Kleinen Fermatschen Satz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 Di 25.11.2008 | | Autor: | anna88 |
| Aufgabe | (Verallgemeinerung des kleinen Fermatschen Satzes) Seien p eine Primzahl und a [mm] \in \IZ [/mm] eine ganze Zahl mit ggT(a,p) = 1
i) Zeigen Sie
[mm] a^{(p-1)p} \equiv [/mm] 1 mod [mm] p^{2}.
[/mm]
Hinweis: Schreiben Sie [mm] a^{p-1} [/mm] mit Hilfe des kleinen Satzes von Fermat in
der Form 1 + kp mit k [mm] \in \IZ
[/mm]
ii) Beweisen Sie die allgemeinere Aussage, dass für alle l [mm] \in \IN_{0} [/mm] die folgende Kongruenz gilt:
[mm] a^{(p-1)p^{l}} \equiv [/mm] 1 mod [mm] p^{l+1}. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also ich habe mir zur i) überlegt:
Wenn [mm] a^{p-1} [/mm] kongruent 1 modulo p gilt, dann ist [mm] a^{p-1} [/mm] = m [mm] \* [/mm] p+1
[mm] \Rightarrow a^{(p-1)\*(p^k)} [/mm]
= [mm] (a^{p-1})^{p^k}
[/mm]
= [mm] (m\*p+1)^{p^k}
[/mm]
= [mm] \summe_{v=0}^{p^{k}} ((p^{k} [/mm] über [mm] v)\*(m\*p)^{v})
[/mm]
= 1 + [mm] p^{k+1} \* \summe_{v=1}^{p^{k}}(((p^{k} [/mm] über
[mm] v)/(p^{k}))\*(m\*p)^{v-1}) [/mm]
kongruent 1 modulo [mm] p^{k+1}
[/mm]
Aber ich bin mir nicht so sicher ob das so richtig ist, denn in der aufgabenstellung steht ja p², deshalb bin ich mir unsicher.
Könnt ihr mir bitte helfen??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:18 Di 25.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Anna!
> (Verallgemeinerung des kleinen Fermatschen Satzes) Seien p
> eine Primzahl und a [mm]\in \IZ[/mm] eine ganze Zahl mit ggT(a,p) =
> 1
>
> i) Zeigen Sie
> [mm]a^{(p-1)p} \equiv[/mm] 1 mod [mm]p^{2}.[/mm]
>
> Hinweis: Schreiben Sie [mm]a^{p-1}[/mm] mit Hilfe des kleinen Satzes
> von Fermat in
> der Form 1 + kp mit k [mm]\in \IZ[/mm]
>
> ii) Beweisen Sie die allgemeinere Aussage, dass für alle l
> [mm]\in \IN_{0}[/mm] die folgende Kongruenz gilt:
>
> [mm]a^{(p-1)p^{l}} \equiv[/mm] 1 mod [mm]p^{l+1}.[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Also ich habe mir zur i) überlegt:
>
> Wenn [mm]a^{p-1}[/mm] kongruent 1 modulo p gilt, dann ist [mm]a^{p-1} = m \* p+1 [/mm]
>
> [mm]\Rightarrow a^{(p-1)\*(p^k)} = (a^{p-1})^{p^k}[/mm]
> = [mm](m\*p+1)^{p^k}[/mm]
> = [mm]\summe_{v=0}^{p^{k}} ((p^{k}[/mm] über [mm]v)\*(m\*p)^{v})[/mm]
> = 1 + [mm]p^{k+1} \* \summe_{v=1}^{p^{k}}(((p^{k}[/mm] über [mm]v)/(p^{k}))\*(m\*p)^{v-1})[/mm]
Da ist ein Faktor m verlorengegangen, das ändert aber nichts am Ergebnis:
[mm] \summe_{v=0}^{p^{k}} \vektor{p^{k}\\v}(mp)^{v} = 1 + \summe_{v=1}^{p^{k}} \vektor{p^{k}\\v}(mp)^{v} = 1 + p^{k+1} \summe_{v=1}^{p^{k}} \bruch{1}{p^k}\vektor{p^{k}\\v} (mp)^{v-1} *\red{m} [/mm]
> kongruent 1 modulo [mm]p^{k+1}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Weil [mm] $\vektor{p^{k}\\v}$ [/mm] für [mm] $v\ge1 [/mm] $ immer durch [mm] $p^k$ [/mm] teilbar ist.
> Aber ich bin mir nicht so sicher ob das so richtig ist,
> denn in der aufgabenstellung steht ja p², deshalb bin ich
> mir unsicher.
Du bist gleich zu Teil ii) vorgestoßen, denn für k=1 kommt die Aussage für [mm] $p^2$ [/mm] heraus.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:54 Mi 26.11.2008 | | Autor: | anna88 |
Ahhh okii vielen vielen Dank
lg
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