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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Klassifizieren & Var der Konst
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Klassifizieren & Var der Konst: Tipps
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:12 Di 20.01.2015
Autor: Bindl

Aufgabe
Klassifizieren Sie folgende Differentialgleichungen (explizit/implizit, linear/nichtlinear, zeitabhängig/autonom, skalar/nichtskalar, Ordnung) und bestimmen Sie eine Lösung mittels der Methode der Variation der Konstanten.

a) [mm] t^{11} [/mm] * s`(t) = [mm] 2t^{9} [/mm] * s - 3
Hier habe ich s` geschriebe weil mit Punkt auf der Variablen für die Zeitableitung nie gelingt.

b) xy` + ny = [mm] x^{m} [/mm]    ,     n,m [mm] \in \IR [/mm]

Hi zusammen,

die Methode der Variation der Konstanten will nicht so recht in mein Hirn.
Jetzt erstmal die Klassifizierungen und vielleicht kann mir jemand erklären was ich zu tun habe.

zu a)
explizit
nicht linear
zeitabhängig
skalar
Ordnung =  1

zu b)
explizit
nicht linear
autonom
skalar
Ordnung = 1

Ich danke für die Hilfe im voraus

        
Bezug
Klassifizieren & Var der Konst: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:24 Di 20.01.2015
Autor: Bindl

Kann mir hier niemand helfen ???

Bezug
                
Bezug
Klassifizieren & Var der Konst: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:17 Mi 21.01.2015
Autor: Martinius

Hallo Bindl,

soll das heißen:

a) [mm] $t^{11}*\dot s(t)\;=\;2*t^9*s(t)-3$ [/mm]    und

b) [mm] $x*y'(x)+n*y(x)\;=\;x^m$ [/mm]   ?


falls ja - indem Du auf die Formel klickst siehst Du, wie man sie schreibt.


LG, Martinius

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Klassifizieren & Var der Konst: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:54 Mi 21.01.2015
Autor: fred97


> Klassifizieren Sie folgende Differentialgleichungen
> (explizit/implizit, linear/nichtlinear,
> zeitabhängig/autonom, skalar/nichtskalar, Ordnung) und
> bestimmen Sie eine Lösung mittels der Methode der
> Variation der Konstanten.
>  
> a) [mm]t^{11}[/mm] * s'(t) = [mm]2t^{9}[/mm] * s - 3
>  Hier habe ich s' geschriebe weil mit Punkt auf der
> Variablen für die Zeitableitung nie gelingt.
>  
> b) xy' + ny = [mm]x^{m}[/mm]    ,     n,m [mm]\in \IR[/mm]
>  Hi zusammen,
>  
> die Methode der Variation der Konstanten will nicht so
> recht in mein Hirn.
>  Jetzt erstmal die Klassifizierungen und vielleicht kann
> mir jemand erklären was ich zu tun habe.
>  
> zu a)
>  explizit

ja

>  nicht linear

falsch


>  zeitabhängig

ja


>  skalar

ja


>  Ordnung =  1

ja


>  
> zu b)
>  explizit

ja


>  nicht linear

falsch


>  autonom

falsch


>  skalar

ja


>  Ordnung = 1

ja


fred

>  
> Ich danke für die Hilfe im voraus


Bezug
                
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Klassifizieren & Var der Konst: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:43 Mi 21.01.2015
Autor: Bindl

Hi,
danke für die Antwort.

Nur wieso ist bei Aufgabe b) autonom falsch ?

Ist eine DGL nicht autonom wenn sie nicht von Variablen t, also der Zeit, abhängt?

Bezug
                        
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Klassifizieren & Var der Konst: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:03 Mi 21.01.2015
Autor: fred97


> Hi,
>  danke für die Antwort.
>  
> Nur wieso ist bei Aufgabe b) autonom falsch ?
>  
> Ist eine DGL nicht autonom wenn sie nicht von Variablen t,
> also der Zeit, abhängt?

in b)

    $xy' + ny = [mm] x^{m} [/mm] $

ist y die gesuchte Funktion und x die Variable.

FRED


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Klassifizieren & Var der Konst: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:35 Mi 21.01.2015
Autor: Bindl

Hi,

danke für die erste Hilfe.

Kann mir jemand am Beispiel a) erklären wie ich hier mit der Methode der Variation der Konstanten vorzugehen habe ?

Bezug
                                        
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Klassifizieren & Var der Konst: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:10 Mi 21.01.2015
Autor: DieAcht

Hallo Bindl!


