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Guten Abend allerseits!
Ich habe ein kleines Verständnisproblem beim Umwandeln einer Funktion der Geschwindigkeit als Beschleunigung [a(v)].
Nach Trennung der Veränderlichen folgt aus a(v)=dv/dt bzw. dt=dv/a(v).
Durch Integration erhalte ich dann letztlich die Zeit t=t(mitIndex0) + [mm] \integral_{v}^{v1}{dv/a(v)} [/mm] . Daraus folgt dann laut meinem Buch f(v) .. also eine Funktion F als Funktion der Geschwindigkeit?
In einem Beispiel:
Bewegung eines Punktes mit Beschleunigung a=-kv mit k=Konstante. Anfangsbedingung wäre s(0)=s(Index0) und v(0)=0.
Wie oben schon gesagt, ist mir alles verständlich bis zum Auflösen des Integrals, welches wie folgt lauten müsste:
t= [mm] \integral_{v}^{v1}{dv/-kv} [/mm] Der nächste Schritt ist mit nicht klar: Das Integral wird gelöst mit -1/k * ln ( v) mit den Integralgrenzen v bis v1 und es ergibt sich die Funktion f(v)= -1/k*ln (v/v(index0) . ln ergibt sich ja durch die Stammfunktion von 1/v ... aber der wert über den integriert wird beträgt doch nicht 1/v sondern dv/-kv... das würde wenn man die Konstante k vorzieht zu (-1/k) * dv/v führen... also wieso ln?? weil dv nur ein differentiel klein ist?
Also vielen Dank schon mal im Vorraus!
Jan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Fr 07.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dass man mit den Symbolen dt, dv usw so leichtsinnig umgehen kann dauert ne Weile zu erklären.
Wenn du also nicht viel Mathe willst, lass das und akzeptier es. dann ist aber im Integral das dx, dt, dv, nur das Symbol, nach dem Integriert wird.
Also
[mm] \integral_{a}^{b}{1/x dx} =\integral_{a}^{b}{1/v dv} =\integral_{a}^{b}{1/(nator)dnator dx}
[/mm]
alle ergeben lna-lnb=ln(a/b) Wenn a jetzt z. Bsp v ist hängt das von v ab. jedes Integral ist eine Funktion seiner Grenzen!
Ungeschickt ist bei dir, oder deinem Buch die Integrationsvariable v und die Grenze v zu nennen. (tun aber leider viele Physiker, weil sie zu faul sind neue Namen zu erfinden.)
Irgendwie hat dich nicht gestört, was dasselbe ist
[mm] \integral_{t_0}^{t}{1*dt} [/mm] genauso zu lösen! nämlich die Stammfkt von 1 ist t usw.
Ich hoffe es ist jetzt etwas klarer, sonst frag nochmal
Grus leduart
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Zunächst einmal vielen Dank für deine Antwort ;) Hat mich gefreut...
back to topic:
"jedes Integral ist eine Funktion seiner Grenzen! "
Wichtiger Satz und ich geb dir auch vollkommen recht.. aber das ist es glaube ich nicht wodran es bei mir hängt. Moment... ich zitiere jetzt mal exakt die Stelle aus dem Buch:
"Als Anwendungsbeispiel betrachten wir die Bewegung eines Punktes, der eine Beschleunigung a=-kv hat; dabei ist k eine Konstante. Solche Beschleunigungen treten z.b. bei Bewegungen von Körpern in reibungsfreien Flüssigkeiten auf. Als Anfangsbedingungen seien x(0) = [mm] x_{0} [/mm] und [mm] v(0)=v_{0} [/mm] gegeben.
t= [mm] \integral_{v_{0}}^{v}{d\overline{v}/-k\*\overline{v} } [/mm] = [mm] -1/k*ln(\overline{v}) \vektor{v \\ v_{0}} [/mm] = -1/k * ln( [mm] v/v_{0}) [/mm] = f(v) Die Klammer soll kein Vektro sein, sondern Integrationsgrenzen kennzeichnen.
Ich glaube das Problem ist das was du angesprochen hast: Die Einheiten zu sehr vernachlässigt. Vielleicht hilft es was wenn du diese noch mal erklären könntest. Das Hauptanliegen bleibt bei mir jedoch bei der Lösung von [mm] d*\overline{v}/-k*\overline{v} [/mm] zu [mm] ln(\overline{v}) [/mm]
Nochmals dankeschön für deine Hilfe.
Gruß Jan
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es hat Klick gemacht, als ich mir gerade ncheinmal deine Antwort angeschaut habe! DANKE!!!! :)
Zum Thema Vernachlässigbarkeit der Symbole dx dv usw..Wäre es mögliche, dass du dazu uach noch ein paar Worte verlierst? Ich liebe Mathe ;) deßwegen...
Danke Gruß Jan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Sa 08.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. k hat die Dimension 1/Zeit, also die Einheit 1/s! bei dem [mm] ln(v/v_0) [/mm] fällt die Einheit ja weg, so dass du mit [mm] 1/k*ln(v/v_0 [/mm] wirklich ne Zeit hast.
Wenn du dir das Integral von 1/x ansiehst, dan ist das ja GW einer Summe, in der noch [mm] \Delta [/mm] v vorkommt. aber der Hauptsatz der Integralrechnunng sagt ja, dass man staat dem GW der Summe die Stammfkt. an den Grenzen nehmen kann. Nix anderes tust du hier. und das dv ist wirklich nicht ne "kleine"Größe, sondern das Symbol, über was integriert wird.
etwa [mm] \integral_{a}^{b}{f(x*c^2) dx} [/mm] ist was anderes als [mm] \integral_{a}^{b}{f(x*c^2) dc}
[/mm]
viele Mathematiker lassen das dirgendwas weg und schreiben nur [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) }
[/mm]
Gruss leduart
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