Klassifizierung, Singularität < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Mi 11.03.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo Matheraum,
es ist die Singularität der Funktion [mm] f(z):=sin(\bruch{1}{z}) [/mm] zu bestimmen und zu klassifizieren.
Mein Problem:
Wie folgert man aus der Reihe
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}(\bruch{1}{z})^{2n+1},
[/mm]
dass es sich hier um eine wesentliche Singularität handelt?
Mein Lösungsvorschlag:
Ich erhalte
[mm] \limes_{z\rightarrow 0}\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}(\bruch{1}{z})^{2n+1}=\infty,
[/mm]
da der Quotient [mm] \bruch{1}{z} [/mm] für [mm] z\to [/mm] 0 unendlich groß wird. Es existiert also kein Grenzwert.
Meine Fragen:
1.) Stimmt meine Argumentation und ist sie ausreichend?
2.) Jene Grenzwertbetrachtung zur Klassifizierung von Singularitäten hat
aber nichts mit der Grenzwertbestimmung der Reihe, also der
Summenbestimmung der zu betrachtenden Reihe zu tun, oder?
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:17 Mi 11.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Matheraum,
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> es ist die Singularität der Funktion
> [mm]f(z):=sin(\bruch{1}{z})[/mm] zu bestimmen und zu
> klassifizieren.
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> Mein Problem:
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> Wie folgert man aus der Reihe
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> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}(\bruch{1}{z})^{2n+1},[/mm]
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> dass es sich hier um eine wesentliche Singularität
> handelt?
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> Mein Lösungsvorschlag:
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>
> Ich erhalte
>
>
> [mm]\limes_{z\rightarrow 0}\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}(\bruch{1}{z})^{2n+1}=\infty,[/mm]
>
>
Das ist nicht richtig ! Schau Dir mal den Satz von Casorati-Weierstraß an !
>
> da der Quotient [mm]\bruch{1}{z}[/mm] für [mm]z\to[/mm] 0 unendlich groß
> wird. Es existiert also kein Grenzwert.
>
>
>
>
> Meine Fragen:
>
>
> 1.) Stimmt meine Argumentation und ist sie ausreichend?
>
> 2.) Jene Grenzwertbetrachtung zur Klassifizierung von
> Singularitäten hat
> aber nichts mit der Grenzwertbestimmung der Reihe, also der
>
> Summenbestimmung der zu betrachtenden Reihe zu tun, oder?
>
>
>
>
>
> Gruß, Marcel
Allgemein: nimm an, f hat eine isolierte Singularität in [mm] z_0 [/mm] = 0. Dann hat f die Laurententwicklung
f(z) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}b_nz^n [/mm] + [mm] \summe_{n=}^{\infty}\bruch{a_n}{z^n}
[/mm]
die 2. Reihe heißt Hauptteil, die 1. Reihe Nebenteil.
Es gilt: f hat in 0 eine wesentliche Singularität [mm] \gdw a_n \not= [/mm] 0 für unendlich viele n.
Nun zu [mm]f(z):=sin(\bruch{1}{z})[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}(\bruch{1}{z})^{2n+1}[/mm]= 1 +[mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}(\bruch{1}{z})^{2n+1},[/mm]
Hier ist derNebentteil die konstante Funktion 1 und der Hauptteil = [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}(\bruch{1}{z})^{2n+1}[/mm]
Wieviele Koeff. im Haupteil sind [mm] \not= [/mm] 0 ?
FRED
P.S. das Residuum = [mm] a_1 [/mm] (erinnerst Du Dich an unsere gestrige Diskussion ? )
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Mi 11.03.2009 | | Autor: | Marcel08 |
> > Hallo Matheraum,
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> >
> > es ist die Singularität der Funktion
> > [mm]f(z):=sin(\bruch{1}{z})[/mm] zu bestimmen und zu
> > klassifizieren.
