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| Aufgabe | geg. ist folgendes:
[mm] log(x)\cdot e^c\sim \underbrace{\prod_{p\le x} \left(1-\frac{1}{p}\right)^{-1}}_{:=P(x)}
[/mm]
bzw. mit $log$
log(P(x))=log(log(x))+c+o(1) |
Hallo zusammen!
Wie komme ich in obiger Rechnung auf dieses o(1). Hab mal folgendes berechnet und weiß nun nicht weiter:
[mm] log(P(x))&\sim log(log(x))\cdot e^c) \\
[/mm]
[mm] log(P(x))&\sim [/mm] log(log(x))+c [mm] \\
[/mm]
[mm] \text{wegen }& f(x)\sim g(x):\Leftrightarrow \frac{f(x)}{g(x)}\rightarrow [/mm] 1 [mm] \hspace{1cm} \text{f"ur } x\rightarrow [/mm] a [mm] \Leftrightarrow f(x)=g(x)+o(g(x))\\
[/mm]
log(P(x))&= log(log(x))+c+ o( log(log(x))+c)
So und jetzt muss ja aus dem log(log(x))+c irgendwie 1 werden, wie geht das?
Vielen Dank schon im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:18 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
1. für p=1 teilst Du im Produkt durch 0. Ich nehm einfach mal an, daß das Produkt bei 2 beginnen soll?
2.
[mm] $\prod_{p\le x} \left(1-\frac{1}{p}\right)^{-1}= \prod_{2\le p\le x} \frac{p}{p-1} [/mm] = [mm] \frac [/mm] x{x-1} * [mm] \frac{x-1}{x-2}\cdots \frac{2}{1} [/mm] = x$
ciao
Stefan
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