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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:57 Fr 28.08.2015 | | Autor: | gfm |
Bei dem Versuch für meine Tochter (9) möglichst viele Rechentricks für die Multiplikation zweier Zahlen von 11 bis 99 zu finden, lieferte das Zwischenergebnis, dass für die zwei Zahlen 10a+b und 10c+b der gemischte Term 10(ad+bc) bei einem Vielfachen von Hundert ein einfaches Ergebnis liefert. Dh. es muss gelten ad+bc=10n mit einer ganzen Zahl größer Null. Diese Bedingung definiert auf den 89*89 verschiedenen Produkten eine Relation. Trägt man in Excel die Ergebnisse in ein quadratisches Schema ein und färbt die Zellen ein, in denen sich 10n ergibt, dann erhält man ein strukturiertes Muster, welches zahlreiche "lokale" Teilmuster enthält, welche einfache Rechenregeln vermuten lassen. Die Frage ist also, ob es eine systematische Methode gibt, wie man die Gesamtrelation mit Partitionen zerlegen kann, hinter denen einfache definierende Gleichungen stehen.
Beispiel:
(10a+b)=(10c+d)=100ac+10(ad+bc)+bd
Sei also ad+bc=10n. Dann kann man schreiben
ad = 10k+q ; 0<=k<=8; 0<=q<=9
bc = 10l-q; 1<=l<=9;
Sei nun weiter d+b=10. Dann gilt
a(10-b) = 10k+q oder
-ab=10(k-a)+q
Addition zur anderen ergibt
bc-ab=10l+q+10(k-a)-q oder
b(c-a)=10(l+k-a)
Sei weiter c=a: 0=l+k-a. Das kann für beliebiges a erfüllt werden.
Wir haben also Faktoren der Form "Zehner gleich, Einer ergeben 10":
(10a+b)=(10c+d)=100a²+10(ad+(10-d)a)+bd=100(a²+a)+bd
Die Regel lautet also [ab] x [ad] =[a(a+1)][bd] wenn b+d=10. ([] soll dabei zwei Stellen umfassen)
43*47=[4*5][3*7]=2021
Nach diesen Muster kann man eine ganze Menge ausprobieren und man findet auch zahlreiche Regeln. Nur es ist halt ausprobieren und nicht systematisch.
Wer weiß was?
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 So 30.08.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:51 Di 01.09.2015 | | Autor: | hippias |
Ich finde die Frage eigentlich zu schoen, um sie voellig unbeantwortet zu lassen. Meine Ueberlegungen sind vermutlich nicht fuer 10jaehrige geeignet, aber vielleicht gelingt es Dir sie aufzuarbeiten/ verbessern.
Ich rechne im Restklassenring $R:= [mm] \IZ_{10}$,d.h. [/mm] $10$ wird mit $0$ identifiziert. Zu gegebenen [mm] $a,b\in [/mm] R$ moechte ich diejenigen [mm] $c,d\in [/mm] R$ bestimmen, sodass $ad+bc=0$ gilt.
Dabei sieht man, dass in dem Falle, dass $a$ oder $b$ in $R$ multiplikativ invertierbar sind - also $1,3,7,9$ - gilt, dass [mm] $(c,d)\in\{(-rb,ra)|r\in R\}$. [/mm] Der Loesungsraum wird also von dem Tupel $(-b,a)$ durch Vervielfachung gewonnen.
Sind $a$ und $b$ nicht invertierbar - also $0,2,4,5,6,8$ - so wird der Loesungsraum durch $2$ Tupel erzeugt. Betrachtet man beispielsweise $56$, d.h. $a=5$ und $b=6$, so ist der Loesungsraum [mm] $\{(5r,2s)|r,s\in R\}$. [/mm] Insbesondere hat man diesen Loesungsraum fuer alle Zahlen mit $a=5$ und [mm] $b\neq [/mm] 0$ gerade: er entspricht den Zahlen $0,2,4,6,8,50,52,54,56,58$.
Es gibt damit auf jedem Fall $2$ Typen von $2$-stelligen Zahlen. Gesetzmaessigkeiten innerhalb dieser Mengen habe ich nicht untersucht.
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