j m m j m m
(mit j fuer Junge und m fuer Maedchen), so gibt es zum zugehoerigen Kreis nur drei Reihen, und nicht 12.
Deswegen kannst du nicht einfach durch 12 teilen.
Also: entweder sind die Maedchen und Jungen unterscheidbar, dann stimmt die Anzahl nicht, aber du darfst durch 12 teilen, oder sie sind nicht unterscheidbar, dann stimmt die Anzahl der Reihen, du darfst aber nicht durch 12 teilen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Mo 25.10.2010 | | Autor: | oby |
Achso, da hast du Recht.
Ich habs nochmal anders probiert. Sei $ [mm] A_n [/mm] $ die Anzahl der Möglichkeiten, unterscheidbare Kinder in einem Kreis aufzustellen. Dann ist [mm] $A_1 [/mm] = [mm] A_2 [/mm] =1, [mm] A_3 [/mm] =2 , [mm] A_4=6 [/mm] ... [mm] A_n=(n-1)*A_{n-1}$ [/mm] , da man ja, wenn man schon einen Kreis aus $n-1$ Kindern gebildet hat, das neue Kind in jeden Zwischenraum "reinschieben" kann.
Damit ergibt sich aber [mm] $A_n=(n-1)! [/mm] $ .
Jetzt "mache ich Mädchen und Jungen jeweils nicht mehr unterscheidbar", also Sind immer $ 4! 8! $ Möglichkeiten die selben, damit ergibt sich also
[mm] $\bruch{11!}{8!*4!}=\bruch{11*10*9}{4*3*2}\not\in \IN [/mm] $
Also da hab ich wieder das gleiche Problem, Was hab ich nun schon wieder zuviel gezählt?
Danke schonmal
Oby
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Hallo oby,
> Achso, da hast du Recht.
> Ich habs nochmal anders probiert. Sei [mm]A_n[/mm] die Anzahl der
> Möglichkeiten, unterscheidbare Kinder in einem Kreis
> aufzustellen. Dann ist [mm]A_1 = A_2 =1, A_3 =2 , A_4=6 ... A_n=(n-1)*A_{n-1}[/mm]
> , da man ja, wenn man schon einen Kreis aus [mm]n-1[/mm] Kindern
> gebildet hat, das neue Kind in jeden Zwischenraum
> "reinschieben" kann.
> Damit ergibt sich aber [mm]A_n=(n-1)![/mm] .
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt "mache ich Mädchen und Jungen jeweils nicht mehr
> unterscheidbar", also Sind immer [mm]4! 8![/mm] Möglichkeiten die
> selben, damit ergibt sich also
> [mm]\bruch{11!}{8!*4!}=\bruch{11*10*9}{4*3*2}\not\in \IN[/mm]
> Also
> da hab ich wieder das gleiche Problem, Was hab ich nun
> schon wieder zuviel gezählt?
Na, die gleichen wie vorher. Überlegs Dir nochmal. 
Du wirst untersuchen müssen, welche Symmetrien es noch in dem Zwölferkreis gibt. Bisher erfasst Du nur solche, die bei "Drehung" um 1/12 vorkommen, nämlich keine. Es könnte aber noch welche geben bei den Drehungen um 2/12, 3/12, 4/12 und 6/12. Du wirst feststellen, dass Du zwei davon hier nicht zu beachten brauchst, die andern aber schon.
Grüße
reverend
> Danke schonmal
> Oby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Mo 25.10.2010 | | Autor: | oby |
Hallo und danke erstmal,
Ich befürchte, ich verstehe es immer noch nicht.
Du meinst also, ich soll mir die Symmetrien überlegen. Was verstehst du genau unter so einer Symmetrie?
Wenn ich den Kreis um 6/12 drehe kommt das selbe raus, wie wenn ich das ganz Spiegele. Ich kann's ja an 6 verschiedenen Achsen spiegeln, also muss ich die 11! durch 6 teilen. ???
Und die andere Symmetrie?
Aber so kanns ja nicht sein, weil ich ja dann ganz außer Acht lasse, wieviele Mädchen und Jungen es sind??
Vielleicht kannst du mir das bitte nochmal erklären ?!
Oby
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Hallo oby,
Drehungen und Spiegelungen sind unterschiedliche Arten von Symmetrieumformungen. Dabei ist mit Spiegelung in diesem Kontext normalerweise eine Achsenspiegelung gemeint, nicht eine Punktspiegelung. Drehungen sind durch zwei aufeinanderfolgende Spiegelungen darstellbar.
Da ich aber annehme, dass einfache Spiegelungen hier nicht als Symmetrieoperation gelten (sonst wären z.B. JMJMMJJMMMMM und MMMMMJJMMJMJ als identisch anzusehen, was nicht sinnvoll erscheint), können wir uns auf die Drehsymmetrien beschränken.
Es kann theoretisch Symmetrien nur für 1,2,3,4 und 6 Zwölfteldrehungen geben (und die triviale für 12), also genau die Teiler von 12. Allerdings sind hier eben einige auszuschließen, weil die Belegung mit M und J nicht in allen Fällen symmetrisch möglich ist.
Für 1 Zwölfteldrehung z.B. könnte die Belegung ja nur dann symmetrisch sein, wenn alle Plätze gleich belegt sind. Das geht hier nicht.
Für eine Drehung um 2 Zwölftel müssten die Plätze abwechselnd mit Jungen und Mädchen besetzt sein. Auch das geht hier nicht.
Für eine Drehung um 3 Zwölftel hat Dir Felix schon eine symmetrische Anordnung vorgeschlagen: JMMJMMJMMJMM. Das ist zugleich die einzig mögliche solche Anordnung. Wie oft kommt sie in Deiner bisherigen Berechnung vor?
