Klausuraufgabe zu Umkehrfunkti < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Fr 24.06.2005 | | Autor: | alx2805 |
Habe heute Mathe Klausur geschrieben (GK 12. Klasse Gymnasium in Bayern). Eine Aufgabe war:
Berechnen Sie [mm] (f^{-1})'(x) [/mm] ohne [mm] f^{-1} [/mm] abzuleiten:
f(x) = [mm] 2x^2 [/mm] + 4x +2 mit [mm] D_{f} [/mm] = [mm] \IR^{+}_{0}
[/mm]
Hinweis: Formen Sie den Funktionsterm zunächst so um, dass die Variable nur noch 1-mal vorkommt!
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In der mathematischen Formelsammlung steht:
Ableitung der Umkehrfunktion
Ist f:x [mm] \mapsto [/mm] f (x) eine in einem Intervall [mm] D_{f} [/mm] definierte, umkehrbare, differenzierbare Funktion mit f'(x) [mm] \not= [/mm] 0, so gilt für die Umkehrfunktion [mm] f^{-1}:y \mapsto f^{-1}(y); [/mm] y [mm] \in D_{f-1} [/mm] :
[mm] (f^{-1})'(y) [/mm] = [mm] \bruch{1}{f'(x)} [/mm] mit x = [mm] f^{-1}(y)
[/mm]
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Daraus folge ich:
f'(x) = 4x + 4
[mm] \Rightarrow (f^{-1})'(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4x + 4}
[/mm]
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Ist das so richtig?
THX und Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Fr 24.06.2005 | | Autor: | Mehmet |
Hi Alx!
Also schauen wir es uns mal an:
f(x) [mm] =2x^{2}+4x+2
[/mm]
Wie du siehst hast du hier eine quadratische Funktion.
Wir können also die Umkehrung nur für den steigenden Bereich oder für den fallenden Bereich bilden:
Was ist bedingung?
f(x)=x richtig?
f(x) sei y
und die umkehrfunktion sei g(x).
Zunächst überlegen wir uns wie wir uns den Hinweis in der Aufgabe zunutze machen können.Wann kann man eine Parabel 2. ordnung so umformen, dass man nur einen x Ausdruck hat?
rischtisch! Scheitelform ist das stichwort.
Wir bilden sie:
[mm] f(x)=2(x+1)^{2}
[/mm]
f(x)=y=x
[mm] \Rightarrow x=2(y+1)^{2}
[/mm]
Umformung nach y ergibt: [mm] \bruch{ \wurzel{x}}{\wurzel{2}}-1=g(x)
[/mm]
Nun beschäftigen wir uns mit dem Definitionsbereich.
Wir stellen uns folgende Frage: Wo hat f(x) seinen y-Achsenabschnitt.
und wir stellen fest: Bei y=2.
Und wenn wir diesen Wert umkehrern, erhalten wirfür unsere Umkehrfunktion g(x) den Defintionsbereich x>2, da ja für f(x) gilt: x>0.
[mm] \wurzel{a} [/mm] ist ja auch nur für [mm] a\ge0 [/mm] definiert.
Verstanden?
Gruß Mehmet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:09 Fr 24.06.2005 | | Autor: | alx2805 |
Aber die Aufgabe heißt ja die Ableitung der Umkehrfunktion zu bilden ohne die Umkehrfkt. abzuleiten. Stimmt meine Theorie dann oder wie soll das gehen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:12 Fr 24.06.2005 | | Autor: | Mehmet |
Hi alx,
ich habe sie ja nicht abgeleitet, ich habe ganz einfach durch umformen und auflösen die Umkehrfunktion rausbekommen.
Ich denke nicht dass dein Weg gestimmt hat, zumal ja die falsche Funktion rauskommt.Außerdem sollst du ja NICHT ableiten!
Gruß Mehmet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:54 Fr 24.06.2005 | | Autor: | alx2805 |
Ich hab das so verstanden, dass wir Die Ableitung bilden sollen, ohne vorher aus f(x) die Umkehrfunktion zu bilden und sie dann einfach abzuleiten. Aber meine Logik stimmt doch mit der aus der Formelsammlung überein, oder?
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Hi, alx,
(grad hat mich der blöde Server "rausgeschmissen! "Seite kann nicht angezeigt werden!" So ein Heini!)
> Berechnen Sie [mm](f^{-1})'(x)[/mm] ohne [mm]f^{-1}[/mm] abzuleiten:
Das heißt natürlich NICHT, dass Du [mm] f^{-1}(x) [/mm] nicht bestimmen sollst; nur ABLEITEN darfst Du diesen Term nicht!!!
>
> f(x) = [mm]2x^2[/mm] + 4x +2 mit [mm]D_{f}[/mm] = [mm]\IR^{+}_{0}[/mm]
>
> Hinweis: Formen Sie den Funktionsterm zunächst so um, dass
> die Variable nur noch 1-mal vorkommt!
>
> ------------------------------------------------------
>
> In der mathematischen Formelsammlung steht:
>
> Ableitung der Umkehrfunktion
> Ist f:x [mm]\mapsto[/mm] f (x) eine in einem Intervall [mm]D_{f}[/mm]
> definierte, umkehrbare, differenzierbare Funktion mit f'(x)
> [mm]\not=[/mm] 0, so gilt für die Umkehrfunktion [mm]f^{-1}:y \mapsto f^{-1}(y);[/mm]
> y [mm]\in D_{f-1}[/mm] :
>
> [mm](f^{-1})'(y)[/mm] = [mm]\bruch{1}{f'(x)}[/mm] mit x = [mm]f^{-1}(y)[/mm]
>
Siehst Du?!!! Der Term der Umkehrfunktion steckt da ja drin: x = [mm] f^{-1}(y).
[/mm]
>
> Daraus folge ich:
>
> f'(x) = 4x + 4
Richtig!
>
> [mm] (f^{-1})'(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4x + 4}
[/mm]
>
FALSCH! Schau Dir die Formel noch mal genau an!
Da heißt es:
[mm] (f^{-1})'(y) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4x + 4}
[/mm]
Und nun kommt der schwierigste Schritt: Du musst [mm] x=f^{-1}(y) [/mm] bestimmen und auf der rechten Seite für x einsetzen.
(Bemerkung: Ich find' die Formel so wie sie in der Formelsammlung steht, übrigens nicht besonders gut, weil anschließend muss man noch y durch x ersetzen! Das hätte man auch gleich tun können - aber naja!)
Mehmet hat Dir das ja schon vergerechnet.
Er erhielt:
[mm] \bruch{\wurzel{x}}{\wurzel{2}}-1= [/mm] g(x),
wobei Mehmets g(x) Dein [mm] f^{-1}(x) [/mm] ist, also:
[mm] f^{-1}(x) [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{x}}{\wurzel{2}}-1
[/mm]
Eigentlich hast Du nun also
x = [mm] \bruch{\wurzel{y}}{\wurzel{2}}-1
[/mm]
in die rechte Seite Deiner Gleichung einzusetzen, umzuformen und am Ende y durch x zu ersetzen.
Am Ende kriegst Du dann: [mm] (f^{-1})'(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\wurzel{2}\wurzel{x}}.
[/mm]
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