> Kann mir jemand am Beispiel a) erklären wie ich hier mit
> der Methode der Variation der Konstanten vorzugehen habe ?

Tipp:

      [mm] s'(t)=\frac{ds}{dt}. [/mm]


Gruß
DieAcht

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Klassifizieren & Var der Konst: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:44 Mi 21.01.2015
Autor: Bindl

Hi,

ich schreibe mal auf was ich zuerst gemacht habe:
Ich muss zunächst die homogene DGL
[mm] \dot{s}(t) [/mm] = [mm] \bruch{2s}{t} [/mm]
durch Trennung der Variablen lösen.

Also,
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{ds}{s}} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{2}{t} dt} [/mm]
ln(s) = 2*ln(t) + ln(C)
s = 2t + C

Habe ich das korrekt gemacht ?

Das "s = 2t + C" muss ich ja dann für s bei [mm] "\dot{s}(t) [/mm] = [mm] \bruch{2s}{t} [/mm] - [mm] \bruch{3}{t^{11}}" [/mm] einsetzen.

Und was ich danach genau zu machen habe weiß ich einfach nicht.
Kann mir jemand helfen ?

Bezug
                                                        
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Klassifizieren & Var der Konst: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:16 Mi 21.01.2015
Autor: Bindl


> Hi,
>  
> ich schreibe mal auf was ich zuerst gemacht habe:
>  Ich muss zunächst die homogene DGL
>  [mm]\dot{s}(t)[/mm] = [mm]\bruch{2s}{t}[/mm]
>  durch Trennung der Variablen lösen.
>  
> Also,
>  [mm]\integral_{}^{}{\bruch{ds}{s}}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{2}{t} dt}[/mm]
>  ln(s) = 2*ln(t) + ln(C)
>  s = 2t + C

Ich glaube s = 2t + C ist falsch.
ln(s) = 2*ln(t) + ln(C)
ln(s) = [mm] ln(Ct^{2}) [/mm]
s = [mm] Ct^{2} [/mm]

Jetzt muss ich ich s ableiten
[mm] \dot{s} [/mm] = [mm] C't^{2} [/mm] + [mm] C\bruch{t^{3}}{3} [/mm]

Das muss ich ja nun in die DGL einsetzen:
[mm] C't^{2} [/mm] + [mm] C\bruch{t^{3}}{3} [/mm] = 2Ct - [mm] \bruch{3}{t^{11}} [/mm]

Jetzt komme ich nicht mehr weiter, also glaube ich das ich einen Fehler gemacht habe.
Was ist mein Fehler ?

Danke für die Hilfe im voraus

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Klassifizieren & Var der Konst: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:52 Mi 21.01.2015
Autor: Martinius

Hallo Bindl,

> > Hi,
>  >  
> > ich schreibe mal auf was ich zuerst gemacht habe:
>  >  Ich muss zunächst die homogene DGL
>  >  [mm]\dot{s}(t)[/mm] = [mm]\bruch{2s}{t}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  >  durch Trennung der Variablen lösen.


Könntest Du bitte einmal kontrollieren, ob Du die DGL richtig für uns aufgeschrieben hast.

Du schreibst:

$ t^{11}* \dot s \;=\; 2*t^9*s-3}$   homogene DGL:   $t^{11}*\dot s\;=\; 2*t^9*s}$

Daraus:  $ \dot s\;=\;\frac{2s}{t^2}$

Bezug
                                                                        
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Klassifizieren & Var der Konst: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:12 Mi 21.01.2015
Autor: Bindl


> Könntest Du bitte einmal kontrollieren, ob Du die DGL
> richtig für uns aufgeschrieben hast.
>  
> Du schreibst:
>  
> [mm]t^{11}* \dot s \;=\; 2*t^9*s-3}[/mm]   homogene DGL:  
> [mm]t^{11}*\dot s\;=\; 2*t^9*s}[/mm]
>  
> Daraus:  [mm]\dot s\;=\;\frac{2s}{t^2}[/mm]

Die DGL lautet [mm] t^{11} [/mm] * [mm] \dot{s}(t) [/mm] = 2 * [mm] t^{9} [/mm] * s - 3

Das habe ich nach [mm] \dot{s}(t) [/mm] aufgelöst:
[mm] \dot{s}(t) [/mm] = [mm] \bruch{2t^{9}s}{t^{11}} [/mm] - [mm] \bruch{3}{t^{11}} [/mm] = [mm] \bruch{2s}{t^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{3}{t^{11}} [/mm]

Ich dachte [mm] \dot{s}(t) [/mm] = [mm] \bruch{2t^{9}s}{t^{11}} [/mm] ist die homogene DGL.
Ist das schon falsch ? Was ist denn hier die homogene DGL ?