Für eine Drehung um 4 Zwölftel gibt es wieder keine mögliche Besetzung.
Für eine Drehung um 6 Zwölftel gibt es allerdings mehrere Möglichkeiten. JJMMMMJJMMMM ist eine davon. Welche gibt es noch? Und wie oft kommen diese in Deiner Rechnung bisher vor?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Di 26.10.2010 | | Autor: | oby |
Hallo reverend,
>Es kann theoretisch Symmetrien nur für 1,2,3,4 und 6 Zwölfteldrehungen >geben (und die triviale für 12), also genau die Teiler von 12. Allerdings >sind hier eben einige auszuschließen, weil die Belegung mit M und J nicht >in allen Fällen symmetrisch möglich ist.
Ok, das verstehe ich.
>Für 1 Zwölfteldrehung z.B. könnte die Belegung ja nur dann symmetrisch >sein, wenn alle Plätze gleich belegt sind. Das geht hier nicht.
>Für eine Drehung um 2 Zwölftel müssten die Plätze abwechselnd mit >Jungen und Mädchen besetzt sein. Auch das geht hier nicht.
>Für eine Drehung um 3 Zwölftel hat Dir Felix schon eine symmetrische >Anordnung vorgeschlagen: JMMJMMJMMJMM. Das ist zugleich die einzig >mögliche solche Anordnung. Wie oft kommt sie in Deiner bisherigen >Berechnung vor?
Ok, ich versuch's mal:
Ich hab ja bis jetzt lediglich den Fall untersucht, dass alle Kinder unterscheidbar sind. JMMJMMJMMJMM liefert ja den selben Kreis wie MJMMJMMJMMJM und MMJMMJMMJMMJ.
-> liefert 3
>Für eine Drehung um 4 Zwölftel gibt es wieder keine mögliche Besetzung.
>Für eine Drehung um 6 Zwölftel gibt es allerdings mehrere Möglichkeiten. >JJMMMMJJMMMM ist eine davon. Welche gibt es noch? Und wie oft >kommen diese in Deiner Rechnung bisher vor?
JJMMMMJJMMMM liefert den selben Kreis wie
MJJMMMMJJMMM und wie
MMJJMMMMJJMM und
MMMJJMMMMJJM und
MMMMJJMMMMJJ und
JMMMMJJMMMMJ
also 6
dann gibt es noch die Möglichkeiten:
JMJMMMJMJMMM , was dasselbe ist wie
MJMJMMMJMJMM
MMJMJMMMJMJM
MMMJMJMMMJMJ
JMMMJMJMMMJM
MJMMMJMJMMMJ -> nochmal 6
Mehr Symmetrien fallen mir auch schon nicht mehr ein,
weil ja z.B. die Klasse JMMJMMJMMJMM schon behandelt wurde und JMMMJMJMMMJM auch schon behandelt wurde,
So, also hab ich nun [mm] $\bruch{11!*3*6*6}{8!*4!}= [/mm] 4455$ Möglichkeiten ???
Grüße, Oby
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Hallo nochmal,
ja, das sind alle Symmetrien.
Mal sehen, ob ich jetzt das gleiche rausbekomme:
Es gibt [mm] \vektor{12\\4} [/mm] Möglichkeiten, die Jungen zu verteilen.
Für die symmetrischen Verteilungen gilt:
JMMJMMJMMJMM kommt dabei in drei Varianten vor.
JJMMMMJJMMMM kommt in sechs Varianten vor.
JMJMMMJMJMMM kommt in sechs Varianten vor.
Alle anderen kommen in zwölf Varianten vor.
Also gibt es [mm] \bruch{\vektor{12\\4}-3-6-6}{12}+3=\bruch{\bruch{12*11*10*9}{1*2*3*4}+21}{12}=\bruch{11*5*9+21}{12}=\bruch{516}{12}=43 [/mm] Möglichkeiten.
Die sollten nicht so schwierig aufzulisten sein.
Aber es ist eine andere Rechnung als Deine.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 Mi 27.10.2010 | | Autor: | oby |
Hallo Reverend,
Das hat jetz gedauert, bis ich dein Rechnung verstanden habe, aber ich denke jetzt hab ich's (nach 10 mal durchrattern ;) ). Also vielen Dank für deine Hilfe!
MfG Oby
Oh, sorry, Jetzt hab ich das als neue Frage reingestellt, Sollte eigentlich nur ein dankeschön werden...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:39 Mi 27.10.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Oby,
war ja auch ein bisschen kryptisch notiert. Wohl doch zu spät am Tage...
Na, Hauptsache, Du bist durchgestiegen.
Dank für den Dank. Gern geschehen,
reverend
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> > Wieviele Möglichkeiten gibt es, 4 Jungen und 8 Mädchen in
> > einem Kreis aufzustellen?
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> Sind die Jungen und Maedchen unterscheidbar?
Hallo,
da haben wir wieder einmal ein typisches Beispiel für die
Kreativität von Leuten, die "lebensnahe" Mathematik-
Aufgaben erfinden. Die entsprechende Aufgabe in einer
Aufgabensammlung zur Kombinatorik einer früheren
Generation lautete wohl etwa:
"Wieviele Möglichkeiten gibt es, aus 4 blauen und 8 roten
Kugeln eine ringförmige Kette zu machen ?"
In diesem Fall wäre klar, dass wohl gemeint ist, dass
man die 4 blauen Kugeln als untereinander ununterscheidbar
betrachten soll.
Aber 4 Jungen als ununterscheidbare Objekte betrachten ?
Das ist zumindest etwas sonderbar ...
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:41 Mo 25.10.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
zumindest ist es im Leben oft ganz hilfreich, Jungen und Mädchen unterscheiden zu können...
reverend
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