www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Zahlentheorie" - Klassengruppe trivial
Klassengruppe trivial < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Klassengruppe trivial: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:20 So 05.12.2010
Autor: Arcesius

Hallo zusammen.

Ich versuche mich gerade an einer Aufgabe, die ich aber leider nicht lösen kann. Dabei geht es um die Klassengruppe eines bestimmten Kreisteilungskörpers.. Die Aufgabe ist die Folgende:

Zeige, dass $K = [mm] \mathbb{Q}(\zeta_{7}$ [/mm] (7-te Kreisteilungskörper) ein Hauptidealring ist.

Dazu möchte ich zeigen, dass die Klassengruppe trivial ist.. also habe ich zuerst den Minkowski-Bound [mm] $C_{K}$ [/mm] berechnet:

[mm] $C_{K} [/mm] = [mm] \frac{d!}{d^{d}}\left(\frac{4}{\pi}\right)\mid \triangle_{K}\mid^{\frac{1}{2}} \approx [/mm] 4.13 < 5$.

Gut. Jetzt sei [mm] $l\mathbb{Z}_{K} \subset \mathbb{Z}_{K}$ [/mm] ein Ideal mit $l [mm] \ge [/mm] 2$ Primzahl von 7 verschieden. Dann ist $l$ nicht verzweigt in $K$. Schreibe [mm] $l\mathbb{Z}_{K} [/mm] = [mm] Q_{1}\cdots Q_{g}$ [/mm] mit [mm] $Q_{i}$ [/mm] Primideale.

Jetzt sollte ich mit den Restklassengraden der [mm] $Q_{i}$'s [/mm] etwas machen sollen.. aber ich weiss nicht wie?

Kann mir hier jemand helfen? Wäre ganz nett :)





        
Bezug
Klassengruppe trivial: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:39 So 05.12.2010
Autor: felixf

Moin!

> Ich versuche mich gerade an einer Aufgabe, die ich aber
> leider nicht lösen kann. Dabei geht es um die
> Klassengruppe eines bestimmten Kreisteilungskörpers.. Die
> Aufgabe ist die Folgende:
>  
> Zeige, dass [mm]K = \mathbb{Q}(\zeta_{7}[/mm] (7-te
> Kreisteilungskörper) ein Hauptidealring ist.
>  
> Dazu möchte ich zeigen, dass die Klassengruppe trivial
> ist.. also habe ich zuerst den Minkowski-Bound [mm]C_{K}[/mm]
> berechnet:
>  
> [mm]C_{K} = \frac{d!}{d^{d}}\left(\frac{4}{\pi}\right)\mid \triangle_{K}\mid^{\frac{1}{2}} \approx 4.13 < 5[/mm].

Sprich, du musst alle Primideale mit Norm $<5$ untersuchen. Es gibt also nur die Moeglichkeit von Norm 2, 3 und 4.

> Gut. Jetzt sei [mm]l\mathbb{Z}_{K} \subset \mathbb{Z}_{K}[/mm] ein
> Ideal mit [mm]l \ge 2[/mm] Primzahl von 7 verschieden.

Es reicht, [mm] $\ell [/mm] = 2$ und [mm] $\ell [/mm] = 3$ anzuschauen.

> Dann ist [mm]l[/mm]
> nicht verzweigt in [mm]K[/mm]. Schreibe [mm]l\mathbb{Z}_{K} = Q_{1}\cdots Q_{g}[/mm]
> mit [mm]Q_{i}[/mm] Primideale.
>
> Jetzt sollte ich mit den Restklassengraden der [mm]Q_{i}[/mm]'s
> etwas machen sollen.. aber ich weiss nicht wie?

Ganz allgemein macht man das in zyklotomischen Koerpern doch []so (fuer [mm] $\ell \neq [/mm] p$): man berechnet die Ordnung $f$ von [mm] $\ell$ [/mm] in [mm] $(\IZ/p\IZ)^\ast$. [/mm] Dann haben alle Primideale in [mm] $\IZ_K$, [/mm] die ueber [mm] $\ell$ [/mm] liegen, die Norm [mm] $\ell^f$. [/mm]

Du musst also die Ordnung von 2 bzw. 3 modulo $p = 7$ berechnen. Dann weisst du, wieviele Primideale es mit Norm $2, 3, 4$ gibt (naemlich keine), und kannst daraus folgern, dass [mm] $\IZ_K$ [/mm] ein Hauptidealring ist.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Klassengruppe trivial: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:13 Mo 06.12.2010
Autor: Arcesius