Bezug
                                                                                
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Klassifizieren & Var der Konst: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:04 Mi 21.01.2015
Autor: fred97


> > Könntest Du bitte einmal kontrollieren, ob Du die DGL
> > richtig für uns aufgeschrieben hast.
>  >  
> > Du schreibst:
>  >  
> > [mm]t^{11}* \dot s \;=\; 2*t^9*s-3}[/mm]   homogene DGL:  
> > [mm]t^{11}*\dot s\;=\; 2*t^9*s}[/mm]
>  >  
> > Daraus:  [mm]\dot s\;=\;\frac{2s}{t^2}[/mm]
>
> Die DGL lautet [mm]t^{11}[/mm] * [mm]\dot{s}(t)[/mm] = 2 * [mm]t^{9}[/mm] * s - 3
>  
> Das habe ich nach [mm]\dot{s}(t)[/mm] aufgelöst:
>  [mm]\dot{s}(t)[/mm] = [mm]\bruch{2t^{9}s}{t^{11}}[/mm] - [mm]\bruch{3}{t^{11}}[/mm] =
> [mm]\bruch{2s}{t^{2}}[/mm] - [mm]\bruch{3}{t^{11}}[/mm]
>  
> Ich dachte [mm]\dot{s}(t)[/mm] = [mm]\bruch{2t^{9}s}{t^{11}}[/mm] ist die
> homogene DGL.
>  Ist das schon falsch ?

Nein. Was ist denn [mm] \bruch{t^9}{t^{11}} [/mm]   ??????


FRED


> Was ist denn hier die homogene DGL
> ?
>  


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Klassifizieren & Var der Konst: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:50 Sa 24.01.2015
Autor: MathePower

Hallo Bindl,

> > Hi,
>  >  
> > ich schreibe mal auf was ich zuerst gemacht habe:
>  >  Ich muss zunächst die homogene DGL
>  >  [mm]\dot{s}(t)[/mm] = [mm]\bruch{2s}{t}[/mm]
>  >  durch Trennung der Variablen lösen.
>  >  
> > Also,
>  >  [mm]\integral_{}^{}{\bruch{ds}{s}}[/mm] =
> > [mm]\integral_{}^{}{\bruch{2}{t} dt}[/mm]
>  >  ln(s) = 2*ln(t) +
> ln(C)
>  >  s = 2t + C
>  
> Ich glaube s = 2t + C ist falsch.
>  ln(s) = 2*ln(t) + ln(C)
>  ln(s) = [mm]ln(Ct^{2})[/mm]
>  s = [mm]Ct^{2}[/mm]
>  
> Jetzt muss ich ich s ableiten
>  [mm]\dot{s}[/mm] = [mm]C't^{2}[/mm] + [mm]C\bruch{t^{3}}{3}[/mm]
>  


Hier muss es doch lauten:

[mm]\dot{s}[/mm] = [mm]C't^{2}[/mm] + [mm]C\red{2t}[/mm]


> Das muss ich ja nun in die DGL einsetzen:
>  [mm]C't^{2}[/mm] + [mm]C\bruch{t^{3}}{3}[/mm] = 2Ct - [mm]\bruch{3}{t^{11}}[/mm]
>  
> Jetzt komme ich nicht mehr weiter, also glaube ich das ich
> einen Fehler gemacht habe.
>  Was ist mein Fehler ?
>  
> Danke für die Hilfe im voraus


Gruss
MathePower

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Klassifizieren & Var der Konst: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:51 Mi 21.01.2015
Autor: fred97


> Hi,
>  
> ich schreibe mal auf was ich zuerst gemacht habe:
>  Ich muss zunächst die homogene DGL
>  [mm]\dot{s}(t)[/mm] = [mm]\bruch{2s}{t}[/mm]


Nein, sondern  [mm]\dot{s}(t)[/mm] = [mm]\bruch{2s}{t^2}[/mm]

FRED


>  durch Trennung der Variablen lösen.
>  
> Also,
>  [mm]\integral_{}^{}{\bruch{ds}{s}}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{2}{t} dt}[/mm]
>  ln(s) = 2*ln(t) + ln(C)
>  s = 2t + C
>  
> Habe ich das korrekt gemacht ?
>  
> Das "s = 2t + C" muss ich ja dann für s bei [mm]"\dot{s}(t)[/mm] =
> [mm]\bruch{2s}{t}[/mm] - [mm]\bruch{3}{t^{11}}"[/mm] einsetzen.
>  
> Und was ich danach genau zu machen habe weiß ich einfach
> nicht.
>  Kann mir jemand helfen ?


