Klasse der zyklischen Gruppen < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:57 Di 09.04.2013 | | Autor: | Nevanna |
| Aufgabe | | Ist die Klasse der zyklischen Gruppen delta-elementar? Beweisen Sie ihre Aussage! |
Hi ihr Lieben,
ich scheine wohl den kompletten Logik-Bereich hier an mich zu reißen - aber meine Klausu steht kurz bevor, und die will ich natürlich no schaffen.
Zur obigen Frage:
Eine Klasse S heißt ja delta-elementar, wenn sie die Modellklasse einer Theorie ist.
Eine zyklische Gruppe ist eine Gruppe, die nur von einem Element a (das in der Gruppe liegt) erzeugt wird. Dh ich kann mit Hilfe von a jedes Element meiner Gruppe darstellen.
Nun versuche ich mich hier schon die ganze Zeit daran und bin mit meinem Lösungsweg nicht ganz sicher:
Ich habe angenommen, dass die Klasse der zyklischen Gruppen delta-elementar ist. Das heißt ich habe eine Theorie T, von der meine Klasse der zyklischen Gruppen (ich nenne sie jetzt mal Z) Z das Modell ist, also
Z=Mod(T).
Dann habe ich meine Sprache um ein Konstantensymbol c erweitert und konstruiere mir meine erweiterte Theorie (T sei die "geltende Theorie aus meiner ursprünglcihen Sprache):
T':= T [mm] \cup [/mm] {c [mm] \not= a^{n} [/mm] } für mein zusätzliches Konstantensymbol. (Stimmt das hier? An dieser Stelle hänge ich immer, wie ich da die Konstante verwurste).
Man erkennt, dass T' selbst ja nicht delta-elementar sien kann, da ich mein Element c nicht konstruieren kann, also gilt hier die zyklische-Gruppen-Eigenschaft nicht.
Nehme ich allerdings eine endliche Teilmenge wie zB.
[mm] T_{0}:= [/mm] T [mm] \cup [/mm] {m = [mm] a^{n} [/mm] | m < c}. So sind diese wiederum erfüllbar. Ein Modell für solch eine Teiltheorie ist gerade die Klasse der Restklassenringe.
Nach dem Kompaktheitssatz für Erfüllbarkeit muss nun auch T' erfüllbar sein - Widerspruch zur vorherigen Erkenntnis.
Also ist die Klasse der zyklischen Gruppen nicht delta-elementar.
Stimmt das so? Ich bin mir immer unsicher, wenn es darum geht eine Teiltheorie bzw die erweiterte Teiltheorie aufzustellen, weil mir das teilweise "zu einfach" ist. Gibt es da einen "Trick", wie ich das zu wählen habe?
Ich würd mich sehr freuen wenn mir hier jemand helfen könnte!
Vielen Dank schon einmal!
Liebe Grüße, Nevanna
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:15 Di 09.04.2013 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Eine zyklische Gruppe ist eine Gruppe, die nur von einem
> Element a (das in der Gruppe liegt) erzeugt wird.
eine kleine sprachliche Anmerkung: mit "nur von einem Element" drueckst du eher aus, als wenn es nur ein einziges Element gibt, welches die Gruppe erzeugt. Wenn du "von nur einem Element" schreibst, drueckst du eher aus, dass die Gruppe mit nur einem Element erzeugt werden kann. Du willst hier denke ich eher zweiteres ausdruecken und nicht ersteres (ersteres ist auch falsch, sobald die Gruppe mehr als zwei Elemente hat).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:22 Di 09.04.2013 | | Autor: | Nevanna |
Oh, ja, natürlich meinte ich zweiteres - da habe ich mich wohl nicht sehr klar ausgedrückt ;) Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 Di 09.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Nevanna,
> Ist die Klasse der zyklischen Gruppen delta-elementar?
Mit welcher Sprache arbeitet ihr hier? Einer Sprache L bestehend aus einem zweistelligen Funktionssymbol *, einer Konstante e und einem einstelligen Relationssymbol $^{-1}$?
> Eine Klasse S heißt ja delta-elementar, wenn sie die
> Modellklasse einer Theorie ist.
Ja.
> Eine zyklische Gruppe ist eine Gruppe, die nur von einem
> Element a (das in der Gruppe liegt) erzeugt wird. Dh ich
> kann mit Hilfe von a jedes Element meiner Gruppe
> darstellen.
Bis auf Felix' Anmerkung: Ja. Eine Gruppe G ist genau dann zyklisch, wenn ein Element [mm] $a\in [/mm] G$ existiert, so dass sich jedes Gruppenelement [mm] $b\in [/mm] G$ in der Form [mm] $b=a^n$ [/mm] für ein [mm] $n\in\IZ$ [/mm] schreiben lässt.
Aus der Algebra ist bekannt (?): Es gibt bis auf Isomorphie zu jeder natürlichen Zahl n>0 genau eine zyklische Gruppe mit n Elementen und außerdem die unendliche zyklische Gruppe [mm] $(\IZ,+)$. [/mm] Weitere dazu nicht isomorphe zyklische Gruppen gibt es nicht. Insbesondere sind alle zyklischen Gruppen abzählbar.
