Klau-training, Grenzw. Rei/Fol < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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huhu,
ich wollt ein paar Grenzwerte nochmal durchgehen im Kopf, bei denen ich mir nicht mehr so sicher bin. Einmal als Reihe und einmal als Folge betrachtet:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \wurzel[n]{\bruch{1}{n}} [/mm] = 1 , [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{1}{n}} [/mm] = 1
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \wurzel[n]{\bruch{1}{n^2}} [/mm] =1 , [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{1}{n^2}} [/mm] = 1
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \wurzel[n]{\bruch{1}{n^n}} [/mm] = 1 , [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{1}{n^n}} [/mm] = 0
Ist davon was richtig?^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Do 09.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> huhu,
> ich wollt ein paar Grenzwerte nochmal durchgehen im Kopf,
> bei denen ich mir nicht mehr so sicher bin. Einmal als
> Reihe und einmal als Folge betrachtet:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \wurzel[n]{\bruch{1}{n}}[/mm] = 1
was meinst Du hier? Soll wirklich [mm] $n\,$ [/mm] sowohl obere Grenze sein als auch jeweils in den Summanden stehen? Dann wäre
[mm] $$\sum_{i=1}^n \sqrt[n]{1/n}=n*\sqrt[n]{1/n}\,.$$
[/mm]
Meinst Du wirklich diese Summe?
Die Gleichheit ist i.a. falsch, und wenn Du die Reihe
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \sqrt[n]{1/n}$$
[/mm]
meinst, ist das sicher auch falsch - diese Reihe kann nicht konvergieren, da die Folge der Summanden gegen $1 [mm] \not=0$ [/mm] strebt!
> [mm]\wurzel[n]{\bruch{1}{n}}[/mm] = 1
Wenn Du
[mm] $$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1/n}=1$$
[/mm]
bzw., anders geschrieben,
[mm] $$\sqrt[n]{1/n} \to [/mm] 1 [mm] \text{ bei }n \to \infty$$
[/mm]
meinst, wäre das korrekt. Das, was Du schreibst, stimmt so nur für [mm] $n=1\,.$
[/mm]
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \wurzel[n]{\bruch{1}{n^2}}[/mm] =1 ,
Das ist ebenfalls falsch - aber schau' bitte nach, ob da überhaupt wirklich das steht, was Du hinschreiben willst (Laufindex und untere und obere Grenze beim Summenzeichen kontrollieren)!
> [mm]\wurzel[n]{\bruch{1}{n^2}}[/mm] = 1
Das stimmt nur für [mm] $n=1\,.$
[/mm]
Wenn Du
[mm] $$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1/n^2}=1$$
[/mm]
meinst, dann schreibe das auch so (bzw. jedenfalls in einer RICHTIGEN FORM) hin!
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \wurzel[n]{\bruch{1}{n^n}}[/mm] = 1 ,
Siehe oben - bitte nochmal kontrollieren, ob das, was da steht, auch das ist, was Du meinst. Denn allgemein ist (wenn [mm] $n\,$ [/mm] und [mm] $a_n$ [/mm] unabhängig von [mm] $i\,$ [/mm] sind) ganz langweilig
[mm] $$\sum_{i=1}^n a_n=n*a_n\,.$$
[/mm]
> [mm]\wurzel[n]{\bruch{1}{n^n}}[/mm] = 0
S.o.:
[mm] $$\lim_{n \to \infty} \underbrace{\sqrt[n]{1/n^n}}_{=1/n}=0$$
[/mm]
wäre korrekt.
Fazit: Eigentlich kann man sagen, dass das, was Du geschrieben hast, alles falsch war - was Du gemeint hast, vielleicht nicht ganz falsch. Evtl. als Hinweis:
Schreiben wir [mm] $\sum:=\sum_{n=1}^\infty\,,$ [/mm] so ist
[mm] $$\sum \sqrt[n]{1/n^k} \text{ divergent sowohl für }k=1 \text{ als auch für }k=2\,,\text{ da die Folge der Summanden keine Nullfolge ist und}$$
[/mm]
[mm] $$\sum \sqrt[n]{1/n^n}=\sum [/mm] 1/n [mm] \text{ bekanntlich divergent.}$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Jetzt hast du uns mit dem Stichwort "Klau-Training"
auf deine Frage aufmerksam gemacht.
Jetzt wollen wir wissen, was denn hinter dieser
Überschrift wirklich stecken soll ...
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Do 09.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> Jetzt hast du uns mit dem Stichwort "Klau-Training"
> auf deine Frage aufmerksam gemacht.
>
> Jetzt wollen wir wissen, was denn hinter dieser
> Überschrift wirklich stecken soll ...
sicher kein Diebstahl-Training, sondern eine Klaus(ur)(tro)phobie...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:09 Do 09.02.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Al!
Ich vermute hier völlig straffrei, dass dies "Klausur-Trainung" heißen soll. 
Aber ich bin auch erst drüber gestolpert.
Gruß
Loddar
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ja genau so ist es^^
verdammt ich Depp die Reihen sollen natürlich alle von n bis unendlich laufen :/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:17 Do 09.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Evelyn,
> ja genau so ist es^^
> verdammt ich Depp die Reihen sollen natürlich alle von n
> bis unendlich laufen :/
dachte ich mir - eine Antwort dazu steht dann am Ende meiner Antwort.
P.S.:
Wolltest Du auch wirklich schon die n-te Wurzel bei den Summanden (im Summenzeichen) ziehen?
Gruß,
Marcel
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yoah Marcel denke schon^^ naja ich wollte halt nur n bissl schauen, bei diesen n-te wurzel aus blabla hab ich probleme den Grenzwert direkt zu sehen. Wollte halt n bisschen Sicherheit^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:42 Do 09.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> yoah Marcel denke schon^^
das kannst wohl nur Du selbst wissen
> naja ich wollte halt nur n bissl
> schauen, bei diesen n-te wurzel aus blabla hab ich probleme
> den Grenzwert direkt zu sehen. Wollte halt n bisschen
> Sicherheit^^
Okay. Beachte aber:
Bei etwa
[mm] $$\sum \sqrt[n]{1/n}$$
[/mm]
haben wir (weil wegen [mm] $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n}=1$ [/mm] folgt [mm] $\lim_{n \to\infty}\sqrt[n]{1/n}=1/\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n}=1/1=1$ [/mm] gilt) gesehen, dass die Reihe nicht konvergiert, weil die Folge der Summanden keine Nullfolge ist.
Man kann aber versucht sein, das Wurzelkriterium (WK) darauf anzuwenden:
Aber es gilt auch
[mm] $$\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{\sqrt[n]{1/n}}=1\,,$$
[/mm]
so dass das WK uns keine Aussage liefert!
Gruß,
Marcel
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