Bezug
                                                                
Bezug
Klassifizieren & Var der Konst: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:14 Mi 21.01.2015
Autor: Bindl

Hi,
danke für den Hinweis:

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{ds}{s}} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{2}{t^{2}} dt} [/mm]

ln(s) = [mm] -\bruch{2}{x} [/mm] + C

s = [mm] Ce^{-\bruch{2}{x}} [/mm]      Habe ich die e-Funktion hier richtig angewendet?

[mm] \dot{s} [/mm] = C`* [mm] e^{-\bruch{2}{x}} [/mm] - C * [mm] e^{-\bruch{2}{x}} [/mm]

Stimmt das?

Dann müsste ich ja s und [mm] \dot{s} [/mm] bei [mm] \dot{s} [/mm] = [mm] \bruch{2s}{t^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{3}{t^{11}} [/mm] einsetzen.

Dann nach C` auflösen und C` dann integrieren um C zu bekommen und C dann bei s = C * [mm] e^{-\bruch{2}{x}} [/mm] einsetzen.


Bezug
                                                                        
Bezug
Klassifizieren & Var der Konst: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:30 Do 22.01.2015
Autor: Bindl

Kann mir jemand hier helfen ?

Bezug
                                                                                
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Klassifizieren & Var der Konst: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:33 Do 22.01.2015
Autor: chrisno

Das ist mir inzwischen zu unübersichtlich geworden.

Bezug
                                                                                        
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Klassifizieren & Var der Konst: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:55 Do 22.01.2015
Autor: Bindl

Hi,
kann ich verstehen. Ich schreibe nochmal alles auf:

[mm] t^{11} [/mm] * [mm] \dot{s}(t) [/mm] = [mm] 2*t^{9} [/mm] - 3

[mm] \dot{s}(t) [/mm] = [mm] \bruch{2s}{t^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{3}{t^{11}} [/mm]

Die homogene DGL ist [mm] \dot{s}(t) [/mm] = [mm] \bruch{2s}{t^{2}}. [/mm]

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{ds}{s}} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{2}{t^{2}}} [/mm]

ln(|s|) = [mm] -\bruch{2}{x} [/mm] + ln(|C|)

s = C * [mm] e^{-\bruch{2}{x}} [/mm]

[mm] \dot{s} [/mm] = C' * [mm] e^{-\bruch{2}{x}} [/mm] - C * [mm] e^{-\bruch{2}{x}} [/mm]

Ist das soweit richtig ?

Bezug
                                                                                                
Bezug
Klassifizieren & Var der Konst: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:10 Do 22.01.2015
Autor: chrisno


> Hi,
>  kann ich verstehen. Ich schreibe nochmal alles auf:

Ja, das hilft.

>  
> [mm]t^{11}[/mm] * [mm]\dot{s}(t)[/mm] = [mm]2*s*t^{9}[/mm] - 3

Ich habe das fehlende s ergänzt.

>  
> [mm]\dot{s}(t)[/mm] = [mm]\bruch{2s}{t^{2}}[/mm] - [mm]\bruch{3}{t^{11}}[/mm]
>  
> Die homogene DGL ist [mm]\dot{s}(t)[/mm] = [mm]\bruch{2s}{t^{2}}.[/mm]
>  
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{s}ds}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{\bruch{2}{t^{2}}dt}[/mm]
>  
> ln(|s|) = [mm]-\bruch{2}{x}[/mm] + ln(|C|)

Das ist nicht günstig, hier den Variablennamen von t in x zu ändern.

>  
> s = C * [mm]e^{-\bruch{2}{x}}[/mm]
>  
> [mm]\dot{s}[/mm] = C' * [mm]e^{-\bruch{2}{x}}[/mm] - C * [mm]e^{-\bruch{2}{x}}[/mm]
>  
> Ist das soweit richtig ?

Genau der letzte Schritt hat mich irritiert. C ist eine Konstante und damit C' = 0, weiterhin fehlt die innere Ableitung. Wie immer: mach die Probe. Du hast nun
[mm]\dot{s}[/mm] = C' * [mm]e^{-\bruch{2}{x}}[/mm] - C * [mm]e^{-\bruch{2}{x}}[/mm]
und das soll [mm] $\bruch{2 C e^{-\bruch{2}{x}} }{t^2}$ [/mm] ergeben. Rechne nach.