Hattet ihr schon die Sätze von Löwenheim-Skolem? Wisst ihr also, dass jede Theorie, die ein unendliches Modell besitzt, unendliche Modelle beliebig großer Kardinalität besitzt?
Damit lässt sich die Behauptung schnell zeigen.
Nach dem Schema, das du versuchst, konnte ich die Behauptung dagegen noch nicht zeigen. Daher lasse ich die Frage mal nur als teilweise beantwortet markiert. Vielleicht hat ja jemand anderes eine Idee, wie es auf "deinem" Wege geht.
> Ich habe angenommen, dass die Klasse der zyklischen Gruppen
> delta-elementar ist. Das heißt ich habe eine Theorie T,
> von der meine Klasse der zyklischen Gruppen (ich nenne sie
> jetzt mal Z) Z das Modell ist, also
> Z=Mod(T).
Du meinst, dass Z die Klasse der Modelle von T ist.
> Dann habe ich meine Sprache um ein Konstantensymbol c
> erweitert und konstruiere mir meine erweiterte Theorie (T
> sei die "geltende Theorie aus meiner ursprünglcihen
> Sprache):
Was meinst du mit "geltender Theorie"? T ist doch schon eingeführt als die Theorie, von der wir widerspruchshalber annehmen, ihre Modellklasse sei Z.
> T':= T [mm]\cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\{$c [mm]\not= a^{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$ für mein zusätzliches
> Konstantensymbol. (Stimmt das hier? An dieser Stelle hänge
> ich immer, wie ich da die Konstante verwurste).
Das Problem hier (und aus diesem Grunde konnte ich die Aufgabe auch noch nicht nach deinem Schema lösen): a ist, wenn meine obige Vermutung über die zugrundeliegende Sprache L stimmt, kein Element der Sprache. Also ist $c\not=a^n$ keine $L\cup\{c\}$-Formel.
> Man erkennt, dass T' selbst ja nicht delta-elementar sien
> kann,
$\Delta$-elementar kann eine Klasse von Strukturen sein, nicht eine Theorie!
> Nehme ich allerdings eine endliche Teilmenge wie zB.
>
> [mm]T_{0}:=[/mm] T [mm]\cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\{$m = [mm]a^{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| m < c$\}$.
Das ist keine wohldefinierte Teilmenge von $T'$! c ist doch ein Symbol, keine Zahl. Was soll also $m<c$ bedeuten?
> So sind diese wiederum
> erfüllbar.
Du willst zeigen, dass eine beliebige endliche Teilmenge $T_0\subseteq T'$ erfüllbar ist. Also reicht es nicht, nur Beispiele für $T_0$ zu betrachten.
> Ein Modell für solch eine Teiltheorie ist
> gerade die Klasse der Restklassenringe.
Ein Modell ist eine einzelne Struktur, die der Theorie genügt, keine Klasse von Strukturen.
(Wir arbeiten hier übrigens mit Gruppen, nicht mit Ringen...  )
> Nach dem Kompaktheitssatz für Erfüllbarkeit muss nun auch
> T' erfüllbar sein - Widerspruch zur vorherigen
> Erkenntnis.
>
> Also ist die Klasse der zyklischen Gruppen nicht
> delta-elementar.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Di 09.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo nochmal,
> Stimmt das so? Ich bin mir immer unsicher, wenn es darum
> geht eine Teiltheorie bzw die erweiterte Teiltheorie
> aufzustellen, weil mir das teilweise "zu einfach" ist. Gibt
> es da einen "Trick", wie ich das zu wählen habe?
Ganz allgemein zu deinem Schema:
Sei $S$ eine Klasse von $L$-Strukturen, von der wir zeigen wollen, dass sie nicht [mm] $\Delta$-elementar [/mm] ist.
Dann nehmen wir widerspruchshalber an, es gäbe eine $L$-Theorie $T$, deren Modellklasse $S$ ist.
Nun geben wir eine Sprache [mm] $L'\supseteq [/mm] L$ und eine $L'$-Theorie $T''$ an mit folgenden Eigenschaften:
(i) Die Einschränkung jedes Modells [mm] $\mathfrak{A}'$ [/mm] von $T''$ auf $L$ ist kein Element von $S$.
(ii) Für jede endliche Teilmenge [mm] $T_0''\subseteq [/mm] T''$ gibt es ein Modell [mm] $\mathfrak{A}'$ [/mm] von [mm] $T_0''$, [/mm] dessen Einschränkung auf $L$ in $S$ liegt.
Dann lässt sich wie folgt weiterargumentieren: Nach (ii) ist [mm] $T':=T\cup [/mm] T''$ endlich erfüllbar (Warum?) und damit nach dem Kompaktheitssatz erfüllbar. Also gibt es ein Modell [mm] $\mathfrak{A}$ [/mm] von $T'$. Die Einschränkung von [mm] $\mathfrak{A}$ [/mm] auf $L$ ist nach (i) jedoch kein Element von $S$. Mit [mm] $\mathfrak{A}$ [/mm] ist jedoch auch die Einschränkung von [mm] $\mathfrak{A}$ [/mm] auf $L$ ein Modell von $T$ und somit doch Element von $S$. Widerspruch.