> >
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> >
> > Mein Problem:
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> >
> > Wie folgert man aus der Reihe
> >
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> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}(\bruch{1}{z})^{2n+1},[/mm]
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> >
> > dass es sich hier um eine wesentliche Singularität
> > handelt?
> >
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> >
> > Mein Lösungsvorschlag:
> >
> >
> >
> > Ich erhalte
> >
> >
> > [mm]\limes_{z\rightarrow 0}\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}(\bruch{1}{z})^{2n+1}=\infty,[/mm]
>
> >
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> Das ist nicht richtig ! Schau Dir mal den Satz von
> Casorati-Weierstraß an !
Gemäß dem Satz muss gelten:
Zu jedem [mm] \omega \in \IC [/mm] muss
1.) eine Folge [mm] (z_{n}) [/mm] mit lim [mm] z_{n}=z_{0} [/mm] und
2.) eine Folge [mm] f(z_{n})=\omega [/mm] exisitieren.
Jetzt habe ich Probleme damit, die Fälle speziell auf diese Aufgabe zu übertragen. Der obige Grenzwert muss nun meine Singularität 0 oder eine komplexe Zahl sein? Vielleicht kannst du mir nochmal einen Schubser geben?
>
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> >
> > da der Quotient [mm]\bruch{1}{z}[/mm] für [mm]z\to[/mm] 0 unendlich groß
> > wird. Es existiert also kein Grenzwert.
> >
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> >
> > Meine Fragen:
> >
> >
> > 1.) Stimmt meine Argumentation und ist sie ausreichend?
> >
> > 2.) Jene Grenzwertbetrachtung zur Klassifizierung von
> > Singularitäten hat
> > aber nichts mit der Grenzwertbestimmung der Reihe, also der
> >
> > Summenbestimmung der zu betrachtenden Reihe zu tun, oder?
> >
> >
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> >
> > Gruß, Marcel
>
>
>
>
> Allgemein: nimm an, f hat eine isolierte Singularität in
> [mm]z_0[/mm] = 0. Dann hat f die Laurententwicklung
>
>
> f(z) = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}b_nz^n[/mm] +
> [mm]\summe_{n=}^{\infty}\bruch{a_n}{z^n}[/mm]
>
>
> die 2. Reihe heißt Hauptteil, die 1. Reihe Nebenteil.
>
> Es gilt: f hat in 0 eine wesentliche Singularität [mm]\gdw a_n \not=[/mm]
> 0 für unendlich viele n.
>
> Nun zu [mm]f(z):=sin(\bruch{1}{z})[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}(\bruch{1}{z})^{2n+1}[/mm]=
> 1
> +[mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}(\bruch{1}{z})^{2n+1},[/mm]
>
>
> Hier ist derNebentteil die konstante Funktion 1 und der
> Hauptteil =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}(\bruch{1}{z})^{2n+1}[/mm]
>
>
> Wieviele Koeff. im Haupteil sind [mm]\not=[/mm] 0 ?
In diesem Fall sind unendlich viele der Koeffizienten [mm] \not=0.
[/mm]
> FRED
>
>
> P.S. das Residuum = [mm]a_1[/mm] (erinnerst Du Dich an unsere
> gestrige Diskussion ? )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Mi 11.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> > > Hallo Matheraum,
> > >
> > >
> > >
> > > es ist die Singularität der Funktion
> > > [mm]f(z):=sin(\bruch{1}{z})[/mm] zu bestimmen und zu
> > > klassifizieren.
> > >
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> > >
> > > Mein Problem:
> > >
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> > >
> > > Wie folgert man aus der Reihe
> > >
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> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}(\bruch{1}{z})^{2n+1},[/mm]
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> > > dass es sich hier um eine wesentliche Singularität
> > > handelt?