Bezug
                                                                                                        
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Klassifizieren & Var der Konst: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:45 Do 22.01.2015
Autor: Bindl

Hi,

ich glaube ich muss aus der Konstanten C eine Funktion von t machen.


s = C * [mm] e^{-\bruch{2}{t}} [/mm]    ->   s = C(t) * [mm] e^{-\bruch{2}{t}} [/mm]

[mm] \dot{s} [/mm] = C'(t) * [mm] e^{-\bruch{2}{t}} [/mm] - C(t) * [mm] e^{-\bruch{2}{t}} [/mm] * [mm] (\bruch{2}{t}) [/mm]

Müsste es nicht aber,

[mm] \dot{s} [/mm] = C'(t) * [mm] e^{-\bruch{2}{t}} [/mm] + C(t) * [mm] e^{-\bruch{2}{t}} [/mm] * [mm] (\bruch{2}{t^{2}}) [/mm]

heißen ?
Ich bekomme [mm] \dot{s} [/mm] einfach nicht hin.


Bezug
                                                                                                                
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Klassifizieren & Var der Konst: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:01 Do 22.01.2015
Autor: chrisno


> Hi,
>  
> ich glaube ich muss aus der Konstanten C eine Funktion von
> t machen.

Das heißt, Du willst Dich nun an die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung mit der Methode "Variation der Konstanten" machen.
Du musst Deine Lösungen und Lösungsversuche mit präzisem Text versehen. Sonst sind sie unvollständig, mit Pech falsch, da unverständlich.
Ich finde das voreilig. Noch hast Du gar nicht die Lösung der homogenen Differentialgleichung. Da musst Du erst einmal zeigen, dass die stimmt. (Schreibe ich das nun zum fünften Mal?)

>  
>
> s = C * [mm]e^{-\bruch{2}{t}}[/mm]    ->   s = C(t) *

> [mm]e^{-\bruch{2}{t}}[/mm]
>  
> [mm]\dot{s}[/mm] = C'(t) * [mm]e^{-\bruch{2}{t}}[/mm] - C(t) *
> [mm]e^{-\bruch{2}{t}}[/mm] * [mm](\bruch{2}{t})[/mm]

Die innere Ableitung ist falsch. Was ist die Ableitung von $g(x) = - [mm] \bruch{2}{t}$. [/mm]

>  
> Müsste es nicht aber,
>  
> [mm]\dot{s}[/mm] = C'(t) * [mm]e^{-\bruch{2}{t}}[/mm] + C(t) *
> [mm]e^{-\bruch{2}{t}}[/mm] * [mm](\bruch{2}{t^{2}})[/mm]
>  
> heißen ?

ja

>  Ich bekomme [mm]\dot{s}[/mm] einfach nicht hin.

Dazu musst Du obiges g'(t) berechnen. Es ist für mich irritierend, dass Du Dich mit Differentialgleichungen befasst. Dazu scheinen die Grundlagen nicht auszureichen.


Bezug
                                                                                                                        
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Klassifizieren & Var der Konst: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:05 Do 22.01.2015
Autor: Bindl

Hi,
ich versuche es jetzt besser zu beschreiben was ich da mache.

Zunächst habe ich die homogene DGL [mm] \dot{s}(t) [/mm] = [mm] \bruch{2s}{t^{11}} [/mm] gelöst und bekomme s = C * [mm] e^{-2}{t}. [/mm]

Dann habe ich gelernt das man die Konstante C zu einer Funktion machen muss um die imhogene DGL zu lösen.
Also aus s = C * [mm] e^{-2}{t} [/mm] mache ich s = C(t) * [mm] e^{-2}{t}. [/mm]

Nun mache ich die Zeitableitung [mm] \dot{s}. [/mm] Hier habe ich wieso auch immer bei [mm] e^{-2}{t} [/mm] ans integrieren gedacht und nicht ans ableiten, sorry.
Also ist [mm] \dot{s} [/mm] = C'(t) * [mm] e^{-2}{t} [/mm] + [mm] \bruch{2 * C(t) * e^{-2}{t}}{t^{2}}. [/mm]

Nun setze ich s & [mm] \dot{s} [/mm] in die ursprüngliche inhomogene DGL [mm] \dot{s} [/mm] = [mm] \bruch{2s}{t^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{3}{t^{11}} [/mm]

Also, C'(t) * [mm] e^{-2}{t} [/mm] + [mm] \bruch{2 * C(t) * e^{-2}{t}}{t^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{2 * C(t) * e^{-2}{t}}{t^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{3}{t^{11}}. [/mm]