Zurück zu deiner Frage nach der Wahl von $T''$:
$T''$ soll also sozusagen besagen (oder zumindest implizieren): i) "Die Einschränkungen meiner Modelle auf $L$ sind nicht in $S$." ( ii) "Aber zu jeder endlichen Teilmenge von mir gibt es ein Modell, dessen Einschränkung auf $L$ in $S$ liegt.")
Sinnvollerweise sucht man zunächst eine Theorie $T''$, die i) genügt und prüft dann die Bedingung ii) nach.
Um dieses Schema hier anwenden zu können, bräuchten wir also eine Sprache [mm] $L'\supseteq [/mm] L$ und eine $L'$-Theorie $T''$, die besagt/impliziert: "Die Einschränkung meiner Modelle auf $L$ sind nicht zyklisch.". Außerdem soll es zu jeder endlichen Teilmenge [mm] $T_0''\subseteq [/mm] T''$ eine zyklische Gruppe $G$ und eine $L'$-Expansion $G'$ von $G$ geben, so dass $G'$ ein Modell von [mm] $T_0$ [/mm] ist.
Genügen würde hier, wenn $T''$ aussagen würde: "Meine Modelle sind überabzählbar." (Denn dann sind ihre Einschränkungen auf $L$ keinesfalls zyklisch.) Dann ist noch die zweite Bedingung zu überprüfen.
Hast du eine Idee für eine Theorie in einer geeigneten Sprache [mm] $L'\supseteq [/mm] L$, die aussagt: "Meine Modelle sind überabzählbar"? Tipp: Überabzählbar viele neue Konstantensymbole...
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:45 Mi 10.04.2013 | | Autor: | Nevanna |
Hi Tobias, erstmal danke :)
Meine Klausur steht morgen bevor und ich drehe so langsam duch.
Also, dann nach deinem Tipp:
ich erweitere Meine Sprach um unendlich viele Konstantensymbole [mm] c_{0}, c_{1},...
[/mm]
Und betrachte dann meine Theorie
T'':= T [mm] \cup [/mm] { [mm] c_{n} [/mm] = [mm] a^{n} [/mm] }.
Dann gibt es für jedes n [mm] \ge [/mm] 1 ein Modell, weshalb T'' nach dem Satz über die Existenz unendlicher Modell auch ein unendliches Modell hat.
Stimmt das? Und vor allem: Habe ich c so richtig eingebaut?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:54 Mi 10.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Also, dann nach deinem Tipp:
>
> ich erweitere Meine Sprach um unendlich viele
> Konstantensymbole [mm]c_{0}, c_{1},...[/mm]
>
> Und betrachte dann meine Theorie
>
> T'':= T [mm]\cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\{$ [mm]c_{n}[/mm] = [mm]a^{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$.
Wie ich schonmal schrieb: Es gibt in unserer Sprache der Gruppentheorie kein Symbol $a$, so dass $c_n=a^n$ gar keine Formel in dieser Sprache erweitert um die neuen Konstanten ist.
> Dann gibt es für jedes n [mm]\ge[/mm] 1 ein Modell,
> weshalb T''
> nach dem Satz über die Existenz unendlicher Modell auch
> ein unendliches Modell hat.
Kannst du diesen Satz bitte mal posten? Ich kenne ihn nämlich nicht.
> Stimmt das? Und vor allem: Habe ich c so richtig eingebaut?
Nein, eine Theorie in einer Sprache L' besteht immer aus L'-Sätzen (L'-Formeln ohne freie Variablen). Aber [mm] $c_n=a^n$ [/mm] ist keine $L'$-Formel, wenn $L'$ die übliche Sprache der Gruppentheorie erweitert um die neuen Konstanten ist.
> Meine Klausur steht morgen bevor und ich drehe so langsam
> duch.
Ich schlage vor, du legst diese Aufgabe zunächst beiseite, um dich auf eine Aufgabe zu konzentrieren, die ähnlicher zu der von dir bekannten Aufgabe lösbar ist. Dazu folgender Vorschlag:
| Aufgabe | Ein Ring R hat endliche Charakteristik, falls in ihm [mm] $\underbrace{1+\ldots+1}_{n\text{ mal}}=0$ [/mm] für ein [mm] $n\in\IN\setminus\{0\}$ [/mm] gilt.
Sei [mm] $L:=\{\underline{+},\underline{*},\underline{0},\underline{1}\}$. [/mm] Zeige, dass die Klasse S aller Ringe endlicher Charakteristik (in naheliegenderweise aufgefasst als L-Strukturen) nicht [mm] $\Delta$-elementar [/mm] ist. |
Viel Erfolg! 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:25 Mi 10.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Jetzt habe ich die Aufgabe mit den zyklischen Gruppen endlich ähnlich zu deiner Vorgehensweise lösen können. Dazu habe ich ein zusätzliches einstelliges Funktionssymbol benötigt. Ich halte es aber für sinnvoller, wenn du dich zunächst mit meiner neuen Aufgabe hier beschäftigst, die wesentlich weniger kompliziert ist.
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