Hallo

Erstmals ganz vielen Dank an dir, Felix. Ich konnte die Aufgabe nun lösen :)

Ich wollte das gleiche nun für den elften zyklotomischen Körper tun.. also sei [mm]K = \mathbb{Q}(\zeta_{11})[/mm]

Ich habe [mm]C_{K} < 59[/mm] und somit für alle Primzahlen [mm]1 < l < 59[/mm], [mm]l \neq 11[/mm], die Ordnung in [mm]\mathbb{F}_{11}^{\times}[/mm] ausgerechnet. Es ergibt sich, dass die Ordnung für all diese Primzahlen entweder 5 oder 10 ist mit einer Ausnahme, nämlich [mm]l = 23[/mm].
Somit muss ich nur diesen einen Fall betrachten (den für den Rest wird die Norm zu gross):

Sei [mm]l = 23[/mm]. Dann ist [mm]l \equiv 1 (mod 11)[/mm] und somit gilt:

[mm]23\mathbb{Z}_{K} = \prod\limits_{i=1}^{10}{P_{i}}[/mm], wobei [mm]P_{i}[/mm] paarweise verschiedene Primideale mit [mm]f(P_{i}) = 1[/mm]. Somit gilt [mm]N(P_{i}) = 23 < C_{k} \forall i \in \lbrace 1,...,10\rbrace[/mm]

Ich habe nun das Element [mm]1+\zeta+\zeta^{8}[/mm] welches Norm 23 hat in [mm]K[/mm]. Aber was kann ich damit anfangen? Ich müsste zeigen, dass alle [mm]P_{i}[/mm] Hauptideale sind, nicht?

Ich bedanke mich schon mal für die Hilfe :)

Gr

Bezug
                        
Bezug
Klassengruppe trivial: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:53 Mo 06.12.2010
Autor: felixf

Moin!

> Erstmals ganz vielen Dank an dir, Felix. Ich konnte die
> Aufgabe nun lösen :)
>  
> Ich wollte das gleiche nun für den elften zyklotomischen
> Körper tun.. also sei [mm]K = \mathbb{Q}(\zeta_{11})[/mm]
>  
> Ich habe [mm]C_{K} < 59[/mm] und somit für alle Primzahlen [mm]1 < l < 59[/mm],
> [mm]l \neq 11[/mm], die Ordnung in [mm]\mathbb{F}_{11}^{\times}[/mm]
> ausgerechnet. Es ergibt sich, dass die Ordnung für all
> diese Primzahlen entweder 5 oder 10 ist mit einer Ausnahme,
> nämlich [mm]l = 23[/mm].
> Somit muss ich nur diesen einen Fall betrachten (den für
> den Rest wird die Norm zu gross):
>  
> Sei [mm]l = 23[/mm]. Dann ist [mm]l \equiv 1 (mod 11)[/mm] und somit gilt:
>  
> [mm]23\mathbb{Z}_{K} = \prod\limits_{i=1}^{10}{P_{i}}[/mm], wobei
> [mm]P_{i}[/mm] paarweise verschiedene Primideale mit [mm]f(P_{i}) = 1[/mm].
> Somit gilt [mm]N(P_{i}) = 23 < C_{k} \forall i \in \lbrace 1,...,10\rbrace[/mm]
>  
> Ich habe nun das Element [mm]1+\zeta+\zeta^{8}[/mm] welches Norm 23
> hat in [mm]K[/mm].

Und damit ist das davon erzeugte Ideal eins dieser Primideale.

> Aber was kann ich damit anfangen? Ich müsste
> zeigen, dass alle [mm]P_{i}[/mm] Hauptideale sind, nicht?

Nein, hier hast du Glueck: [mm] $\IQ(\zeta_{11}) [/mm] / [mm] \IQ)$ [/mm] ist Galois, womit die Galoisgruppe auf den Primidealen ueber $23 [mm] \IZ$ [/mm] transitiv operiert. Wenn also eins davon ein Hauptideal ist, dann auch alle anderen.

LG Felix


Bezug
                                
Bezug
Klassengruppe trivial: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:01 Mo 06.12.2010
Autor: Arcesius

Hallo Felix..

Du, vielen Dank für die Antworten :) Hat wie immer zum Ziel geführt!

Liebe Grüsse, Amaro

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]