[mm] \bruch{2 * C(t) * e^{-2}{t}}{t^{2}} [/mm] fällt weg und es bleibt nur C'(t) * [mm] e^{-2}{t} [/mm] = [mm] -\bruch{3}{t^{11}} [/mm]

C'(t) = [mm] -\bruch{3 * e^{\bruch{2}{t}}}{t^{11}} [/mm]

Jetzt möchte ich C(t) bestimmen:
C(t) = [mm] \integral_{}^{}{C'(t) dt} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{-\bruch{3 * e^{\bruch{2}{t}}}{t^{11}} dt} [/mm] = -3 * [mm] \integral_{}^{}{e^{\bruch{2}{t}} * t^{-11}} [/mm]

Hier habe ich ein Problem !
Ein Produkt intergriert man doch so:
[mm] \integral_{}^{}{x * e^{x} dt} [/mm]
u = x      u'= 1
v'= [mm] e^{x} [/mm]   v = [mm] e^{x} [/mm]
F(x) = u * v - [mm] \integral_{}^{}{(u' * v) dt} [/mm]

Also ich bei meiner Aufgabe:
u = [mm] e^{2/t} [/mm]   u'= [mm] -\bruch{2e^{2/t}}{t^{2}} [/mm]
v = [mm] t^{-11} [/mm]   v'= [mm] -10t^{-10} [/mm]

F(x) = [mm] e^{2/t} [/mm] * [mm] t^{-11} [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{\bruch{20e^{2/t}}{t^{12}}} [/mm]

Und bei [mm] \integral_{}^{}{\bruch{20e^{2/t}}{t^{12}}} [/mm] scheitere ich.

Wenn ich diese Integration hinbekommen würde müsste ich nur noch folgendes mache:
C(t) in s = C(t) * [mm] e^{-2/t} [/mm] einsetzen und dann hätte ich die inhomogene DGL gelöst.

Zumindest habe ich das so gelernt, wenn ich es richtig verstanden habe.

Dann war noch s(-1) = 1 gegeben.
Ich müsste dann nur noch für t = -1 & für s = 1 setzen und C berechnen.

Es gibt sicher andere Wege, nur kenne ich diese nicht.
Vielleicht kann mir ja bei meinem Intergrationsproblem geholfen werden.



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Klassifizieren & Var der Konst: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:39 Do 22.01.2015
Autor: chrisno


> Hi,
>  ich versuche es jetzt besser zu beschreiben was ich da
> mache.
>  
> Zunächst habe ich die homogene DGL [mm]\dot{s}(t)[/mm] = [mm]\bruch{2s}{t^{11}}[/mm] gelöst

Vorher lautete die anders.

> und bekomme s = C * [mm]e^{-2}{t}.[/mm]

Auch das war vorher anders.
Daher kann ich das Folgende nur ganz allgemein kommentieren.

>  
> Dann habe ich gelernt das man die Konstante C zu einer
> Funktion machen muss um die imhogene DGL zu lösen.
>  Also aus s = C * [mm]e^{-2}{t}[/mm] mache ich s = C(t) *
> [mm]e^{-2}{t}.[/mm]

In Ordnung, "Variation der Konstanten".

>  
> Nun mache ich die Zeitableitung [mm]\dot{s}.[/mm] Hier habe ich
> wieso auch immer bei [mm]e^{-2}{t}[/mm] ans integrieren gedacht und
> nicht ans ableiten, sorry.
>  Also ist [mm]\dot{s}[/mm] = C'(t) * [mm]e^{-2}{t}[/mm] + [mm]\bruch{2 * C(t) * e^{-2}{t}}{t^{2}}.[/mm]

Wenn Du Dich um das t im Exponenten kümmerst und alles entsprechend verbesserst, dann erkenne ich die vorher diskutierte Aufgabe wieder und es könnte nun eine korrekte Ableitung werden. Meine weiteren Anmerkungen stehen immer unter diesem Vorbehalt.

>  
> Nun setze ich s & [mm]\dot{s}[/mm] in die ursprüngliche inhomogene
> DGL [mm]\dot{s}[/mm] = [mm]\bruch{2s}{t^{2}}[/mm] - [mm]\bruch{3}{t^{11}}[/mm]
>  
> Also, C'(t) * [mm]e^{-2}{t}[/mm] + [mm]\bruch{2 * C(t) * e^{-2}{t}}{t^{2}}[/mm]
> = [mm]\bruch{2 * C(t) * e^{-2}{t}}{t^{2}}[/mm] - [mm]\bruch{3}{t^{11}}.[/mm]
>  
> [mm]\bruch{2 * C(t) * e^{-2}{t}}{t^{2}}[/mm] fällt weg und es
> bleibt nur C'(t) * [mm]e^{-2}{t}[/mm] = [mm]-\bruch{3}{t^{11}}[/mm]
>  
> C'(t) = [mm]-\bruch{3 * e^{\bruch{2}{t}}}{t^{11}}[/mm]

Nun stimmt es wieder.