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> > > Mein Lösungsvorschlag:
> > >
> > >
> > >
> > > Ich erhalte
> > >
> > >
> > > [mm]\limes_{z\rightarrow 0}\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}(\bruch{1}{z})^{2n+1}=\infty,[/mm]
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> >
> > Das ist nicht richtig ! Schau Dir mal den Satz von
> > Casorati-Weierstraß an !
>
>
> Gemäß dem Satz muss gelten:
>
> Zu jedem [mm]\omega \in \IC[/mm] muss
>
> 1.) eine Folge [mm](z_{n})[/mm] mit lim [mm]z_{n}=z_{0}[/mm] und
>
> 2.) eine Folge [mm]f(z_{n})=\omega[/mm] exisitieren.
>
>
> Jetzt habe ich Probleme damit, die Fälle speziell auf diese
> Aufgabe zu übertragen. Der obige Grenzwert muss nun meine
> Singularität 0 oder eine komplexe Zahl sein? Vielleicht
> kannst du mir nochmal einen Schubser geben?
Für diese Aufgabe brauchst Du obigen Satz nicht !
Der Satz besagt: in jeder noch so kleinen Umgebung der wesentlichen Singularität [mm] z_0 [/mm] kommt f jedem Wert w [mm] \in \IC [/mm] beliebig nahe.
Was ich Dir damit sagen wollte:
hat f in [mm] z_0 [/mm] eine wesentliche Sing. so kann jedenfalls
[mm] \limes_{z\rightarrow z_0}f(z) [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
nicht gelten !
Weiter gilt folgendes: hat fin [mm] z_o [/mm] eine isolierte Sing. , so gilt:
[mm] z_0 [/mm] ist ein Pol von f [mm] \gdw \limes_{z\rightarrow z_0}|f(z)| [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
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> > > da der Quotient [mm]\bruch{1}{z}[/mm] für [mm]z\to[/mm] 0 unendlich groß
> > > wird. Es existiert also kein Grenzwert.
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> > >
> > > Meine Fragen:
> > >
> > >
> > > 1.) Stimmt meine Argumentation und ist sie ausreichend?
> > >
> > > 2.) Jene Grenzwertbetrachtung zur Klassifizierung von
> > > Singularitäten hat
> > > aber nichts mit der Grenzwertbestimmung der Reihe, also der
> > >
> > > Summenbestimmung der zu betrachtenden Reihe zu tun, oder?
> > >
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> > > Gruß, Marcel
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> >
> > Allgemein: nimm an, f hat eine isolierte Singularität in
> > [mm]z_0[/mm] = 0. Dann hat f die Laurententwicklung
> >
> >
> > f(z) = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}b_nz^n[/mm] +
> > [mm]\summe_{n=}^{\infty}\bruch{a_n}{z^n}[/mm]
> >
> >
> > die 2. Reihe heißt Hauptteil, die 1. Reihe Nebenteil.
> >
> > Es gilt: f hat in 0 eine wesentliche Singularität [mm]\gdw a_n \not=[/mm]
> > 0 für unendlich viele n.
> >
> > Nun zu [mm]f(z):=sin(\bruch{1}{z})[/mm] =
> >
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}(\bruch{1}{z})^{2n+1}[/mm]=
> > 1
> >
> +[mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}(\bruch{1}{z})^{2n+1},[/mm]
> >
> >
> > Hier ist derNebentteil die konstante Funktion 1 und der
> > Hauptteil =
> >
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}(\bruch{1}{z})^{2n+1}[/mm]
> >
> >
> > Wieviele Koeff. im Haupteil sind [mm]\not=[/mm] 0 ?
>
> In diesem Fall sind unendlich viele der Koeffizienten
> [mm]\not=0.[/mm]
>
Bingo. Also hat f in 0 eine wesentliche Sing.
FRED
> > FRED
> >
> >
> > P.S. das Residuum = [mm]a_1[/mm] (erinnerst Du Dich an unsere
> > gestrige Diskussion ? )
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 Mi 11.03.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Alles klar, vielen Dank.
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