>  
> Jetzt möchte ich C(t) bestimmen:
>  C(t) = [mm]\integral_{}^{}{C'(t) dt}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{-\bruch{3 * e^{\bruch{2}{t}}}{t^{11}} dt}[/mm] =
> -3 * [mm]\integral_{}^{}{e^{\bruch{2}{t}} * t^{-11}}[/mm]
>  
> Hier habe ich ein Problem !

Das ist in in der Tat nicht ein Itegral, dessen Lösung ins Auge springt.

>  Ein Produkt intergriert man doch so:
>  [mm]\integral_{}^{}{x * e^{x} dt}[/mm]
>  u = x      u'= 1
>  v'= [mm]e^{x}[/mm]   v = [mm]e^{x}[/mm]
>  F(x) = u * v - [mm]\integral_{}^{}{(u' * v) dt}[/mm]

Du meinst, dass Du die Methode der partiellen Integration anwenden willst. Beim Integrieren gibt es viele Rezepte. Da muss man probieren, wie man weiter kommt.

>  
> Also ich bei meiner Aufgabe:
>  u = [mm]e^{2/t}[/mm]   u'= [mm]-\bruch{2e^{2/t}}{t^{2}}[/mm]
>  v = [mm]t^{-11}[/mm]   v'= [mm]-10t^{-10}[/mm]

Da stimmt es auch nicht.
Wenn, dann müsste es v' = [mm]t^{-11}[/mm] und v= [mm]-0,1t^{-10}[/mm] heißen. Aber auch dann wird die Potenz von t im Nenner des neuen Integrals größer. Das legt als nächsten Versuch nahe, es genau anders herum anzusetzen:
u' = [mm]e^{2/t}[/mm]
v = [mm]t^{-11}[/mm]
Das wird aber nichts, weil es keine einfache Lösung für u gibt. Da Wolfram Alpha eine Lösung findet, muss es einen Weg geben. Ich sehe den nicht. Da sollte jemand mit mehr Routine ran. Ich rate Dir, nur die Suche nach der Lösung von [mm]\integral_{}^{}{e^{\bruch{2}{t}} * t^{-11}}[/mm]
als neue Frage zu stellen, mit einem Hinweis auf diesen Thread.


Nachrag: Als ich eben mit den Einkäufen vom Markt nach Hause ging, kam mir die Idee, es erst einmal mit der Substitution u = 1/t zu versuchen. Anschließend sollte es dann mit mehrfacher partieller Integration gelingen. Das ist etwas Schreibarbeit. Da musst Du entscheiden, ob es Dir das wert ist.

>  
> F(x) = [mm]e^{2/t}[/mm] * [mm]t^{-11}[/mm] -
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{20e^{2/t}}{t^{12}}}[/mm]
>  
> Und bei [mm]\integral_{}^{}{\bruch{20e^{2/t}}{t^{12}}}[/mm]
> scheitere ich.
>  
> Wenn ich diese Integration hinbekommen würde müsste ich
> nur noch folgendes mache:
>  C(t) in s = C(t) * [mm]e^{-2/t}[/mm] einsetzen und dann hätte ich
> die inhomogene DGL gelöst.
>  
> Zumindest habe ich das so gelernt, wenn ich es richtig
> verstanden habe.
>  
> Dann war noch s(-1) = 1 gegeben.
>  Ich müsste dann nur noch für t = -1 & für s = 1 setzen
> und C berechnen.
>  
> Es gibt sicher andere Wege, nur kenne ich diese nicht.
>  Vielleicht kann mir ja bei meinem Intergrationsproblem
> geholfen werden.
>  
>  


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Klassifizieren & Var der Konst: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Sa 24.01.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Klassifizieren & Var der Konst: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Sa 24.01.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Klassifizieren & Var der Konst: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:16 Mi 21.01.2015
Autor: Bindl

Hi,

zur Lösung von b) sollte ich ja zunächst wissen was hier die homogene DGL ist.
Nur sehe ich das leider nicht.
Was ist denn hier die homogene DGL ?

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Klassifizieren & Var der Konst: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:02 Mi 21.01.2015
Autor: fred97


> Hi,
>  
> zur Lösung von b) sollte ich ja zunächst wissen was hier
> die homogene DGL ist.
>  Nur sehe ich das leider nicht.
>  Was ist denn hier die homogene DGL ?


$xy' + ny = 0$

FRED

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Klassifizieren & Var der Konst: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:28 Mi 21.01.2015
Autor: Bindl

Hi,

xy'+ ny = 0

[mm] x\bruch{dy}{dx} [/mm] = -ny

[mm] \bruch{dy}{-ny} [/mm] = [mm] \bruch{dx}{x} [/mm]

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dy}{-ny}} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{dx}{x}} [/mm]

[mm] -\bruch{ln(y)}{n} [/mm] = [mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] + C

ln(y) = [mm] -\bruch{x^{2}n}{2} [/mm] - Cn

Ich weiß nicht so richtig wie ich die e-Funktion anzuwenden.
Kann mir jemand helfen um das ganze dann als y=... zu haben?

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Klassifizieren & Var der Konst: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:59 Mi 21.01.2015
Autor: Martinius

Hallo Bindl,

inhomogene DGL:   [mm] $x*\frac{dy}{dx}+n*y\;=\;x^m$ [/mm]   homogene DGL:   [mm] $x*\frac{dy}{dx}+n*y\;=\;0$ [/mm]

[mm] $x*\frac{dy}{dx}\;=\;-n*y$ [/mm]

[mm] $\int \frac{1}{y}\;dy\;=\;-n*\int \frac{1}{x}\;dx$ [/mm]

[mm] $ln|y|\;=\;-n*ln|x|+ln|C|$ [/mm]

[mm] $y\;=\;\frac{C}{x^n}\;=\;C*x^{-n}$ [/mm]   nun Variation der Konstanten:   [mm] $y\;=\;C(x)*x^{-n}$ [/mm]

[mm] $y'\;=\; C'*x^{-n}-n*C*x^{-n-1}$ [/mm]   einsetzen in die inhomogene DGL:   [mm] $x*C'*x^{-n}-n*x*C*x^{-n-1}+n*C*x^{-n}\;=\;x^m$ [/mm]

[mm] $C'*x^{-n+1}-n*C*x^{-n}+n*C*x^{-n}\;=\;x^m$ [/mm]

[mm] $C'*x^{-n+1}\;=\;x^m$ [/mm]

[mm] $\frac{dC}{dx}\;=\;x^{m+n-1}$ [/mm]   liefert   [mm] $\int dC\;=\;\int x^{n+m-1}\;dx$ [/mm]   und also:   [mm] $C\;=\;\frac{1}{m+n}*x^{m+n}+D$ [/mm]

Einsetzen in:    [mm] $y\;=\;C(x)*x^{-n}$ [/mm]

[mm] $y\;=\;\frac{1}{m+n}*\frac{x^{m+n}}{x^n}+\frac{D}{x^n}\;$ [/mm]     ist     [mm] $y=\;\frac{x^m}{m+n}+\frac{D}{x^{n}}$ [/mm]


Um die Lösung zu überprüfen könntest Du sie ableiten und alles in die inhomogene DGL einsetzen.


LG, Martinius

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Klassifizieren & Var der Konst: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:57 Mi 21.01.2015
Autor: Bindl


> [mm]\int \frac{1}{y}\;dy\;=\;-n*\int \frac{1}{x}\;dx[/mm]
>  
> [mm]ln|y|\;=\;-n*ln|x|+ln|C|[/mm]

Wieso kommt bei dem integrieren immer + ln|C| und nicht einfach + C ?

So kenn ich beim "normalen" integrieren.



Und natürlich danke für die ausführliche Erklärung.

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Klassifizieren & Var der Konst: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:08 Mi 21.01.2015
Autor: Martinius

Hallo Bindl,

> > [mm]\int \frac{1}{y}\;dy\;=\;-n*\int \frac{1}{x}\;dx[/mm]
>  >  
> > [mm]ln|y|\;=\;-n*ln|x|+ln|C|[/mm]
>  
> Wieso kommt bei dem integrieren immer + ln|C| und nicht
> einfach + C ?


Das darfst Du machen wie Du möchtest.


LG, Martinius


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Klassifizieren & Var der Konst: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:35 Mi 21.01.2015
Autor: Bindl

Danke für die Hilfe.

Vielleicht kannst du mir ja noch mit meinem anderen Problem helfen:

http://www.matheforum.net/read?i=